Folha de Rosto - Sistemas SET - USP

desv Apêndice A – Derivadas de B0 em relação às coordenadas ξ e η
Neste apêndice apresenta-se em forma explicita a parcelas derivadas das
desv
matrizes B 0 , e está de acordo com o trabalho de (LIU; ONG; URAS, 1985).
Apresentam-se primeiramente, os vetores das coordenadas paramétricas
para os nós do elemento finito:
⎧−1⎫ ⎧−1⎫ ⎪
1
⎪ ⎪
1
⎪
⎪ ⎪ ⎪−⎪ ξ = ⎨ ⎬ η = ⎨ ⎬
⎪ 1 ⎪ ⎪1 ⎪
⎪
⎩−1⎪ ⎭ ⎩
⎪1 ⎭
⎪
(A.1)
Tomando-se o domínio físico têm-se também os seguintes vetores coluna
com as coordenadas nodais:
⎧ x1⎫ ⎧y1⎫ ⎪
x
⎪ ⎪
y
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
2 2
x= ⎨ ⎬ y = ⎨ ⎬
(A.2)
⎪x3⎪ ⎪y3⎪ ⎪
⎩x⎪ ⎪
4⎭ ⎩y⎪ 4⎭
Tome-se agora a matriz Jacobiana, sendo a mesma calculada no centro do
elemento finito, em outras palavras, tomando apenas um ponto de quadratura, no
centro, onde ( ξ 0, η 0)
= = :
⎡∂x ∂y
⎤ ⎡1 T 1 T
ξ x ξ y
⎤
⎢∂ξ ∂ξ
⎥ ⎢ 4 4 ⎥
J = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
⎢∂x ∂y
⎥ ⎢
1 T 1 T
η x η y⎥
⎢
⎣∂η ∂η⎥ ⎦ ⎢⎣ 4 4 ⎥⎦
O determinante da matriz do Jacobiana, então, resulta em:
(A.3)
1
J ( ξη , ) = J ( 00 , ) = J0= A
(A.4)
4
As derivadas das funções de forma do elemento são então: