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Módulo Didático de apoio à atividade docente para o CRV<br />
Disciplina Matemática – Ensino Médio<br />
Título: <strong>Função</strong> <strong>linear</strong> e função do primeiro grau<br />
Tópico<br />
8. <strong>Função</strong> do primeiro grau<br />
Introdução<br />
Habilidades<br />
8.1. Identificar uma função <strong>linear</strong> a partir de sua representação<br />
algébrica ou gráfica.<br />
8.2. Utilizar a função <strong>linear</strong> para representar relações entre<br />
grandezas diretamente proporcionais.<br />
8.3. Reconhecer funções do primeiro grau como as que têm<br />
variação constante.<br />
8.4. Identificar uma função do primeiro grau a partir de sua<br />
representação algébrica ou gráfica.<br />
8.5. Representar graficamente funções do primeiro grau.<br />
8.9. Reconhecer uma progressão aritmética como uma função<br />
do primeiro grau definida no conjunto dos números inteiros<br />
positivos<br />
Este módulo diz respeito a situações freqüentes envolvendo grandezas que sofrem<br />
aumentos iguais em tempos iguais. Neste caso, dizemos que essas grandezas estão<br />
relacionadas por uma função do primeiro grau.<br />
Várias situações podem ser modeladas através de funções do primeiro grau. Por<br />
exemplo: o valor da conta de luz em função da quantidade de energia consumida; o<br />
valor do imposto de renda do assalariado, em cada faixa de tributação, em função<br />
do salário; a distância percorrida por um automóvel com velocidade constante em<br />
função do tempo; o perímetro de um quadrado em função do lado.<br />
Neste módulo iremos estudar as funções do primeiro grau. Veremos como identificar<br />
funções do primeiro grau através de suas representações algébricas e gráficas e<br />
veremos a resolução de alguns problemas que envolvem funções do primeiro grau.<br />
1
1. Funções <strong>linear</strong>es<br />
Vamos relembrar alguns exemplos de situações que envolvem grandezas<br />
diretamente proporcionais para ver que, neste caso, essas grandezas estão<br />
relacionadas por uma função <strong>linear</strong>. Observamos que o módulo didático referente ao<br />
tópico número 4 do Ensino Fundamental apresenta várias situações de grandezas<br />
diretamente proporcionais.<br />
Exemplo 1: Se um carro está trafegando a velocidade constante de 80 km/h, então a<br />
distância d percorrida por ele é diretamente ao tempo t em que ele está andando.<br />
Como ele anda 80 km em uma hora, vemos que d = 80t<br />
. Isso significa que a razão<br />
d<br />
é constante igual a 80.<br />
t<br />
Exemplo 2: Se uma torneira despeja 3 litros de água por minuto em um recipiente,<br />
então a quantidade V de água que ela despeja no recipiente é diretamente<br />
proporcional ao tempo que a torneira fica aberta. Como ela despeja 3 litros por<br />
V<br />
minuto, vemos que V = 3t<br />
. Isso significa que a razão é constante igual a 3.<br />
t<br />
Exemplo 3: Em uma lanchonete, cada pão de queijo custa R$ 0,60. Portanto, se<br />
uma pessoa comprar n pães de queijo, ela deverá pagar um valor C igual a<br />
C = 0,<br />
60 n . Observe que as grandezas “quantidade comprada de pão de queijo” e<br />
C<br />
“valor a ser pago” são diretamente proporcionais. Neste caso, a razão é<br />
n<br />
constante igual a 0,60.<br />
De modo geral, como observado no módulo didático referente ao tópico número 4 do<br />
Ensino Fundamental, quando duas grandezas x e y são diretamente proporcionais,<br />
y<br />
então a razão entre o valor de y e o valor correspondente de x é constante. Se<br />
x<br />
y<br />
o valor dessa constante é a , então = a , ou seja, y = a x . Assim, dado o valor de<br />
x<br />
2
x , para obtermos o valor correspondente de y basta multiplicarmos x pela<br />
constante a . Neste caso, dizemos que a expressão y = a x define y como uma<br />
função <strong>linear</strong> de x .<br />
Reciprocamente, se duas grandezas x e y estão relacionadas por uma função<br />
y<br />
<strong>linear</strong> do tipo y = a x , então a razão entre o valor de y e o valor correspondente<br />
x<br />
de x é constante, e isso significa que as grandezas x e y são diretamente<br />
proporcionais. Assim concluímos que:<br />
Duas grandezas relacionadas x e y são diretamente proporcionais<br />
se, e somente se, elas estiverem relacionadas por uma função<br />
