1 APOSTILA DE GEOMETRIA 1- ÂNGULOS ...
1 APOSTILA DE GEOMETRIA 1- ÂNGULOS ...
1 APOSTILA DE GEOMETRIA 1- ÂNGULOS ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>APOSTILA</strong> <strong>DE</strong> <strong>GEOMETRIA</strong><br />
Tópicos de Geometria Plana<br />
Noções de Geometria Espacial<br />
Professor: Paulo Soares Batista<br />
Nome:_______________________________________________<br />
1- <strong>ÂNGULOS</strong>.............................................................................................................................................01<br />
2- POLÍGONOS.........................................................................................................................................03<br />
3- TRI<strong>ÂNGULOS</strong> E TEMAS RELACIONADOS..................................................................................04<br />
4- QUADRILÁTEROS..............................................................................................................................09<br />
5- CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA.....................................................................................................10<br />
6- ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS.......................................................................................................11<br />
7- NOÇÕES BÁSICAS <strong>DE</strong> <strong>GEOMETRIA</strong> ESPACIAL........................................................................13<br />
8- QUESTÕES OBJETIVAS....................................................................................................................17<br />
9- QUESTÕES DISCURSIVAS................................................................................................................24<br />
10- RESPOSTAS DAS QUESTÕES........................................................................................................29<br />
1- <strong>ÂNGULOS</strong><br />
Um conjunto de pontos, isto é, uma figura ou uma<br />
região, é convexo se, para todos os pares de pontos<br />
do conjunto, os segmentos formados estiverem<br />
inteiramente contidos no conjunto.<br />
Se uma região não é convexa ela é uma região<br />
côncava.<br />
Chama-se ângulo à reunião de duas semi-retas de<br />
mesma origem, não contidas numa mesma reta (não<br />
colineares).<br />
Dois ângulos são consecutivos se um lado de um<br />
deles é também lado do outro(um lado de um deles<br />
coincide com um lado do outro).<br />
Dois ângulos consecutivos são adjacentes se não têm<br />
pontos internos comuns.<br />
1
Dois ângulos são opostos pelo vértice(o.p.v.) se os<br />
lados de um são as respectivas semi-retas opostas aos<br />
lados do outro.<br />
AÔB e CÔD são opostos pelo vértice.<br />
AÔB e CÔD são também congruentes.<br />
EXEMPLOS<br />
1- Vamos determinar o valor de a na figura seguinte:<br />
2- Observe a figura abaixo e determine o valor de m<br />
e n.<br />
Bissetriz de um ângulo<br />
A bissetriz de um ângulo é uma semi-reta interna ao<br />
ângulo, com origem no vértice do ângulo e que o<br />
divide em dois ângulos congruentes.<br />
EXEMPLOS<br />
1- Calcule a medida do ângulo indicado por a:<br />
2- Encontre o valor de x na figura abaixo:<br />
Ângulo reto<br />
Ângulo reto é todo ângulo congruente com seu<br />
suplementar adjacente. Ele mede 90º.<br />
Ângulo nulo<br />
Ângulo que tem os lados coincidentes. Ele mede 0º.<br />
Ângulo raso<br />
Ângulo cujos lados são semi-retas opostas. Ele mede<br />
180º.<br />
2
Ângulo agudo<br />
Ângulo maior que o ângulo nulo e menor que o<br />
ângulo reto. Sua medida varia entre 0º e 90º.<br />
Ângulo obtuso<br />
Ângulo maior que o ângulo reto e menor que o<br />
ângulo raso. Sua medida varia entre 90º e 180º.<br />
Ângulo de uma volta<br />
Um ângulo de 360 graus ou ângulo de uma volta é o<br />
ângulo que completa o círculo. Após esta volta<br />
completa, este ângulo coincide com o ângulo de zero<br />
grau, mas possui a grandeza de 360º.<br />
2- POLÍGONOS<br />
Polígono é a reunião de uma linha fechada simples<br />
formada apenas por segmentos de reta com a sua<br />
região interna.<br />
A palavra polígono é formada por dois<br />
termos gregos: poli = vários, muitos e gonos<br />
= ângulos.<br />
Os polígonos podem ser convexos e nãoconvexos,<br />
de acordo com a sua região<br />
interna.<br />
Nomenclatura<br />
De acordo com o número n de lados, alguns<br />
polígonos convexos recebem nomes especiais. Isto é:<br />
n = 3 → triângulo<br />
n = 4 → quadrilátero<br />
n = 5 → pentágono<br />
n = 6 → hexágono<br />
n = 7 → heptágono<br />
n = 8 → octógono<br />
n = 9 → eneágono<br />
n = 10 → decágono<br />
n = 11 → undecágono<br />
n = 12 → dodecágono<br />
n = 13 → tridecágono<br />
n = 14 → tetradecágono<br />
n = 15 → pentadecágono<br />
......<br />
n = 20 → icoságono<br />
Observação: O número de vértices de um polígono é<br />
igual ao número de lados.<br />
Ângulos em polígonos convexos<br />
Soma dos ângulos internos<br />
A soma das medidas dos ângulos internos de um<br />
polígono convexo de n lados é dada pela expressão a<br />
seguir:<br />
Si = (n - 2).180º<br />
EXEMPLOS<br />
1-Calcule a soma das medidas dos ângulos internos<br />
do:<br />
a) pentadecágono<br />
b) octógono<br />
c) icoságono<br />
2- Qual é o polígono cuja soma das medidas dos<br />
