avaliação da rigidez à flexão de toras de madeira por meio de ...

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E = módulo de Young;
G = módulo de elasticidade transversal;
v = deslocamento perpendicular ao eixo da viga;
x = distância ao longo do comprimento da viga;
ρ = densidade do material;
A = área da seção transversal;
t = tempo;
I = momento de inércia da seção transversal;
η = fator de forma da seção transversal.
O desenvolvimento analítico da Equação 2.33 resulta em uma complexa equação
transcendental cuja solução só pode ser encontrada por métodos numéricos.
Segundo Íñiguez Gonzáles (2007), a Equação 2.33 tem o inconveniente de ser mais
complexa do que a de Bernoulli, exigindo a medição da frequência de pelo menos dois modos
de vibração. Além disso, essa equação não tem solução exata e há a necessidade de empregar
métodos iterativos para obter uma solução aproximada.
Entre os clássicos métodos aproximados para o cálculo das frequências naturais
destacam-se na literatura os de Rayleigh, Rayleigh-Ritz, Bordonné e Goens (NEWLAND,
1989; BEARDS, 1995; STOKEY, 2002; BRANCHERIAU & BAILLERES, 2002).
Para uma viga bi-apoiada em vibração livre, a frequência natural de um dado modo j
pode ser calculada de forma aproximada com a resolução da Equação 2.34, segundo Newland
(1989).
⎡ ⎤
− ⎜1+ ⎟⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ = 0
EG ⎢⎣ E ⎝ G ⎠⎝ L ⎠ EI ⎥⎦
⎝ L ⎠
2
2 4
ηρ 4 ρ ⎛ ηE ⎞⎛ π ⎞ ρ A 2 ⎛ π ⎞
ω j ⎢ j ⎥ω
j j
( 2.34 )
Hijmissen & Van Horssen (2007) desenvolveram uma expressão aproximada para o
cálculo das frequências naturais de uma viga de Timoshenko na posição vertical com uma
extremidade engastada. Devido ao efeito da gravidade, uma força de compressão com
variação linear atua na viga. Os autores utilizam o método da perturbação e observam que o
efeito da gravidade é mais significativo no primeiro modo.