Módulo Didático de apoio à atividade docente para o CRV ...
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<strong>Módulo</strong> <strong>Didático</strong> <strong>de</strong> <strong>apoio</strong> <strong>à</strong> ativida<strong>de</strong> <strong>docente</strong> <strong>para</strong> o <strong>CRV</strong><br />
Disciplina Matemática − Ensino Médio<br />
Título: Probabilida<strong>de</strong><br />
5. Probabilida<strong>de</strong><br />
Introdução<br />
5.1. Reconhecer o caráter aleatório <strong>de</strong> variáveis em<br />
situações-problema.<br />
5.2. I<strong>de</strong>ntificar o espaço amostral em situações-problema.<br />
5.3. Resolver problemas simples que envolvam o cálculo<br />
<strong>de</strong> probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> eventos equiprováveis.<br />
5.4. Utilizar o princípio multiplicativo no cálculo <strong>de</strong><br />
probabilida<strong>de</strong>s.<br />
Hoje em dia são freqüentes informações sobre a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> uma pessoa<br />
ser sorteada em uma loteria, <strong>de</strong> contrair um uma doença, <strong>de</strong> um candidato<br />
vencer uma eleição, etc. Além disso, valores <strong>de</strong> seguros <strong>de</strong> veículos, por<br />
exemplo, são calculados levando-se em consi<strong>de</strong>ração, entre outros fatores, o<br />
sexo e a ida<strong>de</strong> do proprietário. Isto porque, <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ndo <strong>de</strong>stes fatores, estas<br />
empresas sabem que po<strong>de</strong>m ser maiores ou menores as chances do veículo se<br />
envolver em um aci<strong>de</strong>nte. Portanto, probabilida<strong>de</strong>s são utilizadas em situações<br />
em que dois ou mais resultados diferentes po<strong>de</strong>m ocorrer, mas não é possível<br />
saber antecipadamente qual <strong>de</strong>les realmente acontecerá. Por exemplo, fazendo<br />
uma aposta em uma loteria, até que o sorteio se realize, é impossível saber se a<br />
pessoa vai ganhar ou não, mas po<strong>de</strong>-se calcular a probabilida<strong>de</strong> disto<br />
acontecer.<br />
Os <strong>de</strong>partamentos <strong>de</strong> qualida<strong>de</strong> das empresas também utilizam conceitos<br />
<strong>de</strong> probabilida<strong>de</strong> e estatística <strong>para</strong> verificar se as mercadorias produzidas, ou se<br />
os serviços prestados estão <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> níveis esperados <strong>de</strong> qualida<strong>de</strong>. Para isto,<br />
estes <strong>de</strong>partamentos pesquisam uma amostra da produção, ou dos serviços<br />
prestados, verificam nesta amostra o nível <strong>de</strong> qualida<strong>de</strong> e, utilizam os dados<br />
obtidos na amostra <strong>para</strong> estimar os níveis <strong>de</strong> qualida<strong>de</strong> da produção toda, ou <strong>de</strong><br />
todos os serviços prestados. Esta técnica é extremamente importante pois, em<br />
1
muitos casos, é muito difícil, ou até impossível, testar todas as mercadorias<br />
produzidas.<br />
Experimentos aleatórios<br />
Diz-se que um experimento é aleatório quando repetido várias vezes, sob<br />
condições semelhantes, os resultados são imprevisíveis.<br />
Para exemplificar, vamos consi<strong>de</strong>rar os experimentos nas situações a seguir.<br />
Situação 1. Experimento: Lançamento <strong>de</strong> uma moeda.<br />
Por exemplo, o resultado <strong>de</strong> sair cara na face superior é aleatório.<br />
Situação 2. Experimento: Lançamento <strong>de</strong> um dado.<br />
Por exemplo, o resultado <strong>de</strong> sair um número maior que três na face superior é<br />
aleatório.<br />
Situação 3. Experimento: Extrair duas bolas <strong>de</strong> uma urna com 6 bolas azuis, 8<br />
bolas brancas e 7 amarelas.<br />
Por exemplo, o resultado <strong>de</strong> a extração ser duas bolas <strong>de</strong> mesma cor é<br />
aleatório.<br />
2
Experimentos <strong>de</strong>terminísticos<br />
Diz-se que um experimento é <strong>de</strong>terminístico quando repetido várias vezes, sob<br />
condições semelhantes, os resultados são essencialmente os mesmos.<br />
Para exemplificar, vamos consi<strong>de</strong>rar os experimentos nas situações a seguir.<br />
Situação 1. Experimento: Lançamento <strong>de</strong> um dado.<br />
Por exemplo, o resultado <strong>de</strong> sair um número maior seis na face superior é<br />
<strong>de</strong>terminístico.<br />
Situação 2. Experimento: Soltar uma pedra do alto <strong>de</strong> um morro.<br />
O resultado <strong>de</strong> a pedra cair é <strong>de</strong>terminístico.<br />
Probabilida<strong>de</strong><br />
Não sendo possível <strong>de</strong>terminar se um dado experimento aleatório ocorrerá ou<br />
não, procuramos formas <strong>de</strong> calcular as chances <strong>de</strong> o experimento ocorrer.<br />
A seguir introduziremos conceitos que nos permitirão obter um modo <strong>de</strong> calcular<br />
as chances <strong>de</strong> um experimento aleatório ocorrer, isto é, <strong>de</strong> calcular a<br />
probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um experimento ocorrer. Além disso, consi<strong>de</strong>raremos que os<br />