<strong>linear</strong>. Ou seja, se existir uma constante a tal que y = ax .<br />
1.1. O gráfico da função <strong>linear</strong><br />
Exemplo 4: Em um plano cartesiano, vamos representar o gráfico da função <strong>linear</strong><br />
y = 2x<br />
, isto é, vamos representar todos os pares ordenados ( x , y)<br />
tais que y = 2x<br />
.<br />
Solução: Primeiramente podemos montar uma tabela de valores, dando valores de<br />
x e calculando o valor correspondente de y , para obtermos alguns pontos do<br />
gráfico da função y = 2x<br />
. Utilizando um papel quadriculado por exemplo, esses<br />
pontos podem ser representados em um plano cartesiano, obtendo-se uma figura<br />
como a que se vê logo em seguida.<br />
x y = 2x<br />
-2 -4<br />
-1 -2<br />
0 0<br />
1 2<br />
3
2 4<br />
3 6<br />
Coloque agora uma régua sobre os pontos marcados na figura acima. Você<br />
observou que todos esses pontos estão alinhados? Agora, desenhe essa reta no<br />
plano cartesiano e continue marcando mais pontos no gráfico da função y = 2x<br />
,<br />
dando outros valores de x . Se você marcar esses novos pontos no plano, verá que<br />
todos eles pertencem à reta que você acabou de desenhar. Isso ilustra que o gráfico<br />
da função y = 2x<br />
é uma reta que passa pela origem do sistema de coordenadas.<br />
Vamos verificar que, de fato, para qualquer valor de a , o gráfico da função y = ax é<br />
uma reta que passa pela origem do sistema de coordenadas.<br />
Os pontos O = ( 0,<br />
0)<br />
e P = ( 1,<br />
a)<br />
pertencem ao gráfico desta função, pois suas<br />
coordenas satisfazem a equação y = ax . Seja t a reta que liga esses dois pontos, e<br />
seja Q = ( x , y)<br />
um outro ponto qualquer desta reta.<br />
4
Se M = ( 1,<br />
0)<br />
e N = (x , 0)<br />
são projeções dos pontos P e Q sobre o eixo x , vemos<br />
que os triângulos retângulos OMP e ONQ são semelhantes pois possuem lados<br />
paralelos. Isto implica que esses triângulos possuem lados proporcionais. Logo<br />
PM QN<br />
= ⇒<br />
MO NO<br />
a =<br />
1<br />
y<br />
x<br />
⇒ y = ax<br />
Portanto, como as coordenadas do ponto Q = ( x , y)<br />
satisfazem a equação y = ax ,<br />
vemos que o ponto Q pertence ao gráfico dessa função. Isso demonstra que:<br />
O gráfico da função y = ax é uma reta que<br />
passa pela origem do sistema de<br />
coordenadas.<br />
Como uma reta fica determinada por dois de seus pontos, para representar em um<br />
plano cartesiano o gráfico de uma função <strong>linear</strong> y = ax é suficiente marcar nesse<br />
plano dois pontos quaisquer do gráfico e depois ligar esses pontos com uma reta.<br />
Exemplo 5: Em um plano cartesiano, vamos representar o gráfico da função <strong>linear</strong><br />
1<br />
1<br />
y = x , isto é, vamos representar todos os pares ordenados ( x , y)<br />
tais que y = x .<br />
2<br />
2<br />
1<br />
Solução: Como a função y = x é <strong>linear</strong>, o seu gráfico é uma reta que passa pela<br />
2<br />
origem O = ( 0,<br />
0)<br />
do sistema de coordenadas. Agora, para x = 2 vemos que<br />
5
1 1<br />
1<br />
y = x = 2 = 1.<br />
Portanto o gráfico da função y = x também passa pelo ponto<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
P = ( 2,<br />
1)<br />
. Assim, para traçar o gráfico da função y = x é suficiente marcar o ponto<br />
2<br />
P = ( 2,<br />
1)<br />
e desenhar a reta que liga P a origem do sistema de coordenadas.<br />
Exemplo 6: Em um plano cartesiano, vamos representar o gráfico da função <strong>linear</strong><br />
y = −2x<br />
.<br />
Solução: Como a função y = −2x<br />
é <strong>linear</strong>, o seu gráfico é uma reta que passa pela<br />
origem O = ( 0,<br />
0)<br />
do sistema de coordenadas. Assim, já temos um ponto do gráfico<br />
desejado: a origem. Para desenhar então o gráfico dessa função basta<br />
representarmos no plano cartesiano um outro ponto qualquer do gráfico e o ligar<br />
com a origem por uma reta. Considerando x = −1,<br />
obtemos o valor correspondente:<br />
y = 2 . Assim, o gráfico da função y = −2x<br />
é a reta que liga os pontos O = ( 0,<br />
0)<br />
e<br />
P = (−1,<br />
2)<br />
.<br />
6
1.2. <strong>Função</strong> <strong>linear</strong> crescente e função <strong>linear</strong> decrescente<br />
Considere por exemplo a função <strong>linear</strong> y = 2x<br />
cujo gráfico foi estudado no exemplo<br />
