Análise Numérica - Erros, Extrapolaįão de Richardson e ... - UFMG

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Quadratura gaussiana: n pontos É claro que aproximar bem uma integral vai exigir mais que 2 pontos apenas. O que GAUSS demonstrou é um teorema muito bonito e geral. Vamos fazer quadratura gaussiana escolhendo n ≥ 2 pontos em [a, b]. Se f (x) for QUALQUER polinômio com grau igual a 2n − 1 então a quadratura gaussiana terá um erro igual a ZERO. Nenhuma outra regra de quadratura pode ter erro zero em todos os polinômios com grau igual a 2n. Neste sentido, a quadratura gaussiana é o melhor que podemos fazer com n pontos. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica 2012 34 / 40
Quadratura gaussiana: n pontos O problema é como encontrar os n pontos x1, x2, . . . , xn e os pesos associados w1, w2, . . . , wn. A solução pode ser encontrada escolhendo 2n polinômios específicos de grau no máximo 2n − 1 e montar um sistema não-linear com 2n equações. A preferência para escolher estes polinômios específicos tem sido pelos polinômios de Legendre, que facilitam o cálculo da solução dos sistema não-linear. Os polinômios de Legendre são definidos recursivamente da seguinte forma: P0(x) = 1 e P1(x) = x) Para n ≥ 2, temos (n + 1)Pn+1(x) = (2n + 1)xPn(x) − nPn−1(x). Isto implica que P2(x) = (3x 2 − 1)/2, P3(x) = (5x 3 − 3x)/2, P4(x) = (35x 4 − 30x 2 + 3)/8, etc. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica 2012 35 / 40
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