eventos elementares <strong>de</strong> um mesmo espaço amostral têm a mesma chance <strong>de</strong><br />
ocorrer.<br />
Espaço amostral<br />
O conjunto <strong>de</strong> todos os possíveis resultados <strong>de</strong> um experimento é <strong>de</strong>nominado<br />
espaço amostral.<br />
Exemplo 1. Lança-se um dado e observa-se o número na sua face superior. O<br />
conjunto <strong>de</strong> todos os resultados possíveis é {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Este é o espaço<br />
amostral <strong>de</strong>sse experimento.<br />
3
Exemplo 2. Lançam-se duas moedas e observam-se os resultados em suas<br />
faces superiores. O espaço amostral <strong>de</strong>sse experimento é<br />
{( cara , cara),<br />
( cara,<br />
coroa),<br />
( coroa,<br />
cara),<br />
( coroa,<br />
coroa)}<br />
.<br />
Evento Elementar<br />
Cada elemento do espaço amostral <strong>de</strong>nomina-se um evento elementar.<br />
Exemplo 3. No exemplo 2 os eventos elementares são: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} e {6}.<br />
Exemplo 4. No exemplo 2 os eventos elementares são: {( cara , cara)}<br />
,<br />
{( cara , coroa)}<br />
, {( coroa , cara)}<br />
e {( coroa , coroa)}<br />
.<br />
Como dissemos anteriormente, consi<strong>de</strong>raremos que os eventos elementares <strong>de</strong><br />
um mesmo espaço amostral têm a mesma chance <strong>de</strong> ocorrer. Em outras<br />
palavras, eles têm a mesma probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ocorrer.<br />
Evento<br />
Chamamos <strong>de</strong> evento a qualquer subconjunto do espaço amostral.<br />
Exemplo 5. Listamos a seguir alguns exemplos <strong>de</strong> eventos do espaço amostral<br />
do Exemplo 1 e algumas maneiras <strong>de</strong> <strong>de</strong>screvê-los:<br />
• {1}. Este evento correspon<strong>de</strong>, por exemplo, a sair 1 na face superior do<br />
dado; ou <strong>de</strong> sair um número menor que 2;<br />
• {5}. Este evento correspon<strong>de</strong>, por exemplo, a sair 5 na face superior do<br />
dado;<br />
• {1, 2}. Este evento correspon<strong>de</strong>, por exemplo, a sair um número menor<br />
que 3 na face superior; ou <strong>de</strong> sair 1 ou 2 na face superior do dado.<br />
4
• { }. Este evento correspon<strong>de</strong>, por exemplo, a sair qualquer número maior<br />
que 6 na face superior do dado;<br />
• {1, 2, 3, 4, 5, 6}; o que correspon<strong>de</strong>, por exemplo, a sair um número <strong>de</strong> 1<br />
a 6 na face superior do dado.<br />
Exemplo 6. No espaço amostral do Exemplo 2 os eventos são: {( cara , cara)}<br />
,<br />
{( cara , coroa)}<br />
, {( coroa , cara)}<br />
e {( coroa , coroa)}<br />
. Esses eventos correspon<strong>de</strong>m<br />
a, respectivamente, saírem nas faces superiores das moedas cara e cara ; cara<br />
e coroa ; coroa e coroa ; coroa e coroa .<br />
Ativida<strong>de</strong><br />
Lance uma moeda muitas vezes e anote quantas vezes saiu em sua face<br />
superior cara e quantas vezes saiu coroa.<br />
Sugestão: Para obter um número gran<strong>de</strong> <strong>de</strong> lançamentos faça essa ativida<strong>de</strong><br />
com um grupo <strong>de</strong> colegas e anote os resultados obtidos por eles.<br />
Analisando os resultados obtidos nessa ativida<strong>de</strong>, vocês observarão que o<br />
número <strong>de</strong> vezes que saiu cara é aproximadamente igual o número <strong>de</strong> vezes <strong>de</strong><br />
que saiu coroa. Confira isso executando essa ativida<strong>de</strong>.<br />
Intuitivamente esse é um resultado esperado, se admitirmos que cada resultado<br />
tem a mesma chance <strong>de</strong> sair.<br />
Daqui <strong>para</strong> em diante, vamos nos referir ao número <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> um evento<br />
como o número <strong>de</strong> casos favoráveis. E ao número <strong>de</strong> elementos do espaço<br />
amostral como número <strong>de</strong> casos possíveis.<br />
Definição. A probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um evento é dada pela razão:<br />
Número <strong>de</strong> casos favoráveis<br />
.<br />
Número <strong>de</strong> casos possíveis<br />
Exemplo 7. Qual a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair cara no lançamento <strong>de</strong> uma moeda?<br />
5
Solução.<br />
O espaço amostral é {cara, coroa} e o evento <strong>de</strong>sejado é {cara}. Assim temos 2<br />
casos possíveis e 1 caso favorável. Dessa forma, a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair cara é<br />
1<br />
.<br />
2<br />
Exemplo 8. No lançamento <strong>de</strong> duas moedas qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair uma<br />
cara e uma coroa ?<br />
Solução. Os casos possíveis são: cara e cara ; cara e coroa ; coroa e coroa ;<br />
coroa e coroa . Os casos favoráveis são: cara e coroa ; coroa e cara . Assim,<br />
temos 4 casos possíveis e 2 casos favoráveis. Dessa forma, a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
2 1<br />
sair cara e coroa é dada por = .<br />
4 2<br />
Observação. É sempre importante contar todos os casos possíveis e todos os<br />
casos favoráveis, sem omitir e sem repetir nenhum dos casos.<br />
Observação. Há autores que sugerem o uso da chamada árvore das<br />
possibilida<strong>de</strong>s <strong>para</strong> listar os casos possíveis.<br />
Para ilustrar o diagrama da árvore vamos listar todos os casos possíveis no<br />
lançamento <strong>de</strong> três moedas.<br />
Percorrendo as setas a partir do primeiro lançamento chegaremos a última<br />
coluna, que contém a lista dos casos possíveis.<br />
6
No caso do cálculo <strong>de</strong> uma probabilida<strong>de</strong> bastaria contar na última coluna o<br />
número <strong>de</strong> casos favoráveis.<br />
A título <strong>de</strong> exercício calcule a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> saírem duas caras e uma coroa<br />
nas faces superiores <strong>de</strong>ssas moedas.<br />
Exemplo 9. No lançamento <strong>de</strong> duas moedas qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair duas<br />
caras?<br />
Solução. Os casos possíveis são: cara e cara ; cara e coroa ; coroa e coroa ;<br />
coroa e coroa . O caso favorável é: cara e cara . Assim, temos 4 casos<br />
possíveis e 1 caso favorável. Dessa forma, a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair cara e cara<br />
1<br />
é dada por .<br />
4<br />
Observação. Em vez <strong>de</strong> listar os casos possíveis po<strong>de</strong>mos simplesmente contálos.<br />
Utilizando o princípio multiplicativo, concluímos que o número <strong>de</strong> resultados<br />
possíveis no lançamento <strong>de</strong> duas moedas é 2 × 2 = 4 . Como o número <strong>de</strong> casos<br />
2 1<br />
favoráveis é 2, a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair uma cara e uma coroa é dada por = .<br />
4 2<br />
Exemplo 10. No lançamento <strong>de</strong> um dado, qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair 5 na sua<br />
face superior?<br />
Solução. O número <strong>de</strong> casos possíveis é 6 e somente um caso favorável.<br />
1<br />
Concluímos daí que a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair 5 na sua face superior é .<br />
6<br />
Responda: Quais são os casos possíveis? Quais são os casos favoráveis?<br />
Exemplo 11. No lançamento <strong>de</strong> um dado, qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair na sua<br />
face superior um número maior que 4?<br />
7
Solução. O número <strong>de</strong> casos possíveis é 6 e o número <strong>de</strong> casos favoráveis é 2.<br />
Concluímos daí que a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair um número maior que 4 na sua face<br />
2 1<br />
superior é = .<br />
6 3<br />
Responda: Quais são os casos possíveis? Quais são os casos favoráveis?<br />
Exemplo 12. Dentro <strong>de</strong> um saco há 8 bolas brancas, 5 bolas pretas e 12 bolas<br />
amarelas. Estas bolas só diferem uma das outras pelas cores. Sorteia-se uma<br />
bola <strong>de</strong>ste saco, qual a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair uma bola que não seja branca.<br />
Solução. O número <strong>de</strong> casos possíveis <strong>para</strong> uma retirada é dado por<br />
8 + 5 + 12 = 25 . O número <strong>de</strong> casos favoráveis é 5 + 12 = 17. Concluímos daí<br />
17<br />
que a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair uma bola que não seja branca é .<br />
25<br />
Exemplo 13. Dois dados são lançados simultaneamente. Calcular a<br />
probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> a soma dos números na face superior seja 5.<br />
Solução 1. Vamos fazer uma tabela com todos os resultados possíveis e <strong>de</strong>pois<br />
contamos os resultados em que a soma é 5.<br />
Resultado no primeiro dado<br />
Resultado no segundo dado<br />
1 2 3 4 5 6<br />
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)<br />
2 (2, 1) (2, 2) (2,3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)<br />
dados<br />
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)<br />
dois<br />
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) nos<br />
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)<br />
6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) Resultado<br />
8
O número <strong>de</strong> casos possíveis é 6 × 6 = 36 e o número <strong>de</strong> casos favoráveis é 4.<br />
4 1<br />
Daí a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> a soma dos números na face superior seja 5 é = .<br />
36 9<br />
Solução 2. Sem fazer a tabela das possibilida<strong>de</strong>s.<br />
Os casos possíveis são todos os pares or<strong>de</strong>nados em que o primeiro e o<br />
segundo termos variam <strong>de</strong> 1 a 6. Daí, pelo princípio multiplicativo, o número <strong>de</strong><br />
casos possíveis é 6 × 6 = 36 .<br />
Os casos favoráveis são todos os pares or<strong>de</strong>nados em que a soma <strong>de</strong> seus<br />
termos é 5. O par or<strong>de</strong>nado <strong>de</strong> menor primeiro termo é ( 1 , 4)<br />
, em seguida ( 2 , 3)<br />
,<br />
( 3 , 2)<br />
e por último ( 4 , 1)<br />
. Assim o número <strong>de</strong> casos favoráveis é 4. Então a<br />
probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong>sejada é<br />
4 1<br />
= .<br />
36 9<br />
Exemplo 14. Lançando-se simultaneamente uma moeda e um dado, qual é a<br />
probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ocorrer cara na moeda e um número maior que 5 no dado?<br />
Solução. O número <strong>de</strong> resultados possíveis na moeda é 2 e no dado é 6. Pelo<br />
princípio multiplicativo, o número <strong>de</strong> casos possíveis no lançamento <strong>de</strong> uma<br />
moeda e um dado é 2 × 6 = 12 . Neste caso há somente 1 caso favorável.<br />
Daí, a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ocorrer cara na moeda e um número maior que 5 no<br />
1<br />
dado é .<br />
12<br />
Exemplo 15: Com os algarismos 2, 3 e 5 formamos todos os números <strong>de</strong> 3<br />
algarismos diferentes. Dentre eles escolhemos um número ao acaso.<br />
a) Qual a probabilida<strong>de</strong> do número escolhido ser múltiplo <strong>de</strong> 3?<br />
b) Qual a probabilida<strong>de</strong> do número escolhido ser par?<br />
Solução do item a.<br />
9
Vale observar que nenhum dos números <strong>de</strong> três algarismos distintos, formados<br />
por 2, 3 e 5 é múltiplo <strong>de</strong> 3. Dessa forma a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> o número escolhido<br />
ser um múltiplo <strong>de</strong> 3 é 0 (zero).<br />
Solução do item b.<br />
Pelo princípio multiplicativo, o número <strong>de</strong> resultados possíveis é 2 × 3×<br />
5 = 30 ,<br />
que é a quantida<strong>de</strong> e números com algarismos distintos que po<strong>de</strong>m ser<br />
formados com os algarismos 2, 3 e 5.<br />
Para calcular o número <strong>de</strong> casos favoráveis temos que calcular a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
números pares que po<strong>de</strong>mos formar com os algarismos dados. Sabendo que um<br />
número é par quando termina em um número par, concluímos que o último<br />
algarismo só po<strong>de</strong> ser 2. Assim, temos os dois casos favoráveis: 352 ou 532.<br />
2 1<br />
Daí a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ser escolhido um número ar é = .<br />
6 3<br />
Observação. 1. Um número é múltiplo <strong>de</strong> 3 se, e somente se, a soma <strong>de</strong> seus<br />
algarismos for um múltiplo <strong>de</strong> 3. No exemplo 15 a soma dos algarismos é<br />
sempre 2 + 3 + 5 = 10, que não é múltiplo <strong>de</strong> 3.<br />
1. O evento que correspon<strong>de</strong> a ser escolhido um múltipo <strong>de</strong> 3 é o conjunto<br />
vazio e sua probabilida<strong>de</strong> 0 (zero).<br />
Exemplo 16: Um dado é lançado três vezes. Calcule a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que o<br />
número 6 ocorra no primeiro e no segundo lançamento, não ocorrendo no<br />
terceiro.<br />
Solução. Cada resultado po<strong>de</strong> ser representado por uma tripla ( a , b,<br />
c)<br />
, em que<br />
a representa o resultado na face superior no primeiro lançamento, b o número<br />
na face superior no segundo lançamento e c , no terceiro lançamento.<br />
Assim o número <strong>de</strong> casos possíveis é 6 × 6×<br />
6 = 216 . Os casos favoráveis<br />
po<strong>de</strong>m ser representados pelas triplas da forma ( 6 , 6,<br />
N)<br />
, em que N é o<br />
resultado na face superior do terceiro lançamento. Daí concluímos que a<br />
6 1<br />
probabilida<strong>de</strong> pedida é = .<br />
216 36<br />
10
Algumas conseqüências da <strong>de</strong>finição <strong>de</strong> probabilida<strong>de</strong>.<br />
Vamos consi<strong>de</strong>rar um espaço amostral E com n eventos elementares. Então:<br />
1) A probabilida<strong>de</strong> do evento { } é zero, em que { } representa o subconjunto<br />
vazio do espaço amostral. Isso po<strong>de</strong> ser escrito da seguinte maneira P ({ }) = 0 ;<br />
2) A probabilida<strong>de</strong> do evento E é 1, isto é, P (E)<br />
= 1;<br />
3) A Probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um evento ocorrer varia <strong>de</strong> 0 a 1. Isto é, se P (A)<br />
representa a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um evento A ocorrer, então 0 ≤ P (A)<br />
≤ 1;<br />
4) Se todos os eventos elementares têm a mesma probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ocorrer, ela<br />
1<br />
é igual a ;<br />
n<br />
5) Se dois eventos A e B têm interseção vazia, então P ( A ∪ B)<br />
= P(<br />
A)<br />
+ P(<br />
B)<br />
.<br />
6) Se A e B têm interseção vazia e A ∪ B = E , então P ( A)<br />
+ P(<br />
B)<br />
= 1.<br />
Neste<br />
caso os eventos A e B são chamados <strong>de</strong> complementares.<br />
Agora vamos justificar cada uma <strong>de</strong>ssas cinco consequências:<br />
0<br />
1) O número <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> { } é zero. Daí P ({ }) = = 0 .<br />
n<br />
n<br />
2) O número <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> E é n , então P ( E)<br />
= = 1.<br />
n<br />
3) O número <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> um evento varia <strong>de</strong> zero, o que correspon<strong>de</strong><br />
ao subconjunto vazio, até n , o que correspon<strong>de</strong> ao subconjunto E. Como<br />
a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um evento A ocorrer é dada por<br />
número <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> A<br />
P ( A)<br />
=<br />
, concluímos que a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um<br />
n<br />
evento ocorrer varia <strong>de</strong> 0 a 1.<br />
4) Cada evento elementar tem um só elemento, daí a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um<br />
1<br />
evento elementar é P(<br />
E)<br />
= .<br />
n<br />
11
5) Como A e B têm interseção vazia, o número <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> A ∪ B é a<br />
soma do número <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> A com o número <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> B .<br />
Concluímos que a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> A ∪ B é<br />
número <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> A ∪ B número <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> A + número <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> B<br />
P(<br />
A ∪ B)<br />
=<br />
=<br />
n<br />
n<br />
número <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> A número <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> B<br />
= +<br />
= P(<br />
A)<br />
+ P(<br />
B)<br />
.<br />
n<br />
n<br />
Ou seja, P ( A ∪ B)<br />
= P(<br />
A)<br />
+ P(<br />
B)<br />
, quando A e B têm interseção vazia.<br />
Exemplo 17. Lança-se um dado. Qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair em sua face<br />
superior um 3 ou um 5?<br />
Solução 1. O número <strong>de</strong> casos possíveis é 6. Os casos favoráveis são sair 3 ou<br />
5. Portanto 2 casos favoráveis. Concluímos que a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair 3 ou 5 é<br />
2 1<br />
= .<br />
6 3<br />
Para ilustrar a proprieda<strong>de</strong> 5 vamos apresentar a solução a seguir.<br />
1 1<br />
Solução 2. A probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair 3 é e a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair 5 é .<br />
6<br />
6<br />
Como os eventos “sair 3”e “sair 5” têm interseção vazia a probabilida<strong>de</strong> da<br />
união {3, 5}, que correspon<strong>de</strong> a sair 3 ou 5 á a soma das probabilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
1 1 2 1<br />
cada evento. Daí a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair 3 ou 5 é + = = .<br />
6 6 6 3<br />
Eventos complementares<br />
Dois eventos A e B <strong>de</strong> um espaço amostral E são complementares se têm<br />
interseção vazia e A ∪ B = E .<br />
Exemplo 18. No lançamento <strong>de</strong> um dado os eventos “sair na face superior um<br />
número maior que 1” e “sair na face superior o número 1”são complementares,<br />
12
pois união <strong>de</strong>les dá todo o conjunto <strong>de</strong> casos possíveis e a interseção <strong>de</strong>les é<br />
vazia.<br />
Exemplo 19. No lançamento <strong>de</strong> duas moedas os eventos “sair faces idênticas<br />
nas faces superiores das duas moedas” e “sair faces diferentes nas faces<br />
superiores das duas moedas” são complementares.<br />
Exemplo 20. No lançamento <strong>de</strong> três moedas os eventos “sair cara em pelo<br />
menos uma das faces das três moedas” e “não sair cara em nenhuma das três<br />
moedas” são complementares.<br />
O exemplo 21, a seguir, nos mostra como se relacionam as probabilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
dois eventos complementares. Ele apresenta uma maneira alternativa <strong>para</strong><br />
calcular a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um evento a partir da probabilida<strong>de</strong> do evento<br />
complementar. Em geral ele é aplicado quando a <strong>de</strong>terminação ou a contagem<br />
dos casos favoráveis <strong>de</strong> um evento é complicada, mas a probabilida<strong>de</strong> do<br />
evento complementar é simples.<br />
Exemplo 21. Suponha que A e B sejam eventos <strong>de</strong> um espaço amostral E . Se<br />
a interseção <strong>de</strong>les é vazia e A ∪ B = E , então P ( A)<br />
+ P(<br />
B)<br />
= 1.<br />
De fato, como a interseção entre A e B é vazia, pela proprieda<strong>de</strong> 5, concluímos<br />
que P ( A ∪ B)<br />
= P(<br />
A)<br />
+ P(<br />
B)<br />
.<br />
Agora, como A ∪ B = E , pela proprieda<strong>de</strong> 2, concluímos que<br />
P ( A∪<br />
B)<br />
= P(<br />
E)<br />
= 1.<br />
Das duas primeiras conclusões, obtemos que P ( A)<br />
+ P(<br />
B)<br />
= 1.<br />
Obviamente,<br />
P( A)<br />
= 1 − P(<br />
B)<br />
.<br />
Exemplo 22. No lançamento <strong>de</strong> um dado qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair na face<br />
superior um número maior que 1?<br />
13
Apresentaremos duas soluções: uma direta e a outra calculando a probabilida<strong>de</strong><br />
do evento complementar.<br />
Solução 1. O número <strong>de</strong> casos possíveis é 6 e o número <strong>de</strong> casos favoráveis é<br />
5<br />
5. Daí a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair na face superior um número maior que 1 é .<br />
6<br />
Solução 2. Na situação dada o evento “sair o número 1 na face superior” é<br />
complementar do evento “sair um número maior que 1 na face superior”. Como a<br />
1<br />
probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair o número 1 na face superior é , a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair<br />
6<br />
1 5<br />
um número maior que 1 na face superior é igual a 1 − = .<br />
6 6<br />
Exemplo 23. Lançam-se três moedas. Qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> os resultados<br />
nas faces superiores não serem todos iguais?<br />
Solução. Os eventos “os resultados nas faces superiores não serem todos<br />
iguais” e “os resultados nas faces superiores serem todos iguais” são<br />
complementares.<br />
Vamos calcular a probabilida<strong>de</strong> do evento “os resultados nas faces superiores<br />
serem todos iguais”. Os casos favoráveis são ( cara , cara,<br />
cara)<br />
e<br />
( coroa , coroa,<br />
coroa)<br />
e o número <strong>de</strong> casos possíveis é 8, daí a probabilida<strong>de</strong> é<br />
2 1<br />
= .<br />
8 4<br />
Então, a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> os resultados nas faces superiores não serem todos<br />
1 3<br />
iguais é 1 − = .<br />
4 4<br />
Exemplo 24. Lançam-se <strong>de</strong>z moedas. Qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> os resultados<br />
nas faces superiores não serem todos iguais?<br />
14
Solução. Os eventos “os resultados nas faces superiores não serem todos<br />
iguais” e “os resultados nas faces superiores serem todos iguais” são<br />
complementares.<br />
Vamos calcular a probabilida<strong>de</strong> do evento “os resultados nas faces superiores<br />
serem todos iguais”. O número <strong>de</strong> casos favoráveis é 2 e o número <strong>de</strong> casos<br />
possíveis é<br />
2<br />
não serem todos iguais é . Portanto a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> os resultados nas<br />
10<br />
2<br />
2<br />
faces superiores não serem todos iguais é 1− . 10<br />
2<br />
10<br />
2 . Portanto, a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> os resultados nas faces superiores<br />
A resposta dada é tão boa quanto<br />
1022 511<br />
= .<br />
1024 512<br />
Exemplo 25. São sorteados dois números inteiros entre 1 e 5. Qual é a<br />
probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> serem sorteados os números 2 e 5?<br />
Vamos resolver esse problema <strong>de</strong> duas formas, <strong>de</strong>finindo <strong>para</strong> cada uma <strong>de</strong>las<br />
um conjunto <strong>de</strong> resultados possíveis.<br />
Solução 1. Po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar que a or<strong>de</strong>m dos números sorteados não altera<br />
o resultado final. Por exemplo, o sorteio em que sai primeiro o número 2 e<br />
<strong>de</strong>pois o 5 tem o mesmo resultado do sorteio em que sai primeiro o 5 e <strong>de</strong>pois o<br />
2. Sob essa orientação po<strong>de</strong>mos os resultados possíveis são:<br />
{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}. E o resultado<br />
favorável é: {2, 5}.<br />
1<br />
Daí concluímos que a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> serem sorteados os números 2 e 5 é .<br />
10<br />
Solução 2. Po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar que a or<strong>de</strong>m dos números sorteados altera o<br />
resultado final. Por exemplo, sair 2 e <strong>de</strong>pois o 5 é diferente <strong>de</strong> sair o 5 e <strong>de</strong>pois o<br />
2. Isso ocorreria se levássemos em conta a or<strong>de</strong>m dos números no sorteio.<br />
15
Dessa forma, pelo princípio multiplicativo, o número <strong>de</strong> casos possíveis é<br />
5 × 4 = 20 . E o número <strong>de</strong> casos favoráveis, pelo princípio multiplicativo é<br />
2 × 1=<br />
2.<br />
Daí concluímos que a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> serem sorteados os números 2 e 5 é<br />
2 1<br />
= .<br />
20 10<br />
Observe que os resultados obtidos nas soluções 1 e 2 são iguais.<br />
Observação. Se o conjunto dos resultados possíveis está or<strong>de</strong>nado, então o<br />
conjunto dos resultados favoráveis também estará. Caso o conjunto dos<br />
resultados possíveis não esteja or<strong>de</strong>nado, então o conjunto dos resultados<br />
favoráveis também não estará. Mas o fato é que isto não afeta a probabilida<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong> qualquer evento.<br />
Exemplo 25. O jogo da Mega Sena.<br />
A regra do jogo:<br />
Para apostar na Mega Sena, um jogador po<strong>de</strong> marcar <strong>de</strong> 6 a 15 números entre<br />
os 60 do cartão, representado abaixo.<br />
São sorteados seis números diferentes entre os números <strong>de</strong> 01 a 60.<br />
Essa loteria paga prêmios <strong>para</strong> aqueles que acertarem 4, 5 ou 6 números.<br />
Pergunta: Qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um apostador que marcou 6 números<br />
ganhar o prêmio?<br />
16
A resposta a esta pergunta é relativamente simples, mas antes <strong>de</strong> apresentá-la<br />
vamos tecer alguns comentários.<br />
Solução. Sabemos que a or<strong>de</strong>m dos números marcados em um cartão não gera<br />
apostas diferentes. Por exemplo, são apostas iguais os cartões on<strong>de</strong> foram<br />
marcados os números 01, 18, 32, 61, 45 e 59, nesta or<strong>de</strong>m, e o cartão on<strong>de</strong><br />
foram marcados os números 61, 18, 59, 01, 32 e 45, nesta or<strong>de</strong>m. Com as<br />
técnicas <strong>de</strong> contagem que temos até o momento consi<strong>de</strong>rar esses resultados<br />
iguais, isto é, não <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ndo da or<strong>de</strong>m em que são marcados os números no<br />
cartão, levará a uma resolução ligeiramente mais complexa. Para ver como<br />
ficaria a resolução consulte o Roteiro <strong>de</strong> Ativida<strong>de</strong> 13, do ensino médio.<br />
Como no exemplo 18, po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar os casos possíveis como or<strong>de</strong>nados<br />
ou não.<br />
Respon<strong>de</strong>ndo <strong>à</strong> pergunta.<br />
Para a solução que apresentaremos aqui, consi<strong>de</strong>raremos os casos possíveis<br />
or<strong>de</strong>nados e, portanto, também or<strong>de</strong>nados os casos favoráveis.<br />
Neste caso, pelo princípio multiplicativo, o número <strong>de</strong> casos possíveis é dado<br />
por: 60 × 59×<br />
58×<br />
57×<br />
56×<br />
55 . E o número <strong>de</strong> casos favoráveis é dado por:<br />
6 × 5×<br />
4×<br />
3×<br />
2×<br />
1.<br />
Daí concluímos que a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um apostador que marcou 6 números<br />
6×<br />
5×<br />
4×<br />
3×<br />
2×<br />
1<br />
ganhar o prêmio é dada por:<br />
.<br />
60×<br />
59×<br />
58×<br />
57×<br />
56×<br />
55<br />
O valor acima é aproximadamente<br />
0<br />
17<br />
−7<br />
, 2×<br />
10 , em termos percentuais a<br />
probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> acertar apostando-se em 6 números é <strong>de</strong> 0 ,000002%<br />
.<br />
Exemplo 26. Duas urnas contêm bolas que diferem somente pelas cores. A<br />
distribuição das bolas nas nessas urnas é a seguinte:<br />
Bola branca Bola azul<br />
Urna A 3 4<br />
Urna B 2 8
Retirando-se duas bolas, uma <strong>de</strong> cada urna, qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> saírem<br />
duas <strong>de</strong> mesma cor?<br />
Solução. O número <strong>de</strong> casos possíveis é o número <strong>de</strong> maneiras <strong>de</strong> se retirar<br />
uma bola <strong>de</strong> cada urna. Como a urna A possui 7 bolas e a urna B 10 bolas, o<br />
número <strong>de</strong> casos possíveis é 7×10 = 70.<br />
Cálculo do número <strong>de</strong> casos favoráveis. Para retirarem-se duas bolas <strong>de</strong> mesma<br />
cor é necessário: retirar uma bola branca da urna A e uma bola branca da urna<br />
B ou uma bola azul da urna A e uma bola azul da urna B.<br />
O número <strong>de</strong> maneiras <strong>de</strong> se retirar uma bola branca da urna A e uma bola<br />
branca da urna B é 3×2 = 6.<br />
O número <strong>de</strong> maneiras <strong>de</strong> se retirar uma bola azul da urna A e uma bola azul da<br />
urna B é 4×8 = 32.<br />
Assim, o número <strong>de</strong> casos favoráveis é 6 + 32 = 38.<br />
Daí a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> se retirarem duas bolas <strong>de</strong> mesma cor, uma <strong>de</strong> cada<br />
6 + 32 38<br />
urna, é = .<br />
7×<br />
10 70<br />
Probabilida<strong>de</strong> condicional<br />
Exemplo 27. Sorteia-se um número do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Sabendo<br />
que o número sorteado é par, qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ele ser o 6?<br />
Solução. Sabendo que o número sorteado é par, então ele <strong>de</strong>ve ser um dos<br />
números 2, 4, 6 ou 8, que passam a ser os casos possíveis. A probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
1<br />
o número sorteado ser o 6 é .<br />
4<br />
Exemplo 28. Lançam-se dois dados. Sabendo que a soma dos números que<br />
saíram nas faces superiores é 8, calcule a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair o número 5 em<br />
um dos dados.<br />
18
Solução. Os casos possíveis são: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (3, 5) e (2, 6). Daí a<br />
2<br />
probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair 5 em uma das faces é .<br />
5<br />
Exemplo 29. Um casal tem duas crianças. Sabendo que uma <strong>de</strong>las é um<br />
menino, qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> a outra criança também ser um menino?<br />
Solução. São três as possibilida<strong>de</strong>s: menino e menino; menino e menina;<br />
menina e menino. Sabendo que uma <strong>de</strong>las é um menino, só há uma<br />
possibilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> a outra criança ser também um menino. Daí a probabilida<strong>de</strong><br />
1<br />
pedida é .<br />
3<br />
Exercícios<br />
1. O que é um experimento aleatório?<br />
2. O que é um experimento <strong>de</strong>terminístico?<br />
3. Explique por que cada experimento a seguir é aleatório.<br />
a) Sortear duas entre 10 pessoas <strong>para</strong> fazerem uma viagem.<br />
b) Extrair uma bola <strong>de</strong> uma urna com 4 bolas azuis, 5 bolas brancas e 4<br />
amarelas.<br />
c) Existir em um grupo <strong>de</strong> 15 pessoas uma que faz aniversário no dia 25 <strong>de</strong><br />
