avaliação da rigidez à flexão de toras de madeira por meio de ...

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Alguns autores como Hearmon (1958), Nederveen & Schwarzl (1964), Brancheriau &
Bailleres (2002) e Kubojima et al (2004) citam o trabalho de Goens (1931) 16 , o qual
desenvolveu uma equação transcendental para o cálculo exato do módulo de elasticidade de
uma viga computando os efeitos do cisalhamento e da inércia à rotação. A equação de Goens
(1931) apud Nederveen & Schwarzl (1964).
Com:
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜ tan βk
⎟ ⎜ tan βk
⎟
⎜ 2 βϕ
⎟ ⎜ 2 αε
+
− ⎟ = 0
⎜ 1 αε 1
tanh
⎟ ⎜
βϕ
tanh
⎟
⎜ αk
⎟ ⎜ αk
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
( )
α, β = ⎡ B k + 1 ± Ak ⎤
⎢⎣ ⎥⎦
2 4
1/ 2
2 1/ 2
( )
2 4
1/ 2
2
ε , ϕ = B k + 1 ± Bk
2
1 i ⎛η E ⎞
A, B = 1
2 ⎜ ± ⎟
2 L ⎝ G ⎠
O módulo de Young é então calculado por:
Sendo:
E
ω L ρ
k i
ω = frequência natural do primeiro modo;
L = comprimento da viga;
( 2.48 )
( 2.49 )
2 4
= 4 2
( 2.50 )
ρ = densidade do material;
k = constante obtida pela solução da Equação 2.48;
i = raio de giração da seção transversal.
Goens (1931) apresenta ainda uma aproximação simples para a determinação prática
do módulo de elasticidade. Essa aproximação é mostrada na Equação 2.51.
2
) ( λL)
( λL)
2
4
⎡
2
⎤
2
( A − B
⎢1
+ 2A(
λ L)
φ + 4(
A − 2B)(
λL)
φ −
⎥ ( 2.51 )
⎣
1+
2A
⎦
EM , G = EM
, VT
2
16 GOENS, E. Uber die Bestimmung des Elastizitätsmoduls von Stäben mit Hilfe von Biegungsschwingungen. Ann D Phys
Ser 7 11:649-678. 1931.