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56 Capítulo 3-Tópicos da Teoria da Elasticidade e a Formulação Híbrido-Mista Geral y z x dz σz dx τyz τzy Figura 3.6 – Componentes de tensões segundo os eixos cartesianos. σy τzx As componentes indicadas compõem o tensor de tensões, simétrico e que pode ser representado matricialmente conforme a relação (3.6). 3.2 Equacionamento 3.2.1 Equações de equilíbrio τyx τxz τxy ⎡σ τ τ ⎤ x xy xz ⎢ ⎥ = ⎢ xy y yz⎥ σ τ σ τ ⎢τ τ σ ⎥ ⎣ xz yz z⎦ σx dy (3.6) Considerando-se um paralelepípedo de dimensões infinitesimais do sólido, conforme a Figura 3.7, num estado de equilíbrio atuam, nas suas faces, esforços internos na forma de tensões normais e cisalhantes, e no seu interior um carregamento externo representeado pela força de volume b . Como hipótese básica as tensões são continuas ao longo do domínio da estrutura, de modo que em faces paralelas pode-se admitir que as tensões difiram de valores infinitesimais; por exemplo, na face aposta à qual se tem uma tensão normal σ x atua uma tensão de valor ∂σ x σ x + dx . De forma análoga, as demais tensões ∂x possuem variações infinitesimais, conforme se observa na Figura 3.7.
Capítulo 3-Tópicos da Teoria da Elasticidade e a Formulação Híbrido-Mista Geral τzy τzx σz y + σz z ___ z ___ dz z ___ dz z dz + τzy + τzx x dy σx τyz + τyz τxy ___ y dy τxz τyx dx τzx σy σy + σy τzy ___ y dy τyz σz dz b τyx τxy σx ___ y dy + τyx ___ x dx + τxy ___ x dx τxz+ τxz ___ x dx + σx Figura 3.7 – Elemento infinitesimal em equilíbrio. Fazendo o equilíbrio de momentos segundo as três direções, recai-se nas relações (3.7), que corroboram a condição de simetria do tensor de tensões: τ = τ xy yx τ = τ yz zy τ = τ zx xz 57 (3.7) Ao realizar a soma das contribuições das forças segundo cada direção, obtêm-se as três equações de equilíbrio (3.8), onde b x , y b e b z são as parcelas da força volumétrica segundo cada direção: ∂σ ∂τ x xy ∂τxz + + + bx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τxy ∂σ y ∂τ yz + + + by = 0 ∂x ∂y ∂z ∂σ ∂τ xz yz ∂σ z + + + bz = 0 ∂x ∂y ∂z (3.8) Podem-se representar as equações (3.8) de forma compacta, onde L representa o operador de diferenciais sobre o tensor de tensão: 3.2.2 Relações deformação-deslocamento Lσ + b = 0 (3.9) Com o auxílio da representação geométrica num plano, conforme a Figura
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