4. Observe que, para essa função, quanto maior o valor de x maior será o valor<br />
correspondente de y . Isso significa que a função y = 2x<br />
é crescente. Agora, para<br />
a função y = −2x<br />
, cujo gráfico foi construído no exemplo 6, quanto maior o valor de<br />
x menor será o valor correspondente de y . Isso significa que a função y = −2x<br />
é<br />
decrescente. De modo geral, tem-se que:<br />
• se a > 0 então a função y = ax é crescente: quanto maior x , maior y .<br />
• se a < 0 então a função y = ax é decrescente: quanto maior x , menor y .<br />
7
1.3. Identificação de funções <strong>linear</strong>es<br />
Os próximos exemplos ilustram situações variadas em que se deve identificar uma<br />
função <strong>linear</strong>.<br />
Exemplo 7: qual dos gráficos a seguir pode ser de uma função <strong>linear</strong>?<br />
Solução: o gráfico de uma função <strong>linear</strong> é uma reta que passa pela origem do<br />
sistema de coordenadas. Das alternativas apresentadas, a única que corresponde a<br />
uma tal reta é a da letra (B).<br />
Exemplo 8: qual das funções a seguir é <strong>linear</strong>?<br />
2<br />
A) y = x . B) y = 3x −1<br />
. C) y = x(<br />
x −1)<br />
. D) y = 5x<br />
.<br />
Solução: uma função <strong>linear</strong> tem equação do tipo y = ax para algum número fixado<br />
a . Das alternativas apresentadas, a única que tem esse aspecto é a alternativa (D).<br />
8
Exemplo 9: as grandezas x e y são diretamente proporcionais. Se, para x = 5 , o<br />
valor correspondente de y é y = 7 , então essas grandezas estão relacionadas por:<br />
5<br />
7<br />
A) y = x . B) y = x . C) y = 5 x + 7 . D) y = 7 x + 5 .<br />
7<br />
5<br />
Solução: Se as grandezas x e y são diretamente proporcionais, então o quociente<br />
y y<br />
, entre valores correspondentes de x e y , é constante. Se a = é o valor desta<br />
x<br />
x<br />
7<br />
constante temos que a = , pois para x = 5 o valor correspondente de y é y = 7 .<br />
5<br />
y 7<br />
7<br />
Assim = , ou seja, y = x , alternativa (B).<br />
x 5<br />
5<br />
Exemplo 10: Na figura a seguir está representada uma reta num plano cartesiano.<br />
Essa reta é o gráfico da função<br />
A) y = 3 x + 2.<br />
B) y = 2 x + 3.<br />
2<br />
C) y = x .<br />
3<br />
3<br />
D) y = x .<br />
2<br />
Solução: como a reta apresentada passa pela origem do sistema de coordenadas,<br />
ela é o gráfico de uma função <strong>linear</strong>, que tem a forma y = ax . Como o ponto ( 3,<br />
2)<br />
pertence ao gráfico, tem-se que essa equação é verdadeira para x = 3 e y = 2 .<br />
2<br />
Nesse caso, obtém-se 2 = 3a<br />
, ou seja, a = . Portanto, a reta apresentada é o<br />
3<br />
2<br />
gráfico da função <strong>linear</strong> y = x , alternativa (C).<br />
3<br />
9
2. Funções do primeiro grau<br />
Antes de começar o estudo das funções do primeiro grau, vamos ver alguns<br />
exemplos de situações que envolvem esse tipo de relação entre duas grandezas.<br />
Exemplo 11: Num determinado instante, um recipiente possui 20 litros de água. A<br />
partir desse instante, uma torneira é aberta e ela começa a despejar 3 litros de água<br />
por minuto no recipiente. A tabela a seguir ilustra a quantidade de água no recipiente<br />
após alguns instantes da torneira ter sido aberta:<br />
Tempo que a<br />
torneira ficou<br />
aberta (minuto)<br />
Volume de água no<br />
recipiente (litros)<br />
0 1 2 3 4 5<br />
20 23 26 29 32 35<br />
Observe que a cada minuto que passa o volume de água no recipiente é aumentado<br />
em 3 litros, e que podemos reescrever a tabela anterior do seguinte modo:<br />
Tempo que a<br />
torneira ficou<br />
aberta (minuto)<br />
0 20<br />
1 23 = 20 + 3<br />
Volume de água no<br />
recipiente (litros)<br />
2 26 = 23 + 3 = 20 + 2 × 3<br />
3 29 = 26 + 3 = 20 + 3×<br />
3<br />
4 32 = 29 + 3 = 20 + 4 × 3<br />
5 35 = 32 + 3 = 20 + 5×<br />
3<br />
Continuando dessa maneira, e observando a regularidade das linhas da tabela<br />
anterior, pode-se concluir que após t minutos de a torneira ter sido aberta, o volume<br />
de água no recipiente será igual a V = 20 + t × 3.<br />
Uma expressão como essa que<br />
acabamos de deduzir é muito interessante, pois ela nos permite responde facilmente<br />
várias perguntas, tais como:<br />
(a) Após 60 minutos de a torneira ter sido aberta, qual o volume de água no<br />
recipiente?<br />
10
De acordo com a expressão V = 20 + t × 3,<br />
após 60 minutos o volume de água no<br />
recipiente será igual a V = 20 + 60 × 3 = 200 litros.<br />
(b) Após quanto tempo de a torneira ter sido aberta, o volume de água no recipiente<br />
será de 86 litros?<br />
De acordo com a expressão V = 20 + t × 3,<br />
o volume de água no recipiente será<br />
de 86 litros se 20 + t × 3 = 86.<br />
Daí, 3 t = 66 ⇒ t = 22 . Logo, após 22 minutos de a<br />
torneira ter sido aberta, o volume de água no recipiente será de 86 litros?<br />
Exemplo 12: Uma caixa d’água está completamente cheia com 1000 litros de água.<br />
Em um determinado instante, uma torneira é aberta, e desse modo são retirados 2<br />
litros de água por hora da caixa d’água. A tabela a seguir nos mostra o volume de<br />
água na caixa em alguns instantes após a torneira ter sido aberta:<br />
Tempo que a<br />
torneira ficou<br />
aberta (hora)<br />
Volume de água na<br />
caixa (litros)<br />
0 1 2 3 4 5<br />
1000 998 996 994 992 990<br />
Observe que a cada minuto que passa o volume de água na caixa diminui em 2<br />
litros, e que podemos reescrever a tabela anterior do seguinte modo:<br />
Tempo que a<br />
torneira ficou<br />
aberta (hora)<br />
0 1000<br />
1 998 = 1000 − 2<br />
Volume de água na caixa<br />
(litros)<br />
2 996 = 998 − 2 = 1000 − 2×<br />
2<br />
3 994 = 996 − 2 = 1000 − 3×<br />
2<br />
4 992 = 994 − 2 = 1000 − 4 × 2<br />
5 990 = 992 − 2 = 1000 − 5×<br />
2<br />
Como no exemplo anterior, continuando dessa maneira, e observando a<br />
regularidade das linhas da tabela anterior, pode-se concluir que após t minutos de a<br />
11
torneira ter sido aberta, o volume de água na caixa d’água será igual a<br />
V = 1000 − t × 2 . Uma expressão como essa que acabamos de deduzir é muito<br />
interessante, pois ela nos permite responde facilmente várias perguntas, tais como:<br />
(a) Qual será o volume de água na caixa após 24 horas de a torneira ter sido<br />
aberta?<br />
De acordo com a expressão V = 1000 − t × 2 , após 24 horas de a torneira ter sido<br />
aberta o volume de água na caixa será igual a V = 1000 − 24 × 2 = 952 litros.<br />
(b) Após quanto tempo de a torneira ter sido aberta, o volume de água na caixa será<br />
de 500 litros?<br />
De acordo com a expressão V = 1000 − t × 2 , o volume de água na caixa será de<br />
500 litros se 500 = 1000 − t × 2 , ou seja, se 2 t = 500 ⇒ t = 250 . Portanto após<br />
250 minutos a caixa d’água terá 500 litros.<br />
(c) Após quanto tempo de a torneira ter sido aberta, a caixa d’água estará vazia?<br />
A caixa d’água estará vazia se o volume de água contida nela for igual a zero.<br />
De acordo com a expressão V = 1000 − t × 2 , isso significa que 0 = 1000 − t × 2 , ou<br />
seja, se t = 500 . Portanto após 500 minutos a caixa d’água estará vazia.<br />
No exemplo 11 as grandezas volume (V ) e tempo ( t ) estão relacionadas pela<br />
expressão V = 20 + t × 3,<br />
e no exemplo 12 temos uma dependência do tipo<br />
V = 1000 − t × 2 . Essas duas expressões são casos particulares de funções do<br />
primeiro grau.<br />
Duas grandezas x e y estão relacionadas por uma função do<br />
primeiro grau se existirem números a e b tais que os valores<br />
correspondentes de x e y estão relacionados por y = ax + b .<br />
Por exemplo, as seguintes expressões são funções do primeiro grau:<br />
1<br />
y = 2 x + 1,<br />
y = −4<br />
x + 10,<br />
y = x − 5 ,<br />
2<br />
2<br />
y = 2 x − ,<br />
3<br />
3 1<br />
y = − x − .<br />
7 4<br />
Além disso, existem funções do primeiro grau que relacionam grandezas de nomes<br />
diferentes de x e y , como as que estão ilustradas a seguir.<br />
V = 20 + 3t<br />
, S = 10 + 60t<br />
, C = 60 + 5n<br />
, h = 150 − 3v<br />
, r = −13<br />
+ 15y<br />
.<br />
Observação: uma função <strong>linear</strong> y = ax é uma função do primeiro grau y = ax + b .<br />
Para ver isso, basta substituir b = 0 na expressão y = ax + b . Por outro lado, se b ≠ 0<br />
uma função do primeiro grau y = ax + b não e uma função <strong>linear</strong>.<br />
12
Curiosidade sobre a nomenclatura: a expressão y = ax + b recebe o nome “função<br />
do primeiro grau” porque o expoente da variável x é igual a 1. A título de ilustração,<br />
se o expoente de x fosse 2, como por exemplo em 5 3 1<br />
2<br />
y = x − x + , teríamos uma<br />
função do segundo grau.<br />