ângulos internos é igual a 1260 o ?<br />
3- Determine o valor de x nos polígonos abaixo:<br />
a)<br />
3
)<br />
3- TRI<strong>ÂNGULOS</strong><br />
Dados três pontos A, B e C não de uma mesma reta<br />
(não alinhados ou não colineares), a união dos<br />
segmentos chamamos triângulo<br />
ABC e indicamos por ∆ ABC .<br />
Elementos de um triângulo<br />
VÉRTICES : são os pontos A, B e C.<br />
LADOS: são os segmentos<br />
<strong>ÂNGULOS</strong> INTERNOS: são os ângulos<br />
Classificação dos Triângulos<br />
Quanto aos lados<br />
Triângulo Equilátero: Possui todos os lados<br />
congruentes.<br />
Triângulo Isósceles: Possui dois lados congruentes.<br />
Triângulo Escaleno: Possui todos os lados diferentes.<br />
Quanto aos ângulos<br />
Triângulo Acutângulo: Todos os seus ângulos são<br />
agudos.<br />
Triângulo Retângulo: Um de seus ângulos é reto.<br />
Triângulo Obtusângulo: Um de seus ângulos é<br />
obtuso.<br />
Soma dos ângulos internos de um triângulo<br />
“A soma dos ângulos internos de um triângulo é<br />
igual a 180º”.<br />
a + b + c = 180º<br />
EXEMPLOS<br />
Encontre x nos triângulos a seguir:<br />
a)<br />
b)<br />
4
c)<br />
d)<br />
Ângulos de duas paralelas cortadas por uma<br />
transversal<br />
Dadas duas retas r e s paralelas cortadas por uma<br />
transversal, os ângulos determinados por elas são<br />
assim determinados:<br />
ALTERNOS INTERNOS:<br />
(a e f) e (d e e)→ esses pares de ângulos são<br />
congruentes.<br />
ALTERNOS EXTERNOS:<br />
(b e g) e (c e h)→ esses pares de ângulos são<br />
congruentes.<br />
COLATERAIS INTERNOS:<br />
(a e e) e (d e f)→ esses pares de ângulos são<br />
suplementares.<br />
COLATERAIS EXTERNOS:<br />
(b e h) e (c e g)→ esses pares de ângulos são<br />
suplementares.<br />
CORRESPON<strong>DE</strong>NTES:<br />
(b e e) , (d e g) , (a e h) e (c e f)→ esses pares de<br />
ângulos são congruentes.<br />
EXEMPLOS<br />
1- Determine o valor de x nas figuras a seguir:<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
a // b<br />
5
2- Na figura, temos r // s.<br />
Calcule a medida do ângulo b.<br />
Semelhança de triângulos<br />
Definições<br />
Dois triângulos são semelhantes se, e<br />
somente se, possuem os três ângulos<br />
ordenadamente congruentes e os lados<br />
homólogos (correspondentes) proporcionais.<br />
Dois lados homólogos são tais que cada um<br />
deles está em um dos triângulos e ambos são<br />
opostos a ângulos congruentes.<br />
Razão de semelhança<br />
Casos ou critérios de semelhança<br />
1º CASO (AA)<br />
Se dois triângulos possuem dois ângulos<br />
ordenadamente congruentes, então eles são<br />
semelhantes.<br />
2º CASO (LAL)<br />
Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos<br />
homólogos de outro triângulo e os ângulos<br />
compreendidos são congruentes, então os triângulos<br />
são semelhantes.<br />
3º CASO (LLL)<br />
Se dois triângulos têm os lados homólogos<br />
proporcionais, então eles são semelhantes.<br />
Algumas consequências dos casos de semelhança:<br />
• A razão entre lados homólogos é k;<br />
• A razão entre os perímetros é k;<br />
• A razão entre as alturas homólogas é k;<br />
• E os ângulos homólogos são congruentes.<br />
EXEMPLOS<br />
1- Determine x e y, sabendo que os triângulos são<br />
semelhantes.<br />
2- Se os ângulos com “marcas iguais” são<br />
congruentes, determine x.<br />
6
3- Um edifício projeta uma sombra de 10 m ao<br />
mesmo tempo que um poste de 12 m projeta uma<br />
sombra de 4 m. Qual a altura do edifício, sabendo<br />
que o edifício e o poste são perpendiculares ao solo?<br />
O Teorema de Tales e aplicações<br />
Definições<br />
· Feixe de Paralelas: É um conjunto de retas<br />
pertencentes a um mesmo plano (coplanares)<br />
paralelas entre si.<br />
· Transversal do feixe de retas paralelas: É uma<br />
reta do plano do feixe que concorre com todas as<br />
retas do feixe.<br />
· Pontos correspondentes de duas transversais:<br />
São pontos destas transversais que estão numa<br />
mesma reta do feixe.<br />
· Segmentos correspondentes de duas transversais:<br />
São segmentos cujas extremidades são os respectivos<br />
pontos correspondentes.<br />
A e A’, B e B’, C e C’, D e D’ são pontos<br />
correspondentes.<br />
AB e A’B’, CD e C’D’ são segmentos<br />
correspondentes.<br />
Teorema de Tales<br />
Se duas retas são transversais de um feixe de retas<br />
paralelas, então a razão entre dois segmentos<br />
quaisquer de uma delas é igual à razão entre os<br />
respectivos segmentos correspondentes da outra. No<br />
caso da figura acima, podemos dizer que:<br />
Os segmentos correspondentes formam uma<br />
proporção.<br />
EXEMPLOS<br />
1- Um terreno foi dividido em lotes com frentes para<br />
a rua 1 e para a rua 2, como você vê na ilustração ao<br />
lado. As laterais dos terrenos são paralelas.<br />
2- Ache o valor de x e y, sabendo que r, s e t são<br />
paralelas.<br />
a)<br />
7
)<br />
Relações métricas no triângulo retângulo<br />
Elementos<br />
Considerando um triângulo ABC, retângulo em A, e<br />
conduzindo AD perpendicular a BC, com D em BC,<br />
vamos caracterizar os elementos seguintes:<br />
EXEMPLOS<br />
1- Calcule o valor de x nos triângulos retângulos:<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
2- Aplique as relações métricas nos triângulos<br />
retângulos a seguir e encontre a medida x indicada:<br />
8
Aplicações importantes do Teorema de Pitágoras<br />
Diagonal do quadrado: Seja d a diagonal de um<br />
quadrado de lado .<br />
Altura do Triângulo Equilátero: Seja h a altura de<br />
um triângulo equilátero de lado .<br />
EXEMPLOS<br />
1- Qual o comprimento da diagonal do quadrado de<br />
perímetro 24cm ?<br />
2- Encontre a medida do lado l de um quadrado<br />
8 2<br />
cuja diagonal mede cm.<br />
3<br />
3- Determine x nos triângulos equiláteros:<br />
a) b)<br />
4- QUADRILÁTEROS<br />
Definição<br />
Considere quatro pontos A, B, C e D coplanares<br />
distintos, três a três não colineares (não alinhados),<br />
de modo que os segmentos<br />
interceptam-se apenas nas extremidades. A reunião<br />
desses quatro segmentos é um quadrilátero.<br />
TRAPÉZIO<br />
Um quadrilátero é um trapézio se, e somente se, tem<br />
dois lados paralelos. Os lados paralelos são<br />
chamados de bases.<br />
Classificação do trapézio<br />
Trapézio isósceles: É o trapézio cujos lados que não<br />
são bases são congruentes.<br />
Trapézio escaleno: É o trapézio cujos lados que não<br />
são bases, não são congruentes.<br />
Trapézio retângulo: É o trapézio que tem um lado<br />
não base perpendicular às bases e o outro oblíquo às<br />
bases.<br />
PARALELOGRAMO<br />
Um quadrilátero que possui os lados opostos<br />
respectivamente paralelos.<br />
9
Recordando:<br />
“A soma dos ângulos internos de um quadrilátero<br />
convexo é igual a 360º”.<br />
5- CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA<br />
A circunferência é o lugar geométrico de todos os<br />
pontos de um plano que estão localizados a uma<br />
mesma distância r de um ponto fixo denominado o<br />
centro da circunferência.<br />
O círculo é a reunião da circunferência com o<br />
conjunto de pontos localizados dentro da mesma.<br />
Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um<br />
segmento de reta com uma extremidade no centro da<br />
circunferência e a outra extremidade num ponto<br />
qualquer da circunferência. Na figura, os segmentos<br />
de reta OA, OB e OC são raios.<br />
Corda de uma circunferência é um segmento de reta<br />
cujas extremidades pertencem à circunferência. Na<br />
figura, os segmentos de reta AC e <strong>DE</strong> são cordas.<br />
Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é<br />
uma corda que passa pelo centro da circunferência.<br />
Observamos que o diâmetro é a maior corda da<br />
circunferência. Na figura, o segmento de reta AC é<br />
um diâmetro.<br />
Comprimento de uma circunferência<br />
Quando somamos todos os lados de uma figura plana<br />
iremos obter o seu perímetro, no caso específico do<br />
círculo, o cálculo do seu perímetro é dado pelo<br />
comprimento da circunferência (contorno do<br />
círculo), pois um círculo é contornado por uma<br />
circunferência que é formada pela união das<br />
extremidades de uma linha aberta.<br />
O cálculo do comprimento da circunferência<br />
(perímetro) foi obtido da seguinte forma: como todas<br />
as circunferências são semelhantes entre si, ou seja,<br />
todas pertencem ao mesmo centro, foi concluído que<br />
a razão entre o comprimento (C) de qualquer<br />
circunferência pelo seu respectivo diâmetro (D) será<br />
sempre uma mesma constante.<br />
O número 3,141592... corresponde em matemática à<br />
letra grega π (lê-se "pi"). Costuma-se considerar<br />
π = 3,14.<br />
10
EXEMPLOS<br />
1- Determinar o comprimento de uma circunferência<br />
que tem 9 cm de raio.<br />
2- Qual é o comprimento r do raio de uma<br />
circunferência que tem 18,84 cm de comprimento?<br />
3- A roda de um automóvel tem 0,6 m de diâmetro.<br />
Nessas condições, responda:<br />
a) Qual será, aproximadamente, o comprimento da<br />
circunferência da roda?<br />
b) Se essa roda der 5000 voltas completas, de quantos<br />
metros será a distância percorrida pelo automóvel?<br />
6- ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS<br />
Área é uma função que associa a cada figura um<br />
número positivo que representa a medida de sua<br />
superfície.<br />
Mais importante do que saber as “fórmulas” de área é<br />
entender o que represente a área de uma região plana.<br />
Admitindo a superfície de um quadrado de lado<br />
unitário como uma unidade quadrada, a área de uma<br />
região plana é o número que expressa a relação entre<br />
sua superfície e a superfície desse quadrado.<br />
Seja “u” a unidade de área:<br />
Fácil compreender, portanto, que a área do retângulo<br />
seja o produto de suas duas dimensões.<br />
Um retângulo de dimensão 4cm por 3cm, por<br />
exemplo, tem 12cm² de área. Isto é, sua superfície<br />
equivale à superfície de 12 quadrados de lado 1cm.<br />
S = l.<br />
l=<br />
l<br />
2<br />
S = 4.3<br />
S = 12 cm 2<br />
PRINCIPAIS ÁREAS:<br />
QUADRADO RETÂNGULO<br />
PARALELOGRAMO<br />
TRIÂNGULO<br />
11
LOSANGO<br />
S = πR<br />
S =<br />
TRAPÉZIO<br />
CÍRCULO<br />
COROA CIRCULAR<br />
S = π( R 2 – r 2 )<br />
2<br />
D .d<br />
2<br />
EXEMPLOS<br />
1- Determine a área dos polígonos nos casos abaixo,<br />
sendo o metro a unidade das medidas indicadas:<br />
a) Quadrado<br />
6<br />
6<br />
12
2- Encontre o valor das áreas nos seguintes casos:<br />
(Obs.: Considere as medidas em m).<br />
c)<br />
(Coroa Circular)<br />
3- Calcule a área hachurada. O quadrado tem lados<br />
iguais a 6 cm.<br />
7- NOÇÕES BÁSICAS <strong>DE</strong> <strong>GEOMETRIA</strong><br />
ESPACIAL<br />
Sólidos geométricos<br />
Denominam-se sólidos geométricos as figuras<br />
geométricas do espaço. Entre os sólidos geométricos,<br />
destacamos, pelo seu interesse, os poliedros e os<br />
corpos redondos.<br />
Classificação dos sólidos geométricas<br />
A partir das características dos sólidos geométricos<br />
podemos fazer uma classificação:<br />
Poliedros: apresentam somente faces planas. Eles<br />
não rolam.<br />
Corpos redondos: apresentam partes não-planas<br />
(“arredondadas”);por isso rolam.<br />
Outros sólidos geométricos: Possuem partes não<br />
planas, mas não rolam.<br />
POLIEDRO<br />
Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro<br />
ou mais polígonos planos, pertencentes a planos<br />
diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta<br />
em comum.<br />
Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os<br />
vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do<br />
poliedro.<br />
Poliedros convexos e côncavos<br />
Observando os poliedros acima, podemos notar que,<br />
considerando qualquer uma de suas faces, os<br />
poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semiespaço<br />
que essa face determina. Assim, esses<br />
poliedros são denominados convexos.<br />
Isso não acontece no poliedro abaixo, pois, em<br />
relação a duas de suas faces, ele não está contido<br />
apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é<br />
denominado côncavo.<br />
13
Classificação<br />
Os poliedros convexos possuem nomes especiais de<br />
acordo com o número de faces, como por exemplo:<br />
• tetraedro: quatro faces<br />
• pentaedro: cinco faces<br />
• hexaedro: seis faces<br />
• heptaedro: sete faces<br />
• octaedro: oito faces<br />
• icosaedro: vinte faces<br />
Poliedros regulares<br />
Um poliedro convexo é chamado de regular<br />
se suas faces são polígonos regulares, cada um com o<br />
mesmo número de lados e, para todo vértice,<br />
converge um mesmo número de arestas.<br />
Existem cinco poliedros regulares:<br />
Tetraedro<br />
Hexaedro<br />
Octaedro<br />
Dodecaedro<br />
Icosaedro<br />
4 faces triangulares<br />
4 vértices<br />
6 arestas<br />
6 faces quadrangulares<br />
8 vértices<br />
12 arestas<br />
8 faces triangulares<br />
6 vértices<br />
12 arestas<br />
12 faces pentagonais<br />
20 vértices<br />
30 arestas<br />
20 faces triangulares<br />
12 vértices<br />
30arestas<br />
Relação de Euler<br />
Em todo poliedro convexo é válida a relação<br />
seguinte:<br />
V - A + F = 2<br />
em que:<br />
V é o número de vértices<br />
A é o número de arestas<br />
F, o número de faces.<br />
Observe os exemplos:<br />
V = 8 A = 12 F= 6<br />
8 - 12 + 6 = 2<br />
V = 12 A = 18 F = 8<br />
12 - 18 + 8 = 2<br />
EXEMPLOS<br />
Lembre-se: Nos poliedros convexos é válida a<br />
seguinte relação:<br />
V - A + F = 2<br />
1- Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o<br />
número de vértices é 12. Calcular o número de<br />
arestas.<br />
2- Determinar o número de arestas e de vértices de<br />
um poliedro convexo com seis faces quadrangulares e<br />
quatro faces triangulares.<br />
14
PRISMA<br />
Elementos do prisma<br />
Dado o prisma a seguir, consideramos os seguintes<br />
elementos:<br />
• bases:as regiões poligonais R e S.<br />
• altura:a distância h entre os planos<br />
• arestas das bases:os lados ( dos polígonos)<br />
• arestas laterais:os segmentos<br />
• faces laterais: os paralelogramos AA'BB',<br />
BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A<br />
Classificação<br />
Um prisma pode ser:<br />
• reto: quando as arestas laterais são<br />
perpendiculares aos planos das bases;<br />
• oblíquo: quando as arestas laterais são<br />
oblíquas aos planos das bases.<br />
Veja:<br />
Paralelepípedo<br />
prisma reto prisma oblíquo<br />
Todo prisma cujas bases são paralelogramos<br />
recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos<br />
ter:<br />
a) paralelepípedo oblíquo<br />
b) paralelepípedo reto<br />
Paralelepípedo retângulo<br />
Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c<br />
da figura:<br />
Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de<br />
medida b e quatro arestas de medida c; as arestas<br />
indicadas pela mesma letra são paralelas.<br />
Área total<br />
Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área<br />
total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:<br />
Volume<br />
ST = 2( ab + ac + bc)<br />
Por definição, unidade de volume é um cubo de<br />
aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de<br />
dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2<br />
cubos de aresta 1:<br />
Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de<br />
dimensões a, b e c é dado por:<br />
V = abc<br />
15
Cubo<br />
Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas<br />
congruentes (a = b = c) recebe o nome de cubo.<br />
Dessa forma, as seis faces são quadrados.<br />
Área total<br />
A área total ST é dada pela área dos seis quadrados de<br />
lado a:<br />
Volume<br />
ST = 6a 2<br />
De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o<br />
volume de um cubo de aresta a é dado por:<br />
V= a . a . a = a 3<br />
EXEMPLOS<br />
1- Considerando o cubo abaixo, determine:<br />
a) o seu volume, em cm 3 .<br />
b) sua área total.<br />
2- Um aquário possui o formato de um<br />
paralelepípedo com as seguintes dimensões:<br />
Determine quantos litros de água são necessários<br />
para encher o aquário.<br />
3- Um determinado bloco utilizado em construções<br />
tem a forma de um paralelepípedo retângulo, cujas<br />
dimensões são 25cm, 15cm e 10cm. Pretende- se<br />
transportar blocos desse tipo num caminhão cuja<br />
carroceria tem, internamente, 4m de comprimento<br />
por 2,5m de largura e 0,6m de profundidade. No<br />
máximo, quantos blocos podem ser transportados<br />
numa viagem, de modo que a carga não ultrapasse a<br />
altura da carroceria?<br />
4- Um reservatório em formato de paralelepípedo<br />
retângulo tem 10 m de largura e 12 m de<br />
comprimento. Sabendo que sua área total vale<br />
416 m 2 , qual é o valor da altura deste<br />
reservatório?<br />
“Lembre-se:<br />
ST = 2( ab + ac + bc)<br />
16
8- QUESTÕES OBJETIVAS<br />
1- Na figura, o valor de x é:<br />
a) ( ) 50 º<br />
b) ( ) 25 º<br />
c) ( ) 11 º<br />
d) ( ) 8 º<br />
2- No triângulo ABC, o ângulo B mede o triplo do<br />
ângulo C e o ângulo A mede o dobro do ângulo B.<br />
Qual é a medida do ângulo B?<br />
a) ( ) 18º<br />
b) ( ) 36º<br />
c) ( ) 48º<br />
d) ( ) 54º<br />
e) ( ) 90º<br />
3- (SARESP) O encosto da última poltrona de um<br />
ônibus, quando totalmente reclinado, forma um<br />
ângulo de 30º com a parede do ônibus (veja a<br />
figura). O ângulo a na figura mostra o maior valor<br />
que o encosto pode reclinar. O valor de a é:<br />
a) ( ) 50º<br />
b) ( ) 90º<br />
c) ( ) 100º<br />
d) ( ) 120º<br />
4- – Se o triângulo ACD é retângulo e isósceles,<br />
então o ângulo BCD ˆ mede:<br />
a) ( ) 100º<br />
b) ( ) 105º<br />
c) ( ) 110º<br />
d) ( ) 115º<br />
e) ( ) 120º<br />
5- Se um polígono é regular e tem dez lados, então<br />
cada um dos seus ângulos internos mede:<br />
a) ( ) 144º<br />
b) ( ) 140º<br />
c) ( ) 135º<br />
d) ( ) 130º<br />
e) ( ) 120º<br />
6- Qual polígono tem a soma de seus ângulos<br />
internos valendo 1800º?<br />
a) ( ) pentágono<br />
b) ( ) hexágono<br />
c) ( ) octógono<br />
d) ( ) decágono<br />
e) ( ) dodecágono<br />
7- (OBMEP) Falta um ângulo – Na figura dada,<br />
TU = SV. Quanto vale o ângulo VU ˆ S , em graus?<br />
a) ( ) 30<br />
b) ( ) 50<br />
c) ( ) 55<br />
d) ( ) 65<br />
e) ( ) 70<br />
8- (ESPCAR) Na figura seguinte, as retas r e s são<br />
paralelas. A medida do ângulo x é igual a:<br />
a) ( ) 230º<br />
b) ( ) 225º<br />
c) ( ) 220º<br />
d) ( ) 210º<br />
9- (SARESP) Na figura, o triângulo BDC é<br />
eqüilátero e o triângulo ABD é isósceles (AB =<br />
BD). A medida do ângulo interno  é igual a:<br />
a) ( ) 20º<br />
b) ( ) 30º<br />
c) ( ) 45º<br />
d) ( ) 60º<br />
17
10- (ESPCAR) Sabendo-se que os ângulos internos<br />
de um triângulo são diretamente proporcionais aos<br />
números 2, 3e 4, tem-se que suas medidas valem:<br />
a) ( ) 40º, 60º e 80º<br />
b) ( ) 30º, 50º e 100º<br />
c) ( ) 20º, 40º e 120º<br />
d) ( ) 50º, 60º e 70º<br />
11- (Cesgranrio) Na figura, as retas r e r’ são<br />
paralelas, e a reta s é perpendicular à reta t. A<br />
medida, em graus, do ângulo a é:<br />
a) ( ) 36º<br />
b) ( ) 32º<br />
c) ( ) 24º<br />
d) ( ) 20º<br />
e) ( ) 18º<br />
12- (UFGO) Na figura abaixo as retas r e s são<br />
paralelas. A medida do ângulo b é:<br />
a) ( ) 20º<br />
b) ( ) 80º<br />
c) ( ) 100º<br />
d) ( ) 120º<br />
e) ( ) 130º<br />
13- (UEBA) Na figura abaixo AB = 8, MN = 2 e<br />
MC = 3. Se MN é paralelo a AB , o segmento AM<br />
mede:<br />
a) ( ) 8<br />
b) ( ) 10<br />
c) ( ) 12<br />
d) ( ) 9<br />
e) ( ) 6<br />
14- (UNAMA-PA) A incidência dos raios solares faz<br />
com que os extremos das sombras do homem e da<br />
árvore coincidam. O homem tem 1,80m de altura e<br />
sua sombra mede 2 m. Se a sombra da árvore mede<br />
5m, a altura mede:<br />
a) ( ) 6.3 m<br />
b) ( ) 4, 5 m<br />
c) ( ) 7,8 m<br />
d) ( ) 3,6 m<br />
e) ( ) 2,7 m<br />
15- (COVEST-PE) A figura a seguir ilustra dois<br />
terrenos planos. Suponha que os lados AB e BC são<br />
paralelos, respectivamente, a <strong>DE</strong> e EF e que A, D, F,<br />
C são pontos colineares.<br />
Qual a distância AC, em metros?<br />
a) ( ) 75<br />
b) ( ) 76<br />
c) ( ) 78<br />
d) ( ) 79<br />
e) ( ) 80<br />
16- (UFRS) Para estimar a profundidade de um poço<br />
com 1,10m de largura, uma pessoa cujos olhos estão<br />
a 1,60m do chão posiciona-se a 0,50m de sua borda.<br />
Desta forma, a borda do poço esconde exatamente<br />
seu fundo, como mostra a figura.<br />
18
Com os dados acima, a pessoa conclui que a<br />
profundidade do poço é:<br />
a) ( ) 2,82 m<br />
b) ( ) 3,00 m<br />
c) ( ) 3,30 m<br />
d) ( ) 3,52 m<br />
e) ( ) 3,85 m<br />
17- Na figura, os segmentos BC e <strong>DE</strong> são paralelos,<br />
AB = 30 m, AD = 10 m e AE = 12 m. A medida do<br />
segmento CE é, em metros:<br />
a) ( ) 20<br />
b) ( ) 24<br />
c) ( ) 28<br />
d) ( ) 32<br />
18- Observe a figura. Nela, as retas r, s e t são<br />
paralelas, AB = 6 cm, BC = x, <strong>DE</strong> = 4 cm e<br />
DF = x + 3. A medida de x, em centímetros é:<br />
a) ( ) 2<br />
b) ( ) 3<br />
c) ( ) 4<br />
d) ( ) 6<br />
e) ( ) 9<br />
19- Observe a figura. Nela, as retas r, s e t são<br />
paralelas, AD = 5 cm, BC = 4 cm e DF= 6 cm. A<br />
medida do segmento BE, em centímetros, é:<br />
a) ( ) 4,8<br />
b) ( ) 6<br />
c) ( ) 7,2<br />
d) ( ) 8,8<br />
e) ( ) 9,6<br />
20- Qual é o valor, em cm, da medida x indicada no<br />
triângulo a seguir?<br />
a) ( ) 13<br />
b) ( ) 12<br />
c) ( ) 11<br />
d) ( ) 10<br />
21- (UMC-SP) Uma escada medindo 4 metros tem<br />
uma de suas extremidades apoiada no topo de um<br />
muro, e a outra extremidade dista 2,4 m da base do<br />
muro. A altura desse muro é:<br />
a) ( ) 2,3<br />
b) ( ) 3,0<br />
c) ( ) 3,2<br />
d) ( ) 3,8<br />
22- (OBM) No triângulo PQR, a altura PF divide o<br />
lado QR em dois segmentos de medidas QF = 9 e<br />
RF = 5. Se PR = 13, qual é a medida de PQ?<br />
a) ( ) 5<br />
b) ( ) 10<br />
c) ( ) 15<br />
d) ( ) 20<br />
e) ( ) 25<br />
19
23- (Ceeteps – SP) A medida da diagonal da tela<br />
de uma televisão determina as polegadas da TV.<br />
Uma televisão cuja tela mede 30 cm por 40 cm<br />
possui:<br />
a) ( ) 29 polegadas<br />
b) ( ) 20 polegadas<br />
c) ( ) 18 polegadas<br />
d) ( ) 16 polegadas<br />
Lembrete: 1 polegada = 2,5 cm<br />
24- (SENAI) A figura abaixo representa uma praça:<br />
Um ciclista gosta de percorrer o trecho AB, BC e<br />
CA. A cada volta completa ele percorre:<br />
a) ( ) 130 m.<br />
b) ( ) 120 m.<br />
c) ( ) 110 m.<br />
d) ( ) 100 m.<br />
e) ( ) 90 m.<br />
25- (SENAI) Uma fábrica de cerâmica fabrica lajotas<br />
na forma de um triângulo eqüilátero como mostra a<br />
figura.<br />
Para que a área de cada lajota seja igual a 49 3 cm 2 ,<br />
o lado do triângulo deverá medir:<br />
a) ( ) 35 cm<br />
b) ( ) 28 cm<br />
c) ( ) 21 cm<br />
d) ( ) 14 cm<br />
e) ( ) 7 cm<br />
26- (SENAI) O sistema UTM, utilizado pelos pilotos<br />
de corrida de rali, faz com que qualquer ponto da<br />
Terra possa ser identificado por um sistema<br />
cartesiano de coordenadas (x, y). Suponha que o<br />
ponto inicial de um rali seja dado pelas coordenadas<br />
A (4, 6). Ao visualizar as coordenadas B (10, 14), o<br />
piloto percorreu a distância AB, em unidades de<br />
comprimento igual a:<br />
a) ( ) 10<br />
b) ( ) 30<br />
c) ( ) 50<br />
d) ( ) 60<br />
e) ( ) 80<br />
27- (SENAI) Imagine um sistema cartesiano de<br />
coordenadas (x, y) colocado sobre uma mesa de<br />
bilhar, conforme indica a figura. Nesse sistema, a<br />
bola que será lançada se encontra no ponto A, de<br />
coordenadas (20, 12). As coordenadas do ponto onde<br />
a bola lançada deverá bater é B (36, 0). A distância<br />
AB percorrida pela bola, em unidades de<br />
comprimento, corresponde a:<br />
a) ( ) 20<br />
b) ( ) 28<br />
c) ( ) 56<br />
d) ( ) 72<br />
e) ( ) 86<br />
20
28- (SENAI) Deverá ser construído um muro, em<br />
volta de uma pista de patins no gelo, como indica a<br />
figura. Se o metro linear construído do muro, custa<br />
R$ 300,00, o total a ser pago pela construção será:<br />
a) ( ) R$ 15900,00<br />
b) ( ) R$ 19500,00<br />
c) ( ) R$ 20600,00<br />
d) ( ) R$ 22500,00<br />
e) ( ) R$ 35400,00<br />
29- (ANRESC) No centro de uma cidade é<br />
construída uma praça circular com uma passarela<br />
central de 50 m de comprimento, como mostra a<br />
figura.<br />
a) ( ) 25 m.<br />
b) ( ) 50 m.<br />
c) ( ) 100 m.<br />
d) ( ) 200 m.<br />
30- (SARESP) Medi o comprimento da roda de<br />
minha bicicleta e, a seguir, calculei a razão entre<br />
esta medida e o diâmetro da roda, encontrando um<br />
número entre:<br />
a) ( ) 2 e 2,5<br />
b) ( ) 2,5 e 3<br />
c) ( ) 3 e 3,5<br />
d) ( ) 3,5 e 4<br />
31- (SENAI)Tenho uma cartolina retangular de<br />
dimensões 50 cm x 40 cm. Com essa cartolina quero<br />
construir um losango, como indica a figura abaixo.<br />
A área desse losango, em cm 2 , será:<br />
a) ( ) 500<br />
b) ( ) 1000<br />
c) ( ) 1200<br />
d) ( ) 1500<br />
e) ( ) 2000<br />
32- (SENAI) Um terreno quadrado com lado<br />
medindo 20 m será dividido em três lotes, conforme<br />
mostra a figura:<br />
A área do lote II deverá medir:<br />
a) ( ) 100 m 2 .<br />
b) ( ) 150 m 2 .<br />
c) ( ) 200 m 2 .<br />
d) ( ) 250 m 2 .<br />
e) ( ) 300 m 2 .<br />
33- (SENAI) Uma estufa para mudas, quando vista<br />
de cima, conforme a figura abaixo, será dividida em<br />
quadrados com 50 cm de lado, em cada quadrado da<br />
divisão serão cultivadas 18 mudas. Então, o total de<br />
mudas cultivadas nessa estufa será:<br />
21
a) ( ) 1.440<br />
b) ( ) 1.320<br />
c) ( ) 1.280<br />
d) ( ) 1.200<br />
e) ( ) 1.180<br />
34- (SENAI) Uma sala em forma de L, conforme a<br />
figura abaixo, será revestida com lajotas quadradas<br />
de 40 cm de lado. Se o preço de cada lajota é<br />
R$ 1,65, o valor gasto nesse revestimento será de:<br />
a) ( ) R$ 105,60.<br />
b) ( ) R$ 247,50.<br />
c) ( ) R$ 353,10.<br />
d) ( ) R$ 393,60.<br />
e) ( ) R$ 495,20.<br />
35- (OBMEP) Placa decorativa – Uma placa<br />
decorativa consiste num quadrado branco de quatro<br />
metros de lado, pintado de forma simétrica com<br />
partes em cinza, conforme a figura.<br />
Qual é a fração da área da placa que foi pintada?<br />
36- (CPFO-SP) Se a base de um retângulo mede 7<br />
cm e o perímetro mede 19 cm, então, a sua área<br />
vale:<br />
a) ( ) 9,5 cm 2<br />
b) ( ) 17,5 cm 2<br />
c) ( ) 35 cm 2<br />
d) ( ) 84 cm 2<br />
37- A área da figura hachurada, no diagrama, vale:<br />
a) ( ) 4,0<br />
b) ( ) 3,5<br />
c) ( ) 3,0<br />
d) ( ) 4,5<br />
