Folha de Rosto - Sistemas SET - USP

Capítulo 4-Estratégias de Enriquecimento
corpo rígido de translação, segundo cada uma das direções coordenadas. Por sua vez o
terceiro representa a rotação de corpo rígido. Pelas nulidades resultantes na relação
anterior, conclui-se que os três vetores de deslocamentos são autovetores próprios de
B 0 .
Se o mesmo conceito for aplicado substituindo-se q x e q y , pelo vetor h na
relação (4.52), ter-se-á:
⎧
s
⎪
h⎫⎪
∇ u = B0q = B0 ⎨ ⎬ = 0
⎪
0
⎩ ⎪⎭
qx= h
⎧0 s
⎪ ⎫⎪
∇ u = B0q = B0 ⎨ ⎬ = 0
⎪
h
⎩ ⎪⎭
qy= h
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(4.57)
Então os dois vetores gerados com a ajuda de h também são autovetores
de B 0 . Entretanto, os mesmos não representam um movimento de corpo rígido, e sim
autovetores impróprios, que se constituem em modos de deformação nula, e que não
afetam a energia de deformação. Tal tipo de solução para os deslocamentos pode ser
gerada justamente pela utilização de uma regra de integração de baixa ordem sobre a
matriz B 0 , com a forma indicada por (4.47). Esta solução imprópria não existe
quando se considera o operador completo.
Matematicamente o espaço nulo do operador gradiente discreto B 0 não
coincide com o espaço nulo do gradiente contínuo, e, portanto, as matrizes de rigidez
obtidas com ambos os operadores possuem ‘rank’ distintos. Uma vez que a matriz de
rigidez do elemento quadrangular plano (dimensão 8x8) determinada com o operador
contínuo tem ‘rank’ 5 (cinco), faz-se necessário que o ‘rank’ da matriz gerada com B 0
seja também ‘rank’ 5 (cinco). Neste sentido, pode-se pensar em introduzir uma
alteração em B 0 de modo a eliminar o espaço nulo correspondente aos autovetores
impróprios.
Uma forma consistente em impor que B 0 seja também dependente de um
vetor γ , de modo que o vetor acrescentado garanta o seu ‘rank’ adequado: