avaliação da rigidez à flexão de toras de madeira por meio de ...

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podem ser demonstradas pelo teorema de Betti. A dedução detalhada dessas propriedades é
mostrada em Clough & Penzien (1995). A condição de ortogonalidade dos modos em relação
a massa é expressa por:
Sendo:
T { A } [ M ] ⋅{
A } = { 0}
i
⋅ j
T
{ A i}
= autovetor transposto do modo i;
[M ] = matriz de massa do sistema;
{ A j}
= autovetor do modo j.
e a condição de ortogonalidade em relação à rigidez é dada por:
Sendo:
T { } [ K ] ⋅{
A } = { 0}
( 2.12 )
A i ⋅ j
( 2.13 )
[K ] = matriz de rigidez do sistema.
De acordo com as Equações 2.12 e 2.13 os modos i e j (i≠j) são ortogonais em relação
à massa e à rigidez, pois seus produtos escalares são iguais a zero.
b. Resposta à vibração livre não-amortecida: Método modal
No método modal, a resposta pode ser obtida pela soma das contribuições de cada
modo, mediante a transformação das coordenada do domínio modal {q} em coordenadas no
domínio do espaço {x}. Essa lei de transformação de coordenadas é mostrada na Equação
2.11.
chega-se a:
Substituindo a Equação 2.11 e sua derivada segunda na Equação 2.5 tem-se:
[ M ][ A]{
q&
} + [ K]
[ A]{
q}
= { F(t)
}
& ( 2.14 )
Pré-multiplicando a Equação 2.14 por [A] T e aplicando as condições de ortogonalidade
Sendo:
[ M ]{ q&
} + [ K ]{ q}
= { F }
m
& ( 2.15 )
m
m