e) ( ) 5,0<br />
38- (ANRESC) Quantos quilogramas de semente são<br />
necessários para semear uma área de 10 m x 24 m,<br />
observando a recomendação de aplicar 1 kg de<br />
semente por 16 m 2 de terreno?<br />
1<br />
a) ( )<br />
15<br />
b) ( ) 1,5<br />
c) ( ) 2,125<br />
d) ( ) 15<br />
39- (CEFET-MG) No retângulo ABCD os lados AB<br />
e BC medem, respectivamente, 16 cm e 10 cm e E e<br />
F são pontos médios dos segmentos.<br />
A área do triângulo CEF, em cm 2 , é<br />
a) ( ) 20<br />
b) ( ) 40<br />
c) ( ) 60<br />
d) ( ) 80<br />
40- (CEFET-MG) Sabendo-se que os polígonos<br />
ABCD, EFGH e IJLM são quadrados, a área<br />
hachurada na figura abaixo, em cm 2 , é igual a:<br />
22
a) ( ) 1<br />
b) ( ) 2<br />
c) ( ) 3<br />
d) ( ) 4<br />
41- Quanto medem as arestas de um cubo cuja área<br />
total é de 600 cm 2 ?<br />
a) ( ) 6 cm<br />
b) ( ) 10 cm<br />
c) ( ) 6 cm<br />
d) ( ) 10 cm<br />
42- Uma face de um cubo tem área 81cm 2 . Seu<br />
volume é:<br />
a) ( ) 9cm 3 .<br />
b) ( ) 81cm 3 .<br />
c) ( ) 180cm 3 .<br />
d) ( ) 243cm 3 .<br />
e) ( ) 729cm 3 .<br />
43- (FAFI-MG) As dimensões de uma piscina<br />
olímpica são: 50m de comprimento, 25m de largura e<br />
3m de profundidade. O seu volume, em litros, é:<br />
a) ( ) 3750.<br />
b) ( ) 37500.<br />
c) ( ) 375000.<br />
d) ( ) 3750000.<br />
e) ( ) 37500000.<br />
44- (CESCEA-SP) Se a soma das arestas de um<br />
cubo é igual a 72 cm, então o volume do cubo é igual<br />
a:<br />
a) ( ) 100 cm 3 .<br />
b) ( ) 40 cm 3 .<br />
c) ( ) 144 cm 3 .<br />
d) ( ) 16 cm 3 .<br />
e) ( ) 216 cm 3 .<br />
45- (FUVEST-SP) Dois blocos de alumínio, em<br />
forma de cubo, com arestas medindo 10cm e 6cm,<br />
são levados juntos à fusão e, em seguida, o alumínio<br />
é moldado como um paralelepípedo reto-retângulo de<br />
arestas 8cm, 8cm e x cm. O valor de x é:<br />
a) ( ) 20<br />
b) ( ) 19<br />
c) ( ) 18.<br />
d) ( ) 17<br />
e) ( ) 16<br />
46- (SENAI) Na entrada da cidade de Fluidópolis,<br />
foi construído um obelisco composto de um pedestal<br />
de concreto e cubos metálicos maciços, formando a<br />
inicial da cidade, conforme a figura a seguir.<br />
Se cada cubo tem aresta de 50 cm, o volume de metal<br />
usado nos cubos que compõem esse obelisco foi de:<br />
a) ( ) 3,000 m 3 .<br />
b) ( ) 2,725 m 3 .<br />
c) ( ) 2,000 m 3 .<br />
d) ( ) 1,575 m 3 .<br />
e) ( ) 1,000 m 3 .<br />
47- (SENAI) Na praça central de uma cidade foi<br />
construído um obelisco, em forma de cruz, conforme<br />
a figura. A cruz é compacta e construída com cubos<br />
de alumínio de arestas iguais a 80 cm. O volume de<br />
alumínio usado para construir somente a cruz foi de:<br />
a) ( ) 5,12 m 3 .<br />
b) ( ) 4,80 m 3 .<br />
c) ( ) 4,48 m 3 .<br />
d) ( ) 4,16 m 3 .<br />
e) ( ) 3,84 m 3 .<br />
23
9- QUESTÕES DISCURSIVAS<br />
Ângulos<br />
1- As figuras mostram um quadrado ABCD e um<br />
hexágono regular C<strong>DE</strong>FGH.<br />
Determine, em graus, a medida do ângulo A<strong>DE</strong> ˆ .<br />
2- Na figura, as retas r e s são paralelas. Determinar<br />
os valores de a, b, c e d.<br />
Semelhança de triângulos<br />
3- (UNICAMP) Uma rampa de inclinação constante,<br />
como a que dá acesso ao Palácio do Planalto, em<br />
Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais<br />
alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que<br />
após ter caminhado 12,3 metros sobre a rampa, está a<br />
1,5 metro de altura em relação ao solo. Calcule<br />
quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para<br />
atingir o ponto mais alto da rampa.<br />
4- Em um terreno de forma triangular deve-se<br />
construir uma quadra retangular, de acordo com a<br />
ilustração.<br />
Se a e b representam, em metros, as dimensões da<br />
quadra, determine-os.<br />
Teorema de Pitágoras<br />
5- (FUVEST-SP) Uma escada de 25 dm de<br />
comprimento se apóia num muro do qual seu pé dista<br />
7 dm. Se o pé da escada se afastar mais 8 dm do<br />
muro, qual o deslocamento verificado pela<br />
extremidade superior da escada?<br />
24
6- (CEFET-PR) Em um acampamento escoteiro,<br />
num certo momento, a atividade que se desenvolvia<br />
em um terreno plano visava o treinamento do uso<br />
da bússola. A escoteira Rosa Dosven Tussin partiu<br />
de um ponto A e andou no sentido Norte, 137<br />
passos até o ponto B. Em seguida caminhou 21<br />
passos, no sentido Oeste, até o ponto C e, depois,<br />
165 passos, no sentido Sul, até o ponto final D. Lá<br />
chegando, encontrou um tesouro: uma caixa de<br />
chocolate “Tris”. A que distância do ponto A, de<br />
partida, estava escondido o tesouro?<br />
Círculo e Circunferência<br />
7- (UFMA) No relógio da torre de uma igreja, o<br />
ponteiro maior mede 2 m. Em quanto tempo a<br />
ponta desse ponteiro percorre 5π metros?<br />
Áreas das figuras planas<br />
8- As dimensões de um terreno retangular são: 80<br />
m de comprimento por 12 m de largura. Em um<br />
outro terreno, a medida do comprimento é 80% da<br />
medida do comprimento do primeiro. Se ambos têm<br />
a mesma área, qual a largura do segundo terreno?<br />
9- (CPFO) Qual a área da região colorida?<br />
Use π = 3,14.<br />
Paralelepípedo<br />
10- A superfície lateral de um prisma de base<br />
quadrada é feita com uma folha de cartolina de 30<br />
cm por 40 cm. Sabendo-se que a altura do sólido é<br />