2.1 O gráfico da função do primeiro grau<br />
Exemplo 13: Em um plano cartesiano, vamos representar o gráfico da função do<br />
primeiro grau y = 2x −1<br />
, isto é, vamos representar todos os pares ordenados ( x , y)<br />
tais que y = 2x −1<br />
.<br />
Solução: Como fizemos no caso de funções <strong>linear</strong>es, primeiramente podemos<br />
montar uma tabela de valores, dando valores de x e calculando o valor<br />
correspondente de y , para obtermos alguns pontos do gráfico da função y = 2x −1<br />
.<br />
Utilizando um papel quadriculado por exemplo, esses pontos podem ser<br />
representados em um plano cartesiano, obtendo-se uma figura como a que se vê<br />
logo em seguida.<br />
x y = 2x −1<br />
-2 -5<br />
-1 -3<br />
0 -1<br />
1 1<br />
2 3<br />
3 5<br />
Coloque agora uma régua sobre os pontos marcados na figura acima. Você<br />
observou que todos esses pontos estão alinhados? Agora, desenhe essa reta no<br />
plano cartesiano e continue marcando mais pontos no gráfico da função y = 2x −1<br />
,<br />
dando outros valores de x . Se você marcar esses novos pontos no plano, verá que<br />
13
todos eles pertencem à reta que você acabou de desenhar. Isso ilustra que o gráfico<br />
da função y = 2x −1<br />
é uma reta.<br />
Observação 1: o gráfico da função <strong>linear</strong> y = 2x −1<br />
é uma reta que não passa pela<br />
origem do sistema de coordenadas. Isso porque os números x = 0 e y = 0 não<br />
satisfazem, simultaneamente, a equação y = 2x −1<br />
.<br />
Observação 2: no exemplo número 4 construímos<br />
o gráfico da função y = 2x<br />
, que é igual a uma reta<br />
que passa pela origem do sistema de coordenadas.<br />
Agora vamos tentar encontrar os pontos de<br />
interseção das retas que são os gráficos das<br />
funções y = 2x<br />
e y = 2x −1<br />
. Ora, se um ponto<br />
, ) x P = está na interseção dessas duas retas,<br />
( 0 0 y<br />
temos que y 0 = 2x0<br />
e y 0 = 2x0 −1.<br />
Daí, igualando<br />
essas duas expressões concluímos que<br />
2 0 0<br />
x = 2x<br />
−1<br />
, ou seja, 0 = −1.<br />
Como isso é<br />
evidentemente falso, vemos que não existe ponto<br />
na interseção dos gráficos de y = 2x<br />
e de<br />
14
y = 2x −1<br />
. Portanto, esses gráficos são retas<br />
paralelas.<br />
De modo geral, argumentando de maneira similar à demonstração dada no caso de<br />
funções <strong>linear</strong>es, pode-se demonstrar que o gráfico de uma função do primeiro grau<br />
y = ax + b é uma reta.<br />
O gráfico de uma função do primeiro grau y = ax + b é<br />
uma reta.<br />
Mais ainda, como a equação ax + b = ax não tem<br />
solução para b ≠ 0 , os gráficos das funções y = ax + b e<br />
y = ax são retas paralelas.<br />
Como uma reta fica determinada por dois de seus pontos, para representar em um<br />
plano cartesiano o gráfico de uma função do primeiro grau <strong>linear</strong> y = ax + b é<br />
suficiente marcar nesse plano dois pontos quaisquer do gráfico e depois ligar esses<br />
pontos com uma reta.<br />
Exemplo 14: Em um plano cartesiano, vamos representar o gráfico da função <strong>linear</strong><br />
1<br />
y = x + 2 , isto é, vamos representar todos os pares ordenados ( x , y)<br />
tais que<br />
2<br />
1<br />
y = x + 2 .<br />
2<br />
1<br />
Solução: Como a função y = x + 2 é do primeiro grau, o seu gráfico é uma reta.<br />
2<br />
Para determiná-la vamos encontrar dois dos seus pontos. Para isso, substituímos<br />
1<br />
dois valores numéricos de x na equação y = x + 2 e calculamos os valores<br />
2<br />
correspondentes de y . Por exemplo, para x = 0 tem-se que y = 2 e para x = 2 tem-<br />
15
1<br />
se que y = 3 . Portanto, para desenhar o gráfico da função y = x + 2 basta<br />
2<br />
representar num plano cartesiano os pontos P = ( 0,<br />
2)<br />
e Q = ( 2,<br />
3)<br />
e depois ligá-los<br />
por uma reta.<br />
Exemplo 15: Em um plano cartesiano, vamos representar o gráfico da função do<br />
primeiro grau y = −2<br />
x + 4 .<br />
Solução: Como a função y = −2<br />
x + 4 é do primeiro grau, o seu gráfico é uma reta.<br />
Para determiná-la vamos encontrar dois dos seus pontos. Para isso, neste exemplo,<br />
vamos determinar a interseção da reta que desejamos desenhar com os eixos<br />
coordenados. O gráfico de y = −2<br />
x + 4 intersecta o eixo y quando x = 0.<br />
Substituindo x = 0 na expressão y = −2<br />
