Análise Numérica - Erros, Extrapolaįão de Richardson e ... - UFMG
Análise Numérica - Erros, Extrapolaįão de Richardson e ... - UFMG Análise Numérica - Erros, Extrapolaįão de Richardson e ... - UFMG
O problema de Gauss O sistema não-linear é o seguinte ⎧ w1 + w2 ⎪⎨ w1(x1 − m) + w2(x2 − m) w1(x1 − m) ⎪⎩ = = b − a 0 2 + w2(x2 − m) 2 w1(x1 − m) = (b − a)3 12 3 + w2(x2 − m) 3 = 0 O sistema pode não ter soluções ou ter várias soluções. O sistema poderia ter uma solução única mas com xi complexo. E se existir uma solução real, os valores x1 e x2 poderiam estar fora do intervalo [a, b]. Gauss mostrou que nada disso ocorre. Nosso sistema acima possui solução única (não é difícil obtê-la, veja a lista de exercício). Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica 2012 30 / 40
Solução para 2 pontos A solução é a seguinte: ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x1 = x2 = w1 = w2 = a + b b − a + 2 2 √ 3 a + b b − a − 2 2 √ 3 b − a 2 b − a 2 E a quadratura gaussiana com DOIS pontos para qualquer função f (x) é b − a a + b b − a I ≈ G2 = f − 2 2 2 √ a + b b − a + f + 3 2 2 √ 3 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica 2012 31 / 40
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O problema <strong>de</strong> Gauss<br />
O sistema não-linear é o seguinte<br />
⎧<br />
w1 + w2<br />
⎪⎨ w1(x1 − m) + w2(x2 − m)<br />
w1(x1 − m)<br />
⎪⎩<br />
=<br />
=<br />
b − a<br />
0<br />
2 + w2(x2 − m) 2 w1(x1 − m)<br />
=<br />
(b − a)3<br />
12<br />
3 + w2(x2 − m) 3 = 0<br />
O sistema po<strong>de</strong> não ter soluções ou ter várias soluções.<br />
O sistema po<strong>de</strong>ria ter uma solução única mas com xi complexo.<br />
E se existir uma solução real, os valores x1 e x2 po<strong>de</strong>riam estar fora<br />
do intervalo [a, b].<br />
Gauss mostrou que nada disso ocorre.<br />
Nosso sistema acima possui solução única (não é difícil obtê-la,<br />
veja a lista <strong>de</strong> exercício).<br />
Renato Martins Assunção (DCC - <strong>UFMG</strong>) <strong>Análise</strong> <strong>Numérica</strong> 2012 30 / 40
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