Folha de Rosto - Sistemas SET - USP

66 Capítulo 3-Tópicos da Teoria da Elasticidade e a Formulação Híbrido-Mista Geral
T −1
∫ ( 1)(
σ )
V
∫
V
∫
Γ
t
P L u − C dV = 0
( )( σ )
P L + b dV = 0
2
( )( σ )
P t − N dΓ
= 0
3
(3.30)
Os vetores P 1 , P 2 e P 3 reúnem as funções-base de aproximação empregadas
nas definições das ponderações:
( ) ( ) ( )
p = P δ p p = P δ p p = P δ p
(3.31)
1 1 1 2 2 2 3 3 3
Considerando a integração por partes da primeira equação de (3.30),
aquele conjunto de relações resulta:
( ) ( ) σ ( ) ( )
∫ ∫ ∫ ∫
T T T
1 1 1 Γ
1
V V
Γt Γu
T
∫( P2)( Lσ ) dV + ∫(
P2) bdV = 0
V V
T
−∫( P3)( Nσ) dΓ + ∫(
P3) tdΓ
= 0
Γt Γt
LP udV + P F dV − NP u dΓ − NP udΓ
= 0
(3.32)
A formulação dita geral híbrido-mista caracteriza-se por campos
independentes de tensão no domínio, deslocamento no contorno e deslocamento no
domínio. De acordo com esta formulação os campos de deslocamento no domínio e no
contorno são diferentes, e as tensões e deslocamentos no domínio não apresentam
compatibilidade entre si. Os mesmos podem ser aproximados conforme o que se segue:
matricial, tem-se:
Γ
u = U q σ = S s u = U q
(3.33)
V
V
u V σ
Γ Γ
Substituindo (3.33) em (3.32) e rearranjando as equações (3.32) em forma
⎡ T T ⎤ ⎧ T ⎫
⎢ ∫( P1) FSVdV ∫( LP1) UVdV −∫( NP1) UΓdΓ ( 1)
t ⎥ NP udΓ
⎧
V V
s ⎫
⎪∫ ⎪
⎢ Γt ⎥ σ Γu
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎢ ⎥⎪ V ⎪ ⎪ T ⎪
⎢ ∫( P2 )( LSV ) dV 0 0 ⎥⎨qu ⎬ = ⎨ −∫(
P2 ) bdV ⎬(3.34)
⎢ V ⎥⎪⎪ ⎪ V ⎪
Γ
⎢ ⎪qu ⎪ ⎪ T ⎪
− ( P3)( NSV) dΓ 0 0 ⎥⎩ ⎭
⎪
− ( P3) tdΓ
⎢ ∫ ⎥ ∫ ⎪
⎣ Γt ⎦ ⎩ Γt
⎭
t u