avaliação da rigidez à flexão de toras de madeira por meio de ...

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Sendo:
[M] = matriz de massa;
[C] = matriz de amortecimento;
[K] = matriz de rigidez;
{F(t)} = vetor das ações dinâmicas;
{ x&&} = vetor das acelerações;
{ x& } = vetor das velocidades;
{ x } = vetor dos deslocamentos.
Observa-se que [M] é diagonal de ordem n, o que não ocorre com as matrizes [K] e [C]
devido ao acoplamento da mola (ka) e do amortecedor (ca). A presença de ca e ka ligando as
massas m1 e m2 acopla os dois sistemas de um grau de liberdade fazendo com que se
comportem como um sistema de dois graus de liberdade. O acoplamento entre as coordenadas
x1 e x2 acarreta em grande dificuldade de resolução direta do sistema, pois os efeitos são
dependentes.
a. Resposta à vibração livre não-amortecida: Método direto
A solução direta para o caso de vibração livre não-amortecida é obtida admitindo-se
que a matriz de amortecimento e o vetor de carga sejam nulos. A equação do movimento fica:
[ M ]{ x} + [ k]{ x}
= { 0}
&& ( 2.5 )
A solução desse problema para sistemas com um grau de liberdade é:
Sendo:
x = A* sen( θ + ωnt
)
( 2.6 )
A = amplitude do deslocamento (m);
θ = ângulo de fase (rad);
ωn = frequência angular natural (rad/s);
t = tempo (s).
Substituindo a Equação 2.6 e sua derivada segunda na Equação 2.5 tem-se:
{ } { 0}
2 ⎡
⎣K − ωn
M ⎤
⎦ A =
( 2.7 )