Folha de Rosto - Sistemas SET - USP

86 Capítulo 4-Estratégias de Enriquecimento
4.1.2.1 Matriz de rigidez base
Uma vez que as funções de forma são as mesmas apresentadas em (4.29),
isto é, as clássicas funções paramétricas do elemento bilinear mestre, o primeiro termo
do lado direito da equação (4.44) é obtido diretamente com a ajuda do produto da
matriz dos operadores de derivadas parciais B 0 calculada com apenas um ponto de
quadratura, ou seja:
B
⎡∂N1(0,0) ∂N4(0,0)
⎤
⎢ ... 014
× ⎥
⎢ ∂x ∂x
⎥
⎢ ∂N (0,0) ∂N
(0,0) ⎥
0 ...
⎢
∂y ∂y
⎥
⎢∂N1(0,0) ∂N4(0,0) ∂N1(0,0) ∂N4(0,0)
⎥
⎢ ... ... ⎥
⎣ ∂y ∂y ∂x ∂x
⎦
1 4
0 = ⎢ 1× 4
⎥
(4.45)
Em particular, empregando-se as funções de forma do elemento mestre
isoparamétrico, as derivadas são obtidas conforme abaixo:
( )
( )
y ( ) y ( )
η ξ ξ η
∂N1 00 , 1 ⎡ ∂ ∂N1 00 , ∂ ∂N1
00 , ⎤
= −
∂x J ( 00 ,
⎢ ⎥
) ⎣∂ ∂ ∂ ∂ ⎦
x ( ) x ( )
η ξ ξ η
∂N1 00 , 1 ⎡ ∂ ∂N1 00 , ∂ ∂N1
00 , ⎤
= − +
∂y J ( 00 ,
⎢ ⎥
) ⎣ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎦
(4.46)
Realizando-se o calculo das expressões (4.46) para todas as quatro funções
de forma, tem-se, portanto:
T ⎡bx 0 ⎤
⎢ T ⎥
B0 = ⎢ 0 by
⎥
⎢ T T
by b ⎥
⎣ x ⎦
Onde b x e b y são vetores expressos conforme se mostra abaixo:
⎧y2 − y4⎫ ⎧x4 −x2⎫
⎪
1 y y
⎪ ⎪
1 x x
⎪
⎪ − ⎪ ⎪ − ⎪
b = b =
3 1 1 3
x ⎨ ⎬ y ⎨ ⎬
2A⎪y4 − y2⎪ 2A⎪x2
−x4⎪
⎩
⎪ y1− y3⎭ ⎪
⎩
⎪x3−x ⎪
1⎭
(4.47)
(4.48)
Nas relações anteriores A representa a área do elemento, e pode ser