30 cm, pergunta-se:<br />
a) Quantos centímetros tem o lado do quadrado da<br />
base do prisma?<br />
b) Quantos centímetros quadrados de cartolina no<br />
total foram gastos na construção desse sólido?<br />
25
QUESTÕES DISCURSIVAS – OBMEP<br />
As questões a seguir foram obtidas de materiais<br />
das Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas Públicas.<br />
Encare as questões como desafios e persista na busca por soluções!<br />
11- Triângulo isósceles – Na figura, o triângulo<br />
∆ABC é isósceles, com BÂC = 20º<br />
. Sabendo que<br />
BC = BD = BE, determine a medida do<br />
ângulo B<strong>DE</strong> ˆ .<br />
12- Ângulos e perímetro – Calcule os ângulos que<br />
não estão indicados e o perímetro da figura, sabendo<br />
que BD = BC e DBC ˆ = BCD ˆ .<br />
13- Área – Um lote retangular foi divido em quatro<br />
terrenos, todos retangulares. As áreas de três deles<br />
estão dadas na figura, em km 2 . Qual é a área do lote?<br />
14- Ângulos em função de x – Na figura estão<br />
indicadas, em graus, as medidas de alguns ângulos<br />
em função de x. Quanto vale x?<br />
15- Região sombreada - A figura mostra um<br />
retângulo formado por 18 quadrados iguais com<br />
algumas partes sombreadas. Qual é a fração da área<br />
do retângulo que está sombreada?<br />
16- A casa da Rosa – A figura mostra a planta da<br />
casa da Rosa. O quarto e o quintal são quadrados.<br />
Qual é a área da cozinha?<br />
26
17- A figura mostra um dodecágono regular<br />
decomposto em seis triângulos equiláteros, seis<br />
quadrados e um hexágono regular, todos com lados<br />
de mesma medida.<br />
a) Se cada triângulo da figura tem área igual a 1 cm 2 ,<br />
qual é a área do hexágono?<br />
b) A figura abaixo foi obtida retirando doze<br />
triângulos eqüiláteros de um dodecágono regular cujo<br />
lado mede 1 cm. Qual é a área dessa figura?<br />
c) A figura abaixo foi obtida retirando dois<br />
hexágonos regulares de um dodecágono regular cujo<br />
lado mede 1 cm. Qual é a área dessa figura?<br />
18- Triângulos e ângulos. . . – Determine os ângulos<br />
α e β dados na figura.<br />
19- Poste elétrico – Uma companhia de eletricidade<br />
instalou um poste num terreno plano. Para fixar bem<br />
o poste, foram presos cabos no poste, a uma altura de<br />
1,4 metros do solo e a 2 metros de distância do poste,<br />
sendo que um dos cabos mede 2,5 metros, conforme<br />
a figura.<br />
Um professor de Matemática, após analisar estas<br />
medidas, afirmou que o poste não está perpendicular<br />
ao solo. Você acha que o professor está certo?<br />
Justifique sua resposta.<br />
20- Discos de papelão – Para fabricar nove discos de<br />
papelão circulares para o Carnaval usam-se folhas<br />
quadradas de 10 cm de lado, como indicado na<br />
figura. Qual é a área (em cm 2 ) do papel não<br />
aproveitado?<br />
(Use π = 3,1)<br />
27
21- Triângulos impossíveis – Quais dessas figuras<br />
estão erradas?<br />
22- Dividindo o paralelepípedo – Um bloco de<br />
madeira na forma de um paralelepípedo retângulo<br />
tem 320 cm de comprimento, 60 cm de largura e 75<br />
cm de altura. O bloco é cortado várias vezes, com<br />
cortes paralelos às suas faces, de modo a subdividi-lo<br />
em blocos menores, todos na forma de<br />
paralelepípedos retângulo de 80 cm de comprimento<br />
por 30 cm de largura por 15 cm de altura.<br />
Figura Questão 22<br />
a) Quantas peças foram obtidas?<br />
b) Um metro cúbico dessa madeira pesa<br />
aproximadamente 900 kg. Qual é o peso de cada uma<br />
dessas peças?<br />
23- Pedro gasta 1 mL de tinta cinza para pintar 100<br />
cm² de superfície.<br />
a) O sólido da figura foi feito colando uma face de<br />
um cubo de aresta 10 cm em uma face de um cubo de<br />
aresta 20 cm. Quantos mL de tinta Pedro precisa para<br />
pintar esse sólido?<br />
28
) Pedro gastou 54 mL de tinta para pintar um cubo e<br />
depois dividiu esse cubo pintado em dois blocos<br />
retangulares iguais, como na figura. Quantos mL a<br />
mais de tinta ele gastará para acabar de pintar esses<br />
dois blocos?<br />
24- Quadrado, Pentágono e Icoságono. A figura<br />
mostra parte de um polígono regular de 20 lados<br />
(icoságono) ABC<strong>DE</strong>F..., um quadrado BCYZ e um<br />
pentágono regular <strong>DE</strong>VWX.<br />
Determine a medida do ângulo YDC ˆ .<br />
10- RESPOSTAS DAS QUESTÕES<br />
QUESTÕES OBJETIVAS<br />
1 C 17 B 33 A<br />
2 D 18 B 34 C<br />
3 D 19 D 35 C<br />
4 B 20 A 36 B<br />
5 A 21 C 37 D<br />
6 E 22 C 38 D<br />
7 D 23 B 39 C<br />
8 C 24 B 40 A<br />
9 B 25 D 41 D<br />
10 A 26 A 42 E<br />
11 E 27 A 43 D<br />
12 C 28 B 44 E<br />
13 D 29 A 45 B<br />
14 B 30 C 46 C<br />
15 C 31 B 47 A<br />
16 D 32 C<br />
QUESTÕES DISCURSIVAS<br />
1) 150º 2) a = 70º, b = 30º, c = 80º, d = 70º<br />
3) 20,5 m 4) a = 4 5 m e b = 4 m<br />
5) 4 dm 6) 35 passos 7) 1 hora 15 min<br />
8) 15 m 9) 21,5 cm 2<br />
10) a) 10 cm b) 1400 cm 2 11) 60º<br />
12) Perímetro: 696 m<br />
Ângulos não indicados: 128º, 80º, 60º, 60º, 60º<br />
13) 225 Km 2 14) 18º<br />
4 2<br />
15) 16) 16 m<br />
9<br />
17) a) 6 cm 2 b) 6 cm 2 c) 6 cm 2<br />
18) α = 120 º e β = 85º<br />
19) Correto.(Apresente sua justificativa !)<br />
20) 22,5 cm 2<br />
21) Todas.(Apresente sua justificativa !)<br />
22) a) 40 peças b) 32,4 Kg<br />
23) a) 28 mL b) 18 mL 24) 54º<br />
29