Análise Numérica - Erros, Extrapolaįão de Richardson e ... - UFMG
Análise Numérica - Erros, Extrapolaįão de Richardson e ... - UFMG Análise Numérica - Erros, Extrapolaįão de Richardson e ... - UFMG
Exemplo com Simpson Considere agora a regra de Simpson. Neste caso p = 4 e a extrapolação de Richardson é dada por F ≈ F h/2 + 1 2 4 − 1 [F h/2 − Fh] = F h/2 + 1 15 [F h/2 − Fh] Vamos considerar de novo com f (x) = 4 entre 0 e 1 (integral 1 + x 2 = π) e com n = 10 e n = 20 intervalos. As diferenças de Fh, Fh/2 e FR em relação a π foram, respectivamente, iguais a 10 ( − 8) × (−3.9650577, −0.0620008, 0.1982030). Assim, neste caso, A extrapolação de Richardson não melhorou a estimativa de Fh/2, o que é incomum. Com f (x) = sec 2 (x) entre 0 e π/4 (integral = 1) e n = 10 e n = 20, temos os erros de Fh, F h/2, FR iguais a 10 −5 , 10 −6 , 10 −8 , respectivamente. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica 2012 14 / 40
Estimativa do erro com Richardson Existe uma outra coisa que podemos fazer com a extrapolação de Richardson. Podemos ter uma estimativa do tamanho do erro que esta sendo cometido com uma determinada regra (e não apenas do erro maximo). Como F ≈ Fh/2 + 1 22 − 1 [Fh/2 − Fh] = Fh/2 + 1 3 [Fh/2 − Fh] podemos então escrever Eh/2 ≈ F − Fh/2 ≈ 1 2p Fh/2 − Fh − 1 Convém ser conservador e usar a medida de erro acima para Eh ao invés de Eh/2. No primeiro exemplo com a regra do trapézio, teríamos Eh ≈ 0.0004167. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica 2012 15 / 40
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Estimativa do erro com <strong>Richardson</strong><br />
Existe uma outra coisa que po<strong>de</strong>mos fazer com a extrapolação <strong>de</strong><br />
<strong>Richardson</strong>.<br />
Po<strong>de</strong>mos ter uma estimativa do tamanho do erro que esta sendo<br />
cometido com uma <strong>de</strong>terminada regra (e não apenas do erro<br />
maximo).<br />
Como<br />
F ≈ Fh/2 + 1<br />
22 − 1 [Fh/2 − Fh] = Fh/2 + 1<br />
3 [Fh/2 − Fh]<br />
po<strong>de</strong>mos então escrever<br />
Eh/2 ≈ F − Fh/2 ≈ 1<br />
2p <br />
Fh/2 − Fh<br />
− 1<br />
Convém ser conservador e usar a medida <strong>de</strong> erro acima para Eh ao<br />
invés <strong>de</strong> Eh/2. No primeiro exemplo com a regra do trapézio, teríamos<br />
Eh ≈ 0.0004167.<br />
Renato Martins Assunção (DCC - <strong>UFMG</strong>) <strong>Análise</strong> <strong>Numérica</strong> 2012 15 / 40
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