x + 4 obtemos y = 4 . Portanto, o gráfico de<br />
y = −2<br />
x + 4 intersecta o eixo y no ponto P = ( 0,<br />
4)<br />
. Por outro lado, o gráfico de<br />
y = −2<br />
x + 4 intersecta o eixo x quando y = 0 . Substituindo y = 0 na expressão<br />
y = −2<br />
x + 4 obtemos a equação − 2 x + 4 = 0 cuja solução é x = 2 . Portanto, o gráfico<br />
de y = −2<br />
x + 4 intersecta o eixo x no ponto Q = ( 2,<br />
0)<br />
. Assim, para construir o<br />
gráfico da função y = −2<br />
x + 4 representamos num plano cartesiano os pontos<br />
P = ( 0,<br />
4)<br />
e Q = ( 2,<br />
0)<br />
e os ligamos por uma reta.<br />
16
2.2. <strong>Função</strong> do primeiro grau crescente e função do primeiro grau decrescente<br />
Como observamos anteriormente, os gráficos das funções y = ax e y = ax + b são<br />
duas retas paralelas. Assim a função do primeiro grau y = ax + b tem o mesmo tipo<br />
de crescimento da função <strong>linear</strong> y = ax . Ou seja:<br />
• se a > 0 então a função y = ax + b é crescente: quanto maior x , maior y .<br />
• se a < 0 então a função y = ax + b é decrescente: quanto maior x , menor y .<br />
2.3. Identificação de funções do primeiro grau<br />
Os próximos exemplos ilustram situações variadas em que se deve identificar uma<br />
função do primeiro grau.<br />
Exemplo 16: Qual das funções a seguir é do primeiro grau?<br />
2<br />
1<br />
1<br />
A) y = x − 3x<br />
+ 1.<br />
B) y = x 3 + 5 . C) y = . D) y = + 4 .<br />
2x<br />
+ 3<br />
x<br />
Solução: Uma função do primeiro grau entre as variáveis x e y tem o seguinte<br />
aspecto: y = ax + b , sendo a e b números. Das alternativas apresentadas neste<br />
exemplo, somente a função y = x 3 + 5 é do tipo y = ax + b , com a = 3 e b = 5 .<br />
17
Exemplo 17: qual dos gráficos a seguir pode ser de uma função do primeiro grau?<br />
Solução: o gráfico de uma função do primeiro grau é uma reta não paralela ao eixo<br />
y . Das alternativas apresentadas, a única que corresponde a uma tal reta é a letra<br />
(C).<br />
Exemplo 18: no plano cartesiano da figura a seguir está representada uma reta.<br />
Ela é o gráfico de qual função do primeiro grau?<br />
3 5<br />
A) y = − x + 3.<br />
B) y = − x + 5 . C) y = −3<br />
x + 5.<br />
D) y = −5<br />
x + 3.<br />
5<br />
3<br />
18
Solução: uma função do primeiro grau tem a forma y = ax + b . Como desejamos<br />
encontrar uma função do primeiro grau cujo gráfico contém os pontos A = ( 5,<br />
0)<br />
e<br />
B = ( 0,<br />
3)<br />
esses pontos devem satisfazer a equação y = ax + b . Substituindo nessa<br />
equação x = 5 e y = 0 obtemos então 5 a + b = 0 , e depois substituindo x = 0 e y = 3<br />
3<br />
obtemos 3 = 0a<br />
+ b . Essas duas equações implicam que b = 3 e a = − . Portanto, a<br />
5<br />
3<br />
reta apresentada é o gráfico da função y = − x + 3.<br />
5<br />
Exemplo 19: Determine uma função do primeiro grau cujo gráfico contém os pontos<br />
P = (−1,<br />
4)<br />
e Q = ( 2,<br />
13)<br />
.<br />
Solução: uma função do primeiro grau tem a forma y = ax + b . Como desejamos<br />
encontrar uma função do primeiro grau cujo gráfico contém os pontos P = (−1,<br />
4)<br />
e<br />
Q = ( 5,<br />
0)<br />
esses pontos devem satisfazer a equação y = ax + b . Para o ponto P ,<br />
substituindo x = −1<br />
e y = 4 em y = ax + b obtemos a equação − a + b = 4 . Já para o<br />
ponto Q , substituindo x = 2 e y = 13 em y = ax + b obtemos a equação 2 a + b = 13 .<br />
Desse modo, obtemos o sistema <strong>linear</strong><br />
19<br />
⎧−<br />
a + b = 4<br />
⎨ , cuja solução é a = 3 e b = 7 .<br />
⎩2a<br />
+ b = 13<br />
Portanto o gráfico da função do primeiro grau y = 3 x + 7 contém os pontos<br />
P = (−1,<br />
4)<br />
e Q = ( 2,<br />
13)<br />
.<br />
Exemplo 20: Represente em um mesmo plano cartesiano os gráficos das funções<br />
y = 2x<br />
, y = 2x − 3 , y = 2 x + 3 .<br />
Solução: a função y = 2x<br />
é <strong>linear</strong>, enquanto que as funções y = 2x − 3 e y = 2 x + 3<br />
são do primeiro grau. Assim, os gráficos dessas funções são retas. Além disso,<br />
como essas funções possuem o mesmo coeficiente da variável x , neste caso o<br />
coeficiente 2, vemos que os gráficos dessas três funções são retas paralelas. Para<br />
desenhar essas retas observe que:<br />
• o gráfico de y = 2x<br />
passa pela origem e pelo ponto A = ( 1,<br />
2)<br />
.
