Exerc´ıcios de AN: Integraç˜ao - UFMG

Exercícios de AN: Integração
Renato Assunção - DCC, UFMG
1. Na regra de Simpson, a parábola que passa pelos pontos (xi−1, f(xi−1)), (xi, f(xi)), e (xi+1, f(xi+1))
pode ser apresentada na forma de um polinômio de Lagrange:
p(x) =
(x − xi)(x − xi+1)
(xi−1 − xi)(xi−1 − xi+1) f(xi−1) + (x − xi−1)(x − xi+1)
(xi − xi−1)(xi − xi+1) f(xi)
(x − xi−1)(x − xi)
+
(xi+1 − xi−1)(xi+1 − xi) f(xi+1).
Mostre que se h = x1 − x0 = x2 − x1 = . . . = x2n − x2n−1 então
xi+1
xi−1
p(x)dx = h
3 [f(xi−1) + 4f(xi) + f(xi+1)].
2. Na regra de Simpson, suponha que h = (b−a)/2n. Usando o resultado do exercício anterior, mostre
que
b
f(x)dx ≈ h
n
n−1
f(x0) + 4 f(x2i−1) + 2 f(x2i) + f(x2n)
3
a
i=1
3. Para cada integral abaixo, faça um gráfico da função que você vai integrar e obtenha uma estimativa
muito grosseira, puramente VISUAL, do valor da integral. Use o scilab para calcular numericamente
com a regra do trapázio e de Simpson com n = 2, 4, 6, . . . , 40. Calcule o erro cometido na
aproximação com cada método e com cada valor de n.
5
0
π
0
xsen(3x) dx = sen(3x)
9
i=1
sen(x) dx = − cos(x) | π 0 = 2
−
x cos(3x)
3
| 5 0= 1.338400726
4. A teoria diz que, na regra do trapézio, devemos ter o erro caindo aproximadamente com h 2 e, na
regra de Simpson, com h 4 . Verifique se isto ocrre no caso das duas integrais acima da seguinte
forma: faça um gráfico do erro absoluto ɛ cometido versus h = (b − a)/n plotando os pontos (h, ɛ)
para os dieferentes valores de n.
Se ɛ ≈ ch β então log(ɛ) ≈ log(c) + β log(h). Faça então um gráfico dos pontos (log(h), log(ɛ)) e
verifique se os pontos ficam aproximadamente alinhandos ao longo de ume reta. Ajuste uma reta
por mínimos quadrados e verifique se o coeficiente β é aproximadamente igual a 2 no caso da regra
do trapézio e aproximadamente igual a 4 no caso da regra de Simpson.
5. Implemente em scilab as regras de quadradtura basadas no ponto inicial e no ponto final dos
subintervalos: b
n
f(x)dx ≈ Ln(f) = hf(xi−1),
e b
f(x)dx ≈ Rn(f) =
a
a
i=1
n
hf(xi).
Usando as duas integrais e os resultados do exercício anterior, compare o desempenho destas regras
Ln(f) e Rn(f) com as regras do trapézio e de Simpson.
i=1

6. Seja m o ponto médio do intervalo [a, b] com a < b. Mostre que
b
a
(x − m) dx = 0
7. Determinar o menor n tal que a aproximação pela regra do trapézio da integral 2
0 ex dx tenha um
erro máximo menor que 10 −3 . Faça o mesmo usando a regra de Simpson. Ficam diferentes?