avaliação da rigidez à flexão de toras de madeira por meio de ...

A Equação 2.7 é um problema de autovalores e autovetores. Os autovalores (ωn) não-
2
triviais são obtidos quando o determinante da matriz ⎡
⎣
K − ωn
M ⎤
⎦
for igual a zero, ou seja:
( k + k ) − m ω −k
2
1 a 1 n a
− ka 2
( k2 + ka ) − m2ωn
= 0
53
( 2.8 )
Calculando o determinante, obtêm-se os valores de ωn. Lançando os autovalores na
Equação 2.7 encontram-se os autovetores {A}. Para o caso com dois graus de liberdade os
autovetores são:
⎧A11
⎫
⎧A12
⎫
A 1 = ⎨ ⎬ e A2
= ⎨ ⎬
( 2.9 )
⎩A21
⎭
⎩A22
⎭
Supondo válidas as condições de ortogonalidade dos modos de vibração, pode-se
aplicar a superposição modal e unir A1 e A2. Logo:
⎡ A11
A12
⎤
A = ⎢ ⎥
( 2.10 )
⎣A21
A22
⎦
Para encontrar o deslocamento de cada massa no domínio real pode-se expandir a
Equação 2.6 para o sistema com dois graus e liberdade e empregar a Equação 2.10, de forma a
obter:
⎧ x1 ⎫ ⎡ A11 A12
⎤ ⎧ sen( θ1 + ωn1t)
⎫
⎨ ⎬ =
x
⎢
A A
⎥ ⎨ ⎬
sen( θ + ω t)
⎩ 2 ⎭ ⎣ 21 22 ⎦ ⎩ 2 n2
⎭
ou { } [ A]{
q}
x = ( 2.11 )
De acordo com a Equação 2.11, os deslocamentos de cada massa correspondem às
somas das contribuições de cada modo. Outra informação importante mostrada é que, nos
sistemas com mais de um grau de liberdade, os deslocamentos podem ser obtidos a partir da
multiplicação da matriz dos modos normais pelos vetores das soluções para sistemas com um
grau de liberdade.
Acoplamento de coordenadas e ortogonalidade dos modos
Na Equação 2.3, os deslocamentos x1 e x2 estão acoplados elasticamente devido à
presença da mola de rigidez ka. Isso significa que não é possível determinar cada
deslocamento separadamente.
Felizmente, os modos normais de vibração têm certas propriedades que permitem o
desacoplamento das coordenadas. Estas propriedades são as condições de ortogonalidade que