INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Nadir Arada - Portal de docentes FCT/UNL

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Cálculo Numérico - Integração numérica
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Nadir Arada

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Objectivo. Aproximar
b
I(f ) = f (x) dx
onde f : [a, b] −→ IR é uma função contínua, suficientemente regular.
Cálculo Numérico - Integração numérica
a

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Fórmula de quadratura
Considere x0 < x1 < · · · < xn, n + 1 pontos em [a, b] e seja
Πnf (x) =
n
f (xi)ϕi(x)
i=0
o polinómio interpolador de f nos pontos (xi)i=0,1,··· ,n. Uma vez que
vem que
Cálculo Numérico - Integração numérica
f (x) = Πnf (x) + f (n+1) (ζx)
(n+1)!
n
(x − xi) , ζx ∈]a, b[
i=0
Enf (x)
b b
I(f ) = Πn(x) dx + Enf (x) dx
a
a

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Por conseguinte
b
I(f ) =
Assim
A soma
n
=
a
n
b
f (xi)ϕi(x) dx + Enf (x) dx
i=0
n
b b
f (xi) ϕi(x) dx + Enf (x) dx
a
αi
a
i=0
I(f ) é aproximado por
a
n
αi f (xi)
i=0
i=0
quadratura. Os pontos xi e as constantes αi são, respectivamente, os nós e os pesos de
quadratura.
Cálculo Numérico - Integração numérica
i=0
αi f (xi) é a fórmula de quadratura. A diferença I(f ) −
n
αi f (xi) é o erro de

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Regra do ponto médio (ou do rectangulo) simples. É obtida com
n = 0, x0 = a+b
2 e Π0(x) = f (x0). A fórmula de quadratura associada
escreve-se
b
IR(f ) = Π0(x) dx = (b − a)f
a+b
2
Cálculo Numérico - Integração numérica
f
a
Π0 f
a+b
a 2
b

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Regra do trapézio simples. É obtida com n = 1, x0 = a e x1 = b. A
fórmula de quadratura associada escreve-se
b
IT(f ) =
Cálculo Numérico - Integração numérica
f
a
f (a)+f (b)
Π1(x) dx = (b − a) 2
Π1 f
a b

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Regra de Simpson simples. É obtida com n = 2, x0 = a, x1 = a+b
2 e
x2 = b. A fórmula de quadratura associada escreve-se
b
IS(f ) =
Cálculo Numérico - Integração numérica
f
a
Π1(x) dx = b−a
6
Π2 f
a+b
f (a) + 4f 2 + f (b)
a+b
a 2
b

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Exemplo 1. Aproximar
5
0
dx
1+x 2 = arctan(5) ≈ 1.373400766945016
• Utilizando a regra do ponto médio simples, obtem-se
IR(f ) = (5 − 0)f
5 5
2 =
1+( 5
2) 2 = 0.6896551724137931
O erro correspondente (em valor absoluto) é dado por
Cálculo Numérico - Integração numérica
|I(f ) − IR(f )| = 0.6837455945312227

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
• Do mesmo modo, utilizando a regra do trapézio simples, tem-se
= 2.596153846153846
f (5)+f (0)
IT(f ) = (5 − 0) 2
com o erro
= 5
2
1
1+5 2 + 1
|I(f ) − IT(f )| = 1.22275307920883
• Finalmente, aplicando a regra de Simpson simples, obtem-se
f
IS(f ) = (5
(5)+2f¡
5
− 0) 6
e o erro é
Cálculo Numérico - Integração numérica
= 1.09526967285588
2¢
+f (0)
= 5
6
1
1+52 + 2
1+( 5
|I(f ) − IS(f )| = 0.2781310940891359
2) 2
+ 1

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Regras de integração compostas
Considere uma subdivisão de [a, b] em m subintervalos [xk−1, xk],
k = 1, · · · , m, de igual comprimento h = b−a
m .
Ideia.
Aproximar
xk
xk−1
f (x) dx por
xk
xk−1
Π k nf (x) dx
onde Π k nf é o polinómio interpolador de f no subintervalo [xk−1, xk].
Cálculo Numérico - Integração numérica

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Uma vez que
então
Cálculo Numérico - Integração numérica
I(f ) =
m
xk
k=1
I(f ) é aproximado por
xk−1
f (x) dx
m
xk
k=1
xk−1
Π k nf (x) dx

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Regra do ponto médio composta. É obtida aplicando a regra simples
do ponto médio em cada subintervalo [xk−1, xk]:
I m m
xk−1+xk
R (f ) = h f 2
Cálculo Numérico - Integração numérica
f
Π 1 0 f
k=1
Π 2 0 f
a=x0 x1 xm=b

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Π 1 0 f
Cálculo Numérico - Integração numérica
f
Π 2 0 f
Π m 0 f
a=x0 x1 x2 xm=b
Regra do ponto médio composta com m subintervalos

