Análise Numérica - Erros, Extrapolaįão de Richardson e ... - UFMG
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Quadratura gaussiana: n pontos A solução do sistema não-linear para integrais no intervalo [−1, 1] é dada na tabela abaixo: n pesos wi pontos xi 2 w1 = 1.000000000 x1 = −0.577350269 w2 = 1.000000000 x2 = −0.577350269 3 w1 = 0.555555556 x1 = x1 = −0.774596669 w2 = 0.888888889 x2 = 0.000000000 w3 = 0.555555556 x3 = 0.774596669 4 w1 = 0.347854845 x1 = −0.861136312 w1 = 0.652145155 x1 = −0.339981044 w1 = 0.652145155 x1 = 0.339981044 w1 = 0.347854845 x1 = 0.861136312 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica 2012 36 / 40
Passando de [−1, 1] para [a, b] Os avlores de w1, . . . , wn e x1, . . . , xn da quadratura gaussiana são calculados sempre assumindo que o intervalo de integração seja [−1, 1]. Como passar para o caso geral de integrar num intervalo [a, b] qualquer? A resposta é que qualquer integral em [a, b] pode ser transformada numa integral em [−1, 1] por uma substituição de variével. Se tomarmos b − a b + a x = t + 2 2 e portanto com dx = (b − a)/2 dt, teremos b 1 b − a b + a b − a f (x)dx = f t + dt . 2 2 2 a −1 Esta integral tem limites −1 e 1 e podemos usar os coeficientes da quadratura gaussiana calculados para este intervalo de integração. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica 2012 37 / 40
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Passando <strong>de</strong> [−1, 1] para [a, b]<br />
Os avlores <strong>de</strong> w1, . . . , wn e x1, . . . , xn da quadratura gaussiana são<br />
calculados sempre assumindo que o intervalo <strong>de</strong> integração seja<br />
[−1, 1].<br />
Como passar para o caso geral <strong>de</strong> integrar num intervalo [a, b]<br />
qualquer?<br />
A resposta é que qualquer integral em [a, b] po<strong>de</strong> ser transformada<br />
numa integral em [−1, 1] por uma substituição <strong>de</strong> variével.<br />
Se tomarmos<br />
b − a b + a<br />
x = t +<br />
2 2<br />
e portanto com dx = (b − a)/2 dt, teremos<br />
b 1 <br />
b − a b + a b − a<br />
f (x)dx = f t + dt .<br />
2 2 2<br />
a<br />
−1<br />
Esta integral tem limites −1 e 1 e po<strong>de</strong>mos usar os coeficientes da<br />
quadratura gaussiana calculados para este intervalo <strong>de</strong> integração.<br />
Renato Martins Assunção (DCC - <strong>UFMG</strong>) <strong>Análise</strong> <strong>Numérica</strong> 2012 37 / 40
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