avaliação da rigidez à flexão de toras de madeira por meio de ...

T [ M ] [ A]
[ M ] [ A]
m = (Matriz de massa modal) ( 2.16 )
T [ K ] [ A]
[ K]
[ A]
m = (Matriz de rigidez modal) ( 2.17 )
T { F } [ A]
{ F(
t)}
m
= (Vetor de carregamento modal) ( 2.18 )
Na Equação 2.15, as coordenadas q1 e q2 estão desacopladas, pois as matrizes [Km] e
[Mm] são diagonais. A análise da Equação 2.15 permite concluir que um sistema com N graus
de liberdade no domínio real é equivalente a N sistemas com um grau de liberdade no
domínio modal. Pode-se tirar partido dessa conclusão para aplicar as soluções conhecidas para
sistemas com um grau de liberdade na resolução de sistemas com múltiplos graus de
liberdade.
c. Amortecimento proporcional
A introdução do amortecimento na equação de equilíbrio dos sistemas dinâmicos com
mais de um grau de liberdade é complexa, pois a matriz de amortecimento é cheia levando ao
acoplamento das coordenadas x1 e x2.
Pode-se tirar partido das condições de ortogonalidade dos modos considerando o
amortecimento proporcional à massa e/ou à rigidez. Esse tipo de amortecimento é
denominado de amortecimento de Rayleigh (CLOUGH & PENZIEN, 1995).
A matriz de amortecimento proporcional nesse caso fica:
Sendo:
[ ] 0 1
[C] = matriz de amortecimento;
[M] = matriz de massa;
[K] = matriz de rigidez;
1
C = a [ M ] + a [ K]
( 2.19 )
a e a = constantes de proporcionalidade.
o
Devido às condições de ortogonalidade dos modos, a matriz [C] é uma matriz diagonal
e, dessa forma, as coordenadas permanecerão desacopladas.
Pode-se ainda escrever o amortecimento adimensional para o n-ésimo modo como:
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