• o gráfico de y = 2x − 3 intersecta o eixo y no ponto B = ( 0,<br />
−3)<br />
e intersecta o<br />
⎛ 3 ⎞<br />
eixo x no ponto C = ⎜ , 0⎟<br />
.<br />
⎝ 2 ⎠<br />
• o gráfico de y = 2 x + 3 intersecta o eixo y no ponto D = ( 0,<br />
3)<br />
e intersecta o<br />
⎛ 3 ⎞<br />
eixo x no ponto E = ⎜−<br />
, 0⎟<br />
.<br />
⎝ 2 ⎠<br />
Exemplo 21: Classifique corretamente cada uma das funções do primeiro grau como<br />
sendo crescente ou decrescente.<br />
1 2<br />
(a) y = x − 4 . (b) y = −2<br />
x + 50 . (c) y = 2 x + . (d) y = 3 − 2x<br />
.<br />
3<br />
3<br />
Solução: uma função do primeiro grau y = ax + b é crescente se a > 0 , e uma função<br />
1<br />
do primeiro grau y = ax + b é decrescente se a < 0.<br />
Assim as funções (a) y = x − 4 ,<br />
3<br />
e (c)<br />
2<br />
y = 2 x + são crescentes, enquanto que as funções (b) y = −2<br />
x + 50 e (d)<br />
3<br />
y = 3 − 2x<br />
são decrescentes.<br />
20
2.4. <strong>Função</strong> do primeiro grau e Progressão Aritmética<br />
Nesta seção veremos que existe uma relação bastante estreita entre os conceitos de<br />
função do primeiro grau e termo geral de uma progressão aritmética.<br />
Lembre-se que uma seqüência a 1 , a 2 , 3 a , K, a n , K é uma progressão aritmética<br />
se existir um número h tal que:<br />
a a + h<br />
2 = 1 , a 3 = a2<br />
+ h , a 4 = a3<br />
+ h , K, an an<br />
+ h<br />
= −1 , K<br />
isto é, cada termo é igual ao termo anterior mais uma constante previamente fixada,<br />
chamada de razão da progressão aritmética. Daí, segue que<br />
a a + h<br />
2<br />
= 1<br />
a = a + h = a + h)<br />
+ h = a + 2×<br />
h<br />
3<br />
2<br />
( 1<br />
1<br />
a = a + h = a + 2 × h)<br />
+ h = a + 3×<br />
h<br />
4<br />
3<br />
( 1<br />
1<br />
a = a + h = a + 3×<br />
h)<br />
+ h = a + 4×<br />
h<br />
5<br />
4<br />
( 1<br />
1<br />
a = a + h = a + 4 × h)<br />
+ h = a + 5×<br />
h<br />
6<br />
5<br />
( 1<br />
1<br />
e analisando a regularidade das expressões acima, concluímos que para todo n ≥ 1<br />
vale a igualdade = a + ( n −1)<br />
h . Essa é a expressão para o termo geral da<br />
a n<br />
1<br />
progressão aritmética de primeiro termo a 1 e razão h . Essa expressão é importante<br />
pois ela permite o cálculo de qualquer termo da progressão, sem a necessidade da<br />
determinação de todos os seus termos anteriores.<br />
Exemplo 22: o termo geral da progressão aritmética de primeiro termo a 1 = −3<br />
e<br />
razão h = 2 é an = a1<br />
+ ( n −1)<br />
h = −3<br />
+ ( n −1)<br />
× 2 = −3<br />
+ 2n<br />
− 2 ⇒ an = 2n − 5.<br />
Agora,<br />
observe que se considerarmos a função do primeiro grau f ( x)<br />
= 2x<br />
− 5 , temos que<br />
f ( n)<br />
= an<br />
para todo inteiro n ≥ 1.<br />
Portanto, os pontos de coordenadas ( , n ) a n estão<br />
sobre o gráfico da função f ( x)<br />
= 2x<br />
− 5 . Mas, como o gráfico de uma função do<br />
primeiro grau é uma reta, concluímos que todos esses pontos estão alinhados, como<br />
podemos observar na seguinte figura.<br />
21
Exemplo 23: Considere a função do primeiro grau f ( x)<br />
= −3x<br />
+ 5 . Vamos mostrar<br />
que se definirmos an = f (n)<br />
para todo inteiro n ≥ 1,<br />
então a seqüência a 1,<br />
a2<br />
, a3<br />
, K é<br />
uma progressão aritmética. De fato, para esse caso temos que<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
= −3<br />
+ 5 = 2<br />
= −3×<br />
2 + 5 = −1<br />
= −3×<br />
3 + 5 = −4<br />
= −3×<br />
4 + 5 = −7<br />
e por uma verificação direta observamos que a seqüência assim formada<br />
( 2, − 1,<br />
− 4,<br />
− 7,<br />
K)<br />
é uma progressão aritmética de primeiro termo a 1 = 2 e razão<br />
h = 3 .<br />