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Exemplo 2. Considere o integral do Exemplo 1. Utilizando a regra do
ponto médio composta com m = 2, obtem-se
I 2 R(f ) = 5
2
f 5
4
15 + f 4 = 1.141584859832
O erro correspondente (em valor absoluto) é dado por
I(f ) − I 2 R(f ) = 0.2318159071130159
e é claramente menor que o erro obtido com a regra do ponto médio
simples. Os resultados obtidos aumentando o número de
subintervalos, são resumidos na seguinte tabela
Cálculo Numérico - Integração numérica
m Im R (f ) |I(f ) − Im R (f )|
4 1.353866933486058 0.01953383345895787
8 1.373505133232817 1.04366287801 × 10−4

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Regra do trapézio composta. É obtida aplicando a regra simples do
trapézio em cada subintervalo [xk−1, xk]:
m
(f (xk−1) + f (xk))
Cálculo Numérico - Integração numérica
f
I m h
T (f ) = 2
Π 1 1 f
k=1
Π 2 1 f
a=x0 x1 xm=b

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Π 1 1 f
Cálculo Numérico - Integração numérica
f
Π 2 1 f
Π m 1 f
a=x0 x1 x2 xm=b
Regra do trapézio composta com m subintervalos

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Exemplo 3. Considere o integral do Exemplo 1. Utilizando a regra do
trapézio composta com m = 2, obtem-se
I 2 T(f ) = 5
2
5 f (0) + 2f 2 + f (5) = 1.64290450928382
O erro correspondente (em valor absoluto) é dado por
I(f ) − I 2 T(f ) = 0.269503742338804
e é claramente menor que o erro obtido com a regra do trapézio
simples. Os resultados obtidos aumentando o número de
subintervalos, são resumidos na seguinte tabela
Cálculo Numérico - Integração numérica
m Im T (f ) |I(f ) − Im T (f )|
4 1.39224468455791 0.01884391761289406
8 1.373055809021984 3.44957923032 × 10−4

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Regra de Simpson composta. É obtida aplicando a regra simples de
Simpson em cada subintervalo [xk−1, xk]:
I m m
h
xk−1+xk
S (f ) = 6 f (xk−1) + 4f 2 + f (xk)
Π 1 2 f
Cálculo Numérico - Integração numérica
f
k=1
Π 2 2 f
a=x0 x1 x2=b

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Π 1 2 f
Cálculo Numérico - Integração numérica
f
Π 2 2 f
Π m 2 f
a=x0 x1 x2 xm=b
Regra de Simpson composta com m subintervalos

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Exemplo 4. Considere o integral do Exemplo 1. Utilizando a regra de
Simpson composta com m = 2, obtem-se
I2 5
S (f ) = 12
f (0) + 4f 5
4
= 1.308691409649274
+ 2f 5
2
15 + 4f 4 + f (5)
O erro correspondente (em valor absoluto) é dado por
I(f ) − I 2 S (f ) = 0.06470935729574179
e é menor que o erro obtido com a regra de Simpson simples. Os
resultados obtidos aumentando o número de subintervalos, são
resumidos na seguinte tabela
m Im S (f )
I(f ) − Im S (f ) 4 1.366659517176675
0.006741249768341
8 1.373355358495872 4.5408449144e × 10−5 Cálculo Numérico - Integração numérica

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Erro de quadratura: regra do ponto médio
Teorema. Seja f ∈ C 2 [a, b] e seja IR(f ) a aproximação de I(f ) pela
regra do ponto médio simples. O erro correspondente satisfaz
onde M2 = max |f ”(x)|.
x∈[a,b]
Cálculo Numérico - Integração numérica
|I(f ) − IR(f )| ≤ M2
24
(b − a)3

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Demonstração. Utilizando a formula de Taylor a volta do ponto
, obtem-se
médio ¯x = a+b
2
f (x) = f (¯x) + f ′ (¯x)(x − ¯x) +
f ”(ζx)
2 (x − ¯x) 2 , ζx ∈]a, b[.
Portanto
b
|I(f ) − IR(f )| =
f (x) dx − (b − a)f (¯x)
a
b
=
(f (x) − f (¯x)) dx
a
b
=
Cálculo Numérico - Integração numérica
a
f ′ f ”(ζx)
(¯x)(x − ¯x) + 2 (x − ¯x) 2
dx

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Uma vez que
e que
b
Cálculo Numérico - Integração numérica
a
f ′ (¯x)(x − ¯x) dx = f ′ (¯x)
= f ′ (¯x)
2
= f ′ (¯x)
2
= 0
b
(x − ¯x) dx
a
(x − ¯x) 2 b
b−a
2
a
2 − a−b
2
|f ”(ζx)| ≤ max |f ”(x)| = M2
x∈[a,b]
2

