PRESSÕES EM SILOS ESBELTOS COM DESCARGA EXCÊNTRICA

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= 2.( π −θ ). r (3.39) U w s c U sc = 2. rc .( π − δ ) (3.40) Definidas todas as constantes geométricas da seção transversal, o equilíbrio das forças verticais que atuam em uma camada elementar dentro do canal de fluxo fornece: dq c A c. qc .( μ w. K. U wc + μ sc. K. U sc ) = γ . dz + A (3.41) c Sendo q c a pressão vertical no canal de fluxo na altura z, abaixo da superfície equivalente. Resolvendo a equação de equilíbrio 3.41 e aplicando-se a condição de contorno de pressão nula na superfície equivalente (z=0) obtém-se a pressão horizontal no canal de fluxo p hce (Figura 3.11 b): p hce ⎛ A ⎛ ⎞ c ⎞ ⎧ U ⎜ wc. μ w + U sc. μ sc ⎫ = γ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1− exp⎨− z. K ⎬ (3.42) ⎟ ⎝U wc. μ w + U sc. μ sc ⎠⎝ ⎩ Ac ⎭⎠ Dada a relação: p = μ . p (3.43) wce w hce O valor da pressão de atrito no canal de fluxo é: p wce ⎛ A ⎛ ⎞ c ⎞⎜ ⎧ U wc. μ w + U sc. μ sc ⎫ = μ − ⎟ ⎜ ⎟ w. γ . 1 exp ⎜ ⎨− z. K. ⎬ (3.44) ⎝U + ⎠ ⎟ wc. μ w U sc. μ sc ⎝ ⎩ Ac ⎭ ⎠ O canal de fluxo, na teoria de Rotter, apresentará uma geometria de forma a maximizar o peso de cada camada elementar, enquanto minimiza a força de atrito nos lados do canal. Isso pode ser explicado pelo fato de que o canal de fluxo vai se formar quando houver alguma perturbação local onde a condição de equilíbrio não é satisfeita. Nestas condições, o peso da camada elementar do sólido e a força de atrito na sua superfície lateral vão exceder a resistência ao fluxo, iniciando o fluxo para satisfazer o equilíbrio. Nesta condição a relação Ac /( U wcμ w + U scμ sc ) é máxima. Fixando-se o raio do canal, temos: 2 ⎡ ⎛ r ⎤ c ⎞ rc ⎛ cosθ c μ sc ⎞ ⎢( π − δ ). ⎜ ⎟ + θ − − ⎥ ⎜ − ⎟ c . sen( δ θ c ) 1 = ⎢⎣ ⎝ r ⎠ r ⎥⎦ ⎝ cosδ μ w ⎠ ⎡ rc μ sc ⎤⎡ cos ⎢θ c + ( π − δ ). . ⎥⎢1 − ⎣ r μ w ⎦⎣ ( δ −θ ) . c cosθ c rc ⎛ cosθ c ⎞⎤ + . ⎜cos( δ −θ c ) − ⎟ cosδ r ⎥ ⎝ cosδ ⎠⎦ (3.45) 57
58 Os parâmetros e c , δ e θc podem ser encontrados pela resolução da equação 3.45, considerando a máxima relação Ac /( U wcμ w + U scμ sc ) . Porém a resolução desta equação é trabalhosa, uma solução aproximada que pode ser utilizada com uma boa precisão, segundo Rotter (2001b) é: r c ⎪⎧ eo = r⎨1 − ⎪⎩ r ⎡eo ⎢ ⎣ r μ ⎫ w ⎛ eo ⎞⎤ + ⎜1− ⎟⎥⎬ μ sc ⎝ r ⎠⎦⎭ (3.46) A pressão horizontal na interface entre o sólido estático e o sólido fluindo dentro do canal de fluxo deve ser igual à p hce , enquanto que no contato com a parede devem existir pressões maiores para permitir o equilíbrio estático da massa sólida (uma baixa tensão horizontal causaria baixa pressão de atrito na parede ocasionando altas tensões verticais no sólido estático que passaria a fluir). A tensão vertical no sólido estático não pode ser considerada constante como no sólido fluindo, dado que o produto é deformável. Porém as superfícies do canal de fluxo se dilatam de tal forma que as pressões horizontais e de atrito são iguais para ambos os lados. Então, a força de atrito mobilizada no sólido estático pelo sólido fluindo não depende do coeficiente K, sendo somente necessário conhecer o valor da tensão vertical principal no sólido ( q s ). A equação de equilíbrio das forças verticais de uma camada elementar no sólido estático é: dqs A s. + qs. μ w. K. U wc = dz γ . A c + μ . U sc sc ⎛ . γ . ⎜ ⎝U wc. Ac μ + U w sc ⎞ ⎛ ⎜ ⎧ U wc. μ w + U ⎟ ⎜ 1− exp⎨− z. K. . μ sc ⎠ ⎝ ⎩ Ac sc . μ ⎞ sc ⎫ ⎟ ⎬ (3.47) ⎟ ⎭ ⎠ Resolvendo a equação 3.47 e incluindo a condição de contorno em z=0, encontra-se a pressão horizontal estática na parede ( p hse ) distante do canal de fluxo: p hse A ⎡ s = γ . ⎢1 + w + w. u. e U ws. μ ⎢⎣ Valendo a relação: wse hse − z. K. U ws . μ As ⎧− z. K. U − ( 1+ w + w. u) exp⎨ ⎩ As ws . μ ⎫ ⎤ ⎬ ⎥ (3.48) ⎭ ⎥⎦ p = μ. p (3.49) Tem-se:
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