Folha de Rosto - Sistemas SET - USP

Anexo B – Forma fechada da expansão de 1ª ordem em série de Taylor
Este anexo serve de complemento ao item 4.1.3, que trata da estabilização
da rigidez mediante o uso de expansão em série de Taylor.
Apresentam-se as expressões em forma fechada da expansão das derivadas
das funções de forma em série de Taylor, em primeira ordem; tais expressões são
apresentadas no trabalho de (KORELC; WRIGGERS, 1997).
As funções de forma sejam elas as clássicas, bem como os modos
incompatíveis, podem ser obtidas conforme se segue:
N = C + C ξ + C η
X Xξ Xη
ix , i i i
iy , =
Y
i +
Yξ i +
Yη
i
N C C ξ C η
(B.1)
O índice i varia de 1 a 6, sendo que, de 1 a 4 o índice representa as
funções clássicas bilineares, e os índices 5 e 6 referem-se aos dois modos
incompatíveis. As constantes C maiúsculas são tais que:
( 3ξ 1η ) 5 0 6 0
( 1η 3ξ ) 5 0 6 0
ξ ( η ξ ) ( ηξ ξ )
ξ ( η ξ ) ( ηξ ξ )
η ( η ξ ) ( η ηξ )
= ( η ξ ) ( η ηξ )
C = c b − b C = C =
X X X
i J i i
C = c a − a C = C =
Y Y Y
i J i i
C =−c b −b −c b − b C =− 8c b C = 0
Xξ Xξ Xξ
i 1 i 3 i J 1 i i 2 i 5 J 3 6
Yξ i = 1 i − 3 i + J 1 i i − 2 i
Yξ 5 = 8 J 3
Yξ
6 = 0
Xη i =− 1 i − 3 i − J 2 i − 3 i i
Xη 5 = 0
Xη
6 = 8 J 1
Yη
i η 1 i − a3 i + cJ a2 i − a3 i i
Yη C5 = 0
Yη
C6 =−8cJa1
C c a a c a a C c a C
C c b b c b b C C c b
C c a
Por sua vez as constantes a , b e c minúsculas são tais que:
4 4 4 4
∑ ∑ ∑ ∑
a = x a = ξ x a = ξη x a = η x
0 i 1 i i 2 i i i 3 i i
i= 1 i= 1 i= 1 i=
1
4 4 4 4
b = y b = ξ y b = ξη y b = η y
0 i 1 i i 2 i i i 3 i i
i= 1 i= 1 i= 1 i=
1
2 2
1
cξ = cJ ( a2b1− ab 1 2) cη = cJ ( a3b2− a2b3) cJ
=
ab − ab
1 3 3 1
(B.2)
∑ ∑ ∑ ∑ (B.3)