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168 Anexo B – Forma fechada da expansão de 1ª ordem em série de Taylor Com base nas derivadas das funções de forma funções de forma (B.1) podem ser calculadas as matrizes B-barra: ⎡N ix , 0 ⎤ ⎢ ⎥ Bi = ⎢ 0 Ni, y⎥ ⎢N N ⎥ ⎣ iy , ix , ⎦ 32 × (B.4) Conseqüentemente agora se podem calcular as submatrizes K ij que formam a matriz de rigidez da estrutura, definidas conforme a relação: 1 1 ij T i j −1−1 K = ∫∫ JB CB dξdη (B.5) onde o determinante do Jacobiano é calculado levando-se em conta apenas um ponto de integração no centro do elemento, conforme a seguir: 1 J = J0 = J = (B.6) ξ=0 , η=0 16cJ Reescrevendo a matriz de constitutiva elástica C , para os estados planos de tensão e deformação, em termos das constantes de Lamè: ⎡E1 C = ⎢ ⎢ E2 ⎢⎣ 0 E2 E1 0 0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ μ⎥⎦ EPT 4λ( λ+ μ) E1 = 1+ 2μ 2λμ E2 = , (B.7) 1+ 2μ EPD E = λ+ 2μ E = λ 1 2 calculando-se as expressões de (B.5) para i, j = 1,2, L ,6 chega-se à seguinte expressão para as submatrizes de rigidez: K ⎡Ed + μdEd+ μd⎤ = ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ XX YY XY XY 1 ij ij 2 ij ji ij XY XY Ed 2 ji + μdij YY XX Ed 1 ij + μdij Na relação anterior as constantes d são tais que: (B.8)
Anexo B – Forma fechada da expansão de 1ª ordem em série de Taylor d 4J = 3 C C + C C + C C YY 4J 0 dij = 3 Y Y Ci Cj Y Y + Ci Cj Y Y + Ci Cj d 4J = 3 C C + C C + C C η η ξ ξ ( 3 ) XX 0 X X X X X X ij i j i j i j η η ξ ξ ( 3 ) η η ξ ξ ( 3 ) XY 0 X Y X Y X Y ij i j i j i j Por fim, a matriz de rigidez resulta: ⎡K1...4,1...4 K5,1...4 K6,1...4 ⎤ ⎢ T ⎥ K = ⎢ K5,1...4 K5,5 0 ⎥ T ⎢ K6,1...4 0 K ⎥ ⎣ 6,6 ⎦ 169 (B.9) (B.10)
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Raimundo Gomes de Amorim Neto SOBRE
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Dedicatória A Deus, Flaviana, Adal
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Figura 6.31 - Deslocamento no ponto
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N Matriz que reúne as componentes
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