As observações dos exemplos 22 e 23 são válidas em geral, para quaisquer<br />
progressões aritméticas e quaisquer funções do primeiro grau, como observamos a<br />
seguir.<br />
Se uma progressão aritmética tem primeiro termo a 1 e razão h , então o seu termo<br />
geral an = a1<br />
+ ( n −1)<br />
× h = hn + ( a1<br />
− h)<br />
define a n como uma função do primeiro grau<br />
de n . Isto é, se definirmos a função do primeiro grau f ( x)<br />
= hx + ( a1<br />
− h)<br />
então<br />
f ( n)<br />
= a para todo inteiro n ≥ 1.<br />
n<br />
22
Reciprocamente,<br />
Dada uma função do primeiro grau f ( x)<br />
= ax + b , se definirmos an = f (n)<br />
para todo<br />
inteiro n ≥ 1,<br />
então a seqüência a a , a , K é uma progressão aritmética de primeiro<br />
termo a = f ( 1)<br />
e razão h = a .<br />
1<br />
1,<br />
2 3<br />
Isso significa que uma progressão aritmética pode ser vista como uma função do<br />
primeiro grau f ( x)<br />
= ax + b cuja variável x assume somente valores inteiros<br />
positivos.<br />
Exemplo 24: Os três primeiros termos de uma progressão aritmética são a 1 = 9 ,<br />
a 5 e a 1.<br />
Vamos determinar uma função do primeiro grau ) (x f y = tal que<br />
2 =<br />
n<br />
3 =<br />
f ( n)<br />
= a para todo inteiro n ≥ 1.<br />
Solução: O termo geral de uma progressão aritmética de primeiro termo a 1 e razão<br />
h é an = a1<br />
+ ( n −1)<br />
h . No caso desse exemplo a 1 = 9 e h = a2<br />
− a1<br />
= 5 − 9 = −4<br />
.<br />
Substituindo esses valores na expressão do termo geral, obtemos<br />
an = a + ( n −1)<br />
h = 9 + ( n −1)<br />
× ( −4)<br />
= 9 − 4n<br />
+ 4 ⇒ = −4<br />
n + 13 . Desse modo, se<br />
1<br />
definirmos f ( x)<br />
= −4x<br />
+ 13 vemos que n a n f = ) ( para todo inteiro 1 ≥ n .<br />
a n<br />
23
2.5. Funções do primeiro grau são caracterizas por terem Variação Constante<br />
Para terminar esse módulo sobre funções do primeiro grau, vamos mostrar que elas<br />
possuem variação constante.<br />
Então vamos começar com uma função do primeiro grau f ( x)<br />
= ax + b , cujo gráfico é<br />
uma reta. Vamos fixar também um número h > 0.<br />
Assim, se a variável x passa de<br />
um valor x 0 para o valor x 0 + h então o valor da função f passa de f ( x0<br />
) para<br />
f x + h)<br />
e a função sofre um acréscimo igual a<br />
( 0<br />
[ a(<br />
x + h)<br />
+ b]<br />
− [ a x + b]<br />
= a x + ah + b − a x − b ah<br />
f ( x h)<br />
− f ( x ) =<br />
= .<br />
0 + 0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
Como o valor de f ( x0<br />
+ h)<br />
− f ( x0<br />
) = ah não depende do valor de x 0 , isso significa<br />
que essa diferença é constante, assume sempre o mesmo valor,<br />
independentemente do valor de x 0 . Por esse fato, dize-se que a função do primeiro<br />
grau tem variação constante.<br />
A figura a seguir ilustra esse fato: para quaisquer valores de 0 x e x 1 as diferenças<br />
f ( x0<br />
+ h)<br />
− f ( x0<br />
) e f ( x1<br />
+ h)<br />
− f ( x1)<br />
são iguais. Aqui vale a pena observar que esse<br />
fato também segue da congruência dos triângulos retângulos hachurados.<br />
Então demonstramos que uma função do primeiro grau tem variação constante.<br />
Entretanto, pode-se mostrar que vale a recíproca desse resultado, ou seja, se uma<br />
24
função tem variação constante, então ela é uma função do primeiro grau. Desse<br />
modo temos:<br />
Bibliografia<br />
As funções do primeiro grau possuem variação constante e,<br />
reciprocamente, as únicas funções que possuem variação<br />
constante são as funções do primeiro grau.<br />
1. Orientação Pedagógica referente ao tópico 8, do ensino médio.<br />
2. CBC.<br />
25