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
conclui-se que
|I(f ) − IR(f )| = 1
2
Cálculo Numérico - Integração numérica
≤ 1
2
≤ 1
2
= M2
2
= M2
2
b
f ”(ζx)(x − ¯x)
a
2
dx
b
|f ”(ζx)| (x − ¯x) 2 dx
a
b
a
M2 (x − ¯x) 2 dx
(x−¯x) 3
2
3
3
b
a
= M2
2
¡ b−a
2 ¢
b−a 3 M2
2 = 24 (b − a)3
−¡ 3 a−b¢
3
2
3

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Corolário. Seja f ∈ C2 [a, b] e seja Im R (f ) a aproximação de I(f ) pela
regra do ponto médio composta associada a m subintervalos de igual
comprimento h= b−a
m
onde M2 = max |f ”(x)|.
x∈[a,b]
Cálculo Numérico - Integração numérica
. O erro correspondente satisfaz
|I(f ) − I m R (f )| ≤ M2(b − a)
24
h 2

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Demonstração. Seja ¯xk = xk−1+xk
2 , k = 1, · · · , m. Tem-se
|I(f ) − Im
m
xk
R (f )| = (f (x) − f (¯xk)) dx
xk−1
k=1
m
xk
≤ (f (x) − f (¯xk)) dx
k=1
xk−1
Aplicando o teorema precedente a cada subintervalo, obtem-se
xk
(f (x) − f (¯xk)) dx
24
xk−1
≤ max x∈[x k−1 ,x k ] |f ”(x)|
Combinando a duas inequações, conclui-se que
|I(f ) − I m m
R (f )| ≤
Cálculo Numérico - Integração numérica
k=1
h 3 ≤ M2
24 h3
M2
24 h3 = M2
24 mh3 = M2
24 (b − a)h2

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Erro de quadratura: regra do trapézio
Teorema. Seja f ∈ C2 [a, b] e seja Im T (f ) a aproximação de I(f ) pela
regra do trapézio composta associada a m subintervalos de igual
. O erro correspondente satisfaz
comprimento h= b−a
m
onde M2 = max |f ”(x)|.
x∈[a,b]
Cálculo Numérico - Integração numérica
|I(f ) − I m T (f )| ≤ M2(b − a)
12
h 2

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Erro de quadratura: regra do Simpson
Teorema. Seja f ∈ C4 [a, b] e seja Im S (f ) a aproximação de I(f ) pela
regra de Simpson composta associada a m subintervalos de igual
. O erro correspondente satisfaz
comprimento h= b−a
m
|I(f ) − I m S (f )| ≤ M4(b − a)
16
onde M4 = max f (4)
(x) .
x∈[a,b]
Cálculo Numérico - Integração numérica
h 4
180

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Acceleração da convergência: Extrapolação de Richardson
É um processo que combina várias aproximações de uma certa
quantidade, de modo a garantir uma convergência de ordem superior
sem custo suplementare.
Mais precisamente, suponha que A é uma dada quantidade e seja
(Am)m uma aproximação de A tal que
onde
A = Am + C1 h 2 m + C2 h 4 m + · · · + Ck h 2k
m + O h 2k+2
m
hm+1 = 1
2 hm, m ≥ 0
e onde C1, C2, · · · , Ck são constantes positivas independentes de m.
Cálculo Numérico - Integração numérica
(1)

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Uma vez que
vem que
Portanto
hm = 1
2 hm−1 =
1 2
2
hm−2 = · · · =
1 m
2
h0
lim
m→+∞ (A − Am) = lim
m→+∞
lim
m→+∞
A − Am
h 2 m
lim
m→+∞ hm
1 m
= lim
m→+∞ 2
h0 = 0
= lim
m→+∞
C1 h 2 m + · · · + Ck h 2k
m + O h 2k+2
m
C1 + · · · + Ck h 2k−2
m + O h 2k
m
o que implica que Am é uma aproximação a ordem 2 de A.
Cálculo Numérico - Integração numérica
= 0
= C1

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
De (1), deduz-se que para m ≥ 1, tem-se
A = Am−1 + C1 h2 m−1 + C2 h4 m−1 + · · · + Ck h2k m−1 + O h 2k+2
m−1
= Am−1 + C1 (2hm) 2 + C2 (2hm) 4 + · · · + Ck (2hm) 2k + O h2k+2
m
= Am−1 + 22 C1 h2 m + 24 C2 h4 m + · · · + 22k Ck h2k m + O h2k+2
m
Multiplicando (1) por 4 e substraindo (2), obtem-se
Cálculo Numérico - Integração numérica
(4 − 1) A = 4 Am − Am−1 + 4 − 2 4 C2 h 4 m
+ · · · + 4 − 2 k Ck h 2k
m + O h2k+2 m
(2)

