avaliação da rigidez à flexão de toras de madeira por meio de ...

g. Condições de ortogonalidade dos modos
Os modos normais dos sistemas contínuos possuem propriedades de ortogonalidade
que permitem o cálculo da massa modal e da rigidez modal da mesma forma como foi feito
para os sistemas discretos com mais de um grau de liberdade.
As condições de ortogonalidade em relação à massa e a rigidez requerem a integração
ao longo do comprimento L como mostram as Equações 2.35 e 2.36.
Sendo:
−
L
∫
0
L
∫
0
⎧ 0
m(
x)
An
( x)
Ap
( x)
dx = ⎨
⎩M
p
d
dx
2 ⎡ d A
⎢EI
2
⎢⎣
dx
para
para
n ≠ p
n = p
63
( 2.35 )
⎤ ⎧ para n ≠ p
⎥ An
( x)
dx = ⎨
( 2.36 )
⎥⎦
⎩K
p para n = p
2
p
0
2
An(x) = autofunção do n-ésimo modo;
Ap(x) = autofunção do p-ésimo modo;
Mp = massa modal do p-ésimo modo;
Kp = rigidez modal do p-ésimo modo.
h. Introdução do amortecimento proporcional
Supondo a atuação de forças de amortecimento em uma viga de Bernoulli e admitindo
que o modelo de amortecimento seja o proporcional a massa e a rigidez pode-se escrever a
equação de equilíbrio dessa viga como:
2
2
∂ u(
x,
t)
∂u(
x,
t)
∂
m ( x)
+ C(
x)
+
2
2
∂t
∂t
∂x
2 ⎡ ∂ u(
x,
t)
⎤
⎢EI
= F(
x,
t)
2 ⎥
⎣ ∂x
⎦
( 2.37 )
Supondo válidas as condições de ortogonalidade pode-se usar a superposição modal
para escrever a resposta do sistema da seguinte forma:
Sendo:
p = modo de vibração;
N
∑ p=
1
u(
x,
t)
= A ( x)
q ( t)
( 2.38 )
N = maior modo de vibração levado em conta na resposta.
p
Admitindo que o carregamento seja composto por duas funções, uma no tempo e outra
no espaço, substituindo a Equação 2.38 e suas derivadas na Equação 2.37 e fazendo as
devidas simplificações obtém-se a equação de equilíbrio na forma:
p