Volume 3 Parte 1 - Portal do Professor - Ministério da Educação

Habilidades/
Competências
Representar
conjuntos numéricos
através de diagrama.
Identificar elementos
dos diferentes
conjuntos numéricos.
Conteúdos/Conceitos
Estruturantes
Situações de Aprendizagem
Racionais e a liberdade para dividir
Nenhum dos conjuntos numéricos discutidos até esse momento
permite que possamos operar a tecla da divisão de uma calculadora
sem restrições. Apesar de conseguirmos fazer uma série de divisões
dentro do conjunto dos inteiros, sem necessitar de outro conjunto
numérico para representar os resultados (ex.: -8 : 2 = -4, 192 : 32
= 6, etc.), várias divisões não são possíveis nesse conjunto por
apresentarem resto diferente de zero.
Incorporando a operação de divisão, números como
, que antes não tinham significado, agora passarão a ter.
Como poderíamos descrever um conjunto que, além de
incorporar os números inteiros, incluísse também frações como
as três que citamos acima?
A saída é simples: basta enunciar que o novo conjunto será
formado por todos os números que podem ser escritos na forma
de fração, onde o numerador será um inteiro e o denominador
um inteiro diferente de zero. Esse novo conjunto recebe o nome
de Conjunto dos Números Racionais (Q).
Todo número que pode ser escrito na forma com a Z e
b Z* é um número racional.
Assim como o Conjunto dos Números Inteiros incorporava
os números naturais, de acordo com a definição acima, o
conjunto dos racionais também incorpora os números inteiros.
Mesmo números inteiros como -3, 0 e 1 estão em Q porque
podem ser escritos como, por exemplo: enquadrando-
se dessa forma na definição de racional. Vale destacar: todo
número natural é também um número inteiro, mas nem todo
número inteiro é um número natural; todo inteiro é racional, mas
nem todo racional é inteiro. Você pode encontrar vários exemplos
que justifiquem essas afirmações.
Para investigar em detalhes o Conjunto dos números Racionais,
tomemos dois de seus representantes, os números e . Observe
que, ao utilizar o algoritmo da divisão, encontraremos que =
0,5 e = 0,333... A notação em que utilizamos vírgula chama-se
representação decimal do número. Nos dois exemplos, temos
que as representações decimais possuem formas distintas.
No primeiro caso, temos uma representação decimal com
um número finito de casas depois da vírgula e no segundo a
representação decimal possui infinitas casas periódicas depois
da vírgula (dízima periódica). Observe outros exemplos no
diagrama da próxima página.
Você deve ter notado que os números racionais escritos na
forma fracionária podem ter representação decimal finita ou
representação decimal infinita e periódica (dízima periódica).
Você deve ter observado alguns resultados curiosos no
processo para obtenção de frações geratrizes de dízimas
periódicas. Citamos abaixo dois desses resultados:
I) Podemos verificar que 0,999... é igual a 1.
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