outubro.<br />
4. Deve-se sortear uma pessoa entre: Maria, Pedro, Lúcia e João. Qual é o<br />
conjunto <strong>de</strong> todos os resultados possíveis <strong>para</strong> a escolha?<br />
5. Uma urna que contém 4 bolas amarelas e 5 marrons uma bola. Consi<strong>de</strong>re<br />
o seguinte experimento: extrair uma bola <strong>de</strong>ssa urna e verificar sua cor.<br />
Qual é o espaço amostral <strong>de</strong>sse experimento?<br />
6. Deve-se sortear uma pessoa entre João, Maria, Pedro e Laura.<br />
Quais são os eventos elementares <strong>para</strong> este experimento?<br />
19
7. Em um espaço amostral com 35 elementos, todos com igual<br />
probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ocorrer, qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um evento elementar?<br />
8. Uma urna contém 1000 bolas brancas e 2 azuis. Sorteiam-se duas bolas<br />
<strong>de</strong>ssa urna, sem repor a bola retirada.<br />
Analise cada afirmação a seguir e <strong>de</strong>cida qual <strong>de</strong>las é a verda<strong>de</strong>ira.<br />
2<br />
I) A probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> saírem duas bolas <strong>de</strong> mesma cor é , pois os<br />
3<br />
resultados possíveis são: saírem duas brancas, ou duas azuis, ou uma<br />
branca e uma azul.<br />
2<br />
II) A probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> saírem duas bolas <strong>de</strong> mesma cor é , pois os<br />
4<br />
resultados possíveis são: saírem duas brancas, ou duas azuis, ou uma<br />
branca e uma azul, ou uma azul e uma braça,<br />
III) A probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> saírem duas bolas brancas é maior do que a<br />
probabilida<strong>de</strong> e saírem duas bolas azuis, pois há mais<br />
bolas brancas do que azuis.<br />
9. Lançam-se sete moedas, qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> se obter pelo menos<br />
uma cara na face superior <strong>de</strong> alguma <strong>de</strong>las?<br />
10. Três urnas contêm bolas que diferem somente pelas cores. A distribuição<br />
das bolas nas nessas urnas é a seguinte:<br />
Bola branca Bola azul<br />
Urna A 3 4<br />
Urna B 2 8<br />
Urna C 5 2<br />
Retirando-se três bolas, uma <strong>de</strong> cada urna, qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> saírem<br />
três <strong>de</strong> mesma cor?<br />
11. Qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> se obter 2 caras e 3 coroas no lançamento <strong>de</strong><br />
uma moeda 5 vezes?<br />
12. Um casal planeja ter três filhos. Qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> terem duas<br />
mulheres e um homem?<br />
20
13. Dois dados são lançados simultaneamente. Calcular a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> a<br />
soma dos números na face superior seja maior <strong>de</strong> 9.<br />
14. Lançam-se quatro dados simultaneamente. Calcular a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
sair o número 5 em todas as faces superiores.<br />
15. Com os algarismos 1, 2, 3 e 4 formam-se números <strong>de</strong> seis dígitos<br />
distintos. Cada um <strong>de</strong>sses números é escrito em um só cartão. Sorteado<br />
um <strong>de</strong>sses cartões qual é a probabilida<strong>de</strong> do número escrito nele ser<br />
ímpar?<br />
16. Com os algarismos 1, 2, 3 e 4 formam-se números <strong>de</strong> seis dígitos. Cada<br />
um <strong>de</strong>sses números é escrito em um só cartão. Sorteado um <strong>de</strong>sses<br />
cartões qual é a probabilida<strong>de</strong> do número escrito nele ser ímpar?<br />
Qual é a diferença entre os exercícios 15 e 16?<br />
17. Suponha que E = { r,<br />
s,<br />
t,<br />
u,<br />
v,<br />
x}<br />
seja o espaço amostral <strong>de</strong> um experimento<br />
aleatório, em que os eventos elementares têm a mesma probabilida<strong>de</strong>.<br />
Qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ocorrer s<br />
r, ou x ?<br />
18. Lançam-se três moedas. Sabendo que saíram duas caras, qual é a<br />
probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> a face na outra moeda ser coroa?<br />
19. O quadro a seguir contém a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> pássaros por tipo e sexo, que<br />
ficam em um viveiro <strong>de</strong> um <strong>de</strong>terminado Zoológico.<br />
Macho Fêmea<br />
AZULÃO 4 2<br />
BEIJA-FLOR 3 3<br />
SABIA 5 4<br />
CURIÓ 2 1<br />
Para fazer exames <strong>de</strong> rotina pegou-se aleatoriamente um <strong>de</strong>sses azulões.<br />
Qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ele ser um macho?<br />
Bibliografia<br />
21
[1] Orientação pedagógica referente ao tópico 05, do ensino médio<br />
http://crv.educacao.mg.gov.br<br />
[2] Análise Combinatória e Probabilida<strong>de</strong>.<br />
Augusto César <strong>de</strong> Oliveira Morgado e outros − Socieda<strong>de</strong> Brasileira <strong>de</strong><br />
Matemática (SBM).<br />
[3] Revista do Professor <strong>de</strong> matemática (RPM) − Número 43.<br />
RPM – IME –USP – Caixa postal 66281 − CEP 05311 – 970 − São Paulo – SP.<br />
Tel/Fax: (011) 3091 6124<br />
rpm@ime.usp.br<br />
22