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Isto é
A =
4 Am−Am−1
4−1
+ (4−24 )C2
22 h −1 4 m + · · · + (4−2k )Ck
22 h −1 2k
m + O h2k+2 m
= Bm,1 + C2 h4 m + · · · + Ck h2k m + O h2k+2 m
Em outras palavras
Bm,1 = 4 Am − Am−1
, m ≥ 1
4 − 1
é uma aproximação de A a ordem 4.
Cálculo Numérico - Integração numérica
(3)

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Utilizando (3) e repetindo o processo, obtem-se
A = Bm−1,1 + C2 h4 m−1 + · · · + Ck h2k m−1 + O h 2k+2
m−1
= Bm−1,1 + C2 (2hm) 4 + · · · + Ck (2hm) 2k + O h 2k+2
m
= Bm−1,1 + 24 C2 h4 m + · · · + 22k Ck h2k m + O h2k+2 m
Multiplicando (3) por 2 4 = 4 2 e substraindo (4), obtem-se
Cálculo Numérico - Integração numérica
42 − 1 A = 42 Bm,1 − Bm−1,1 + 24 − 26 C3 h6 m
+ · · · + 24 − 2k Ck h2k m + O h2k+2 m
(4)

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Isto é
A = 42 Bm,1−Bm−1,1
4 2 −1
+ (24 −2 6 )£C3
2 4 −1
h 6 m + · · · + (24 −2 k )£Ck
2 4 −1
= Bm,2 + C3 h6 m + · · · + Ck h2k m + O h2k+2 m
Em outras palavras
Bm,2 = 42 Bm,1 − Bm−1,1
42 , m ≥ 2
− 1
é uma aproximação de A a ordem 6.
Cálculo Numérico - Integração numérica
h 2k
m + O h2k+2 m

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
O mesmo processo permite de construir por indução, uma sucessão
Bm,n definida por
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Bm,0 = Am
Bm,n = 4n Bm,n−1 − Bm−1,n−1
4 n − 1
e que aproxima A a ordem 2(n + 1).
Cálculo Numérico - Integração numérica
m = 0, · · · , k
n = 1, · · · , k − 1
m = n, · · · , k

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Método de Romberg
Proposição (Fórmula de Euler-MacLaurin) Seja f ∈ C2k+2 [a, b] e
seja hm = b−a
2m (m ≥ 0). Seja Im T (f ) a aproximação do integral I(f )
obtida pela aplicação da regra do trapézio composta com 2m subintervalos. Tem-se
I(f ) = I m T (f ) + C1h 2 m + C2h 4 m
2k
+ · · · + Ckhm + Ck+1f (2k+2) (ζm) h 2k+2
m
onde C1, C2, · · · , Ck, Ck+1 são constantes positivas independentes de
m e onde ζm ∈]a, b[.
Cálculo Numérico - Integração numérica

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Aplicando o método de extrapolação de Richardson, constrói-se uma
sucessão R(m, n)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
R(m, 0) = I m T
R(m, n) = 4n R(m, n − 1) − R(m − 1, n − 1)
4 n − 1
cuja convergência para I(f ) é de ordem 2(n + 1).
Cálculo Numérico - Integração numérica
m = 0, · · · , k
n = 1, · · · , k − 1
m = n, · · · , k

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Algoritmo de Romberg
A sucessão assim construida pode ser organisada da seguinte forma
Cálculo Numérico - Integração numérica
R(0, 0)
R(1, 0) R(1, 1)
R(2, 0) R(2, 1) R(2, 2)
. . .
R(n, 0) R(n, 1) R(n, 2) · · · R(n, n)

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Exemplo 5. Aplicando a regra do trapézio para aproximar o integral
π
sin x dx = 2
obtem-se a seguinte tabela
Cálculo Numérico - Integração numérica
0
m Im ¤ ¤
T (f ) I(f ) − Im ¤ )¤
1 0
T (f
2
2 1.570796326794897 0.429203673205103
4 1.896118897937040 0.103881102062960
8 1.974231601945551 0.025768398054449
10 1.993570343772340 0.006429656227660
12 1.998393360970145 0.001606639029855

Fórmula de quadratura Regras simples Regras compostas Erro de quadratura Acceleração da convergência Romberg
Aplicando o método de Romberg, obtem-se
n R(n, 0) R(n, 1) R(n, 2) R(n, 3) R(n, 4) R(n, 5)
0 0
1 1.57079633 2.09439510
2 1.89611890 2.00455975 1.99857073
3 1.97423160 2.00026917 1.99998313 2.0000055
4 1.99357034 2.00001659 1.99999975 2.0000001 1.9999999
5 1.99839336 2.00000103 2.0000000 2.0000000 2.0000000 2.0000000
Cálculo Numérico - Integração numérica