Análise Numérica - Erros, Extrapolaįão de Richardson e ... - UFMG

Análise Numérica 

Erros, Extrapolação de Richardson e Quadratura Gaussiana 

Renato Martins Assunção 

DCC - UFMG 

2012 

Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica 2012 1 / 40

Análise do erro 

Sabemos que a integração numérica fornece um valor aproximado 

para a integral. 

Podemos ter uma ideia do tamanho MÁXIMO do erro que 

podemos cometer com os diversos métodos. 

Vamos ver em detalhes o erro que cometemos com a quadratura 

via trapézios. 


Regra do trapézio 

A reta p(x) formando o trapézio tem 

equação igual 

p(x) = f 

a+b f (b)−f (a) x 

a+b 

2 + b−a − 2 . 

Note que (a + b)/2 é o ponto central do intervalo [a, b]. 

A expansão de Taylor da função f (x) em torno do ponto (a + b)/2 

é igual a 

f (x) = f a+b 

2 

em que θ ∈ [a, b]. 

+ f ′ a+b 

2 

 

a+b f 

x − 2 + ′′ (θ) 

2 

 

a+b 2 

x − 2 , 


Erro - regra do trapézio 

A integral da função 

 

x − 

 

a + b 

no intervalo [a, b] é igual a zero. 

2 

Assim, tomando a diferença f (x) − p(x) e integrando em [a, b], 

obtemos 

 

b 

b b 

 

1 

f (x)dx − p(x)dx 

= f 

a 

a 2 a 

′′ 2 a + b 

(θ) x − dx. 

2 

Se |f ′′ (x)| ≤ M para todo x no intervalo, então 

 

 

b 

b 2 

M a + b 

 

p(x)dx 

≤ x − dx = 

 

2 

2 

M 

12 (b−a)3 . 

a 

b 

f (x)dx− 

a 

Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica 2012 4 / 40 

a

Erro - regra do trapézio 

Podemos aplicar esta mesma técnica em cada segmento [xi−1, xi] 

b − a 

de comprimento = h. 

n 

Se |f ′′ (x)| ≤ M para x ∈ [a, b] (e não somente no segmento 

[xi−1, xi]), temos 

 

b 

b 

 

M 


≤ n 

a 

a 12 h3 2 M 

= h (b − a). 

12 

Isto é, a diferença entre a integral e a aproximação pela regra do 

trapézio diminui com h 2 (ou com 1/n 2 ). 

Se passarmos de n para 2n intervalos, a diferença entre a integral e 

a sua aproximação pela regra de quadratura diminui em 4 vezes 

(cai em 1/4 de seu valor com n intervalos). 


Qual o n para obter certa precisão? 

Podemos usar estes limites de erro para determinar o número n de 

sub-intervalos que garanta uma estimativa da integral menor que 

certa precisão. 

Por exemplo, queremos determinar n tal que a estimativa da 

integral 2 1 

0 x+4dx pelo método trapezoidal tenha um erro menor 

que 10 −5 . 

Temos M = max{2/(x + 4) 3 } = 2/4 3 = 1/32. 

Como |erro| ≤ h 2 (2 − 0)/(12 × 32) = h 2 /192 e como queremos 

|erro| ≤ 10 −5 , basta tomarmos h tal que h 2 /192 ≤ 10 −5 . 

Substituindo h = (b − a)/n = 2/n ⇒ n = 91.2871 

Assim, se tomarmos n = 92, teremos o resultado desejado. 


Erro - regra de Simpson 

Cálculos similares permitem calcular o erro MÁXIMO que 

podemos cometer usando o método de Simpson. 

Encontramos um erro máximo igual a (b − a)/180h 4 max{f (4) (x)}, 

onde f (4) é a quarta derivada de f (x). 

Assim, este erro cai com n 4 . 

Ele envolve a 4 a derivada , mais trabalhosa de se obter. 


Extrapolação de Richardson 

Esta é uma técnica muito simples que melhora muito a precisão de 

vários métodos numéricos. 

A ideia no caso de integração numérica usando uma regra qualquer 

(Simpson ou trapézio, por exemplo) é a seguinte: 

Faça uma 1 a aproximação usando n subintervalos (cada um com 

comprimento h). 

Faça uma 2 a aproximação usando 2n subintervalos (cada um com 

comprimento h/2). 

Use as duas aproximações para obter uma aproximação melhor que 

qualquer uma das duas individualmente. 

Vamos ver como isto é feito. 


Richardson: o princípio geral 

Considere um método de quadratura cuja saída Fh fornece uma 

aproximação para a integral F com erro de ordem h p , onde p > 1. 

Isto é , F ≈ Fh + c h p onde c é uma constante positiva. 

Por exemplo, a regra do trapézio tem F ≈ Fh + c h 2 e a regra de 

Simpson tem F ≈ Fh + c h 4 . 

Vamos denotar Eh = c h p . 

Considere a aproximação com 2n intervalos de comprimento h/2: 

F ≈ F h/2 + c(h/2) p . 


Repetindo: 

Temos 

F ≈ Fh + ch p = Fh + Eh 

F ≈ F h/2 + c(h/2) p = F h/2 + E h/2 

(A). 

E h/2 ≈ c(h/2) p = ch p /2 p ≈ 1/2 p · Eh. 

Portanto, de (B) tiramos que 

Isto é, 

(B). 

F − F h/2 ≈ E h/2 ≈ 1/2 p · Eh ≈ 1/2 p · (F − Fh). 

F − F h/2 ≈ 1/2 p · (F − Fh). 

O que podemos fazer com isto? 


Então: F − F h/2 ≈ 1/2 p · (F − Fh). 

O que podemos fazer com isto? 

Isolando F no lado esquerdo, encontramos 

Ou ainda 

F ≈ 2p 

2 p − 1 

 

F h/2 − Fh 

2 p 

 

. 

F ≈ F h/2 + 1 

2 p − 1 [F h/2 − Fh]. 

Esta é a fórmula de extrapolação de Richardson. Ela produz 

resultados muito melhores que Fh ou F h/2 ⇒ erro ≈ c h p+1 . 


Exemplo 

Regra do trapézio tem p = 2. 

A extrapolação de Richardson fica 

F ≈ F h/2 + 1 

3 [F h/2 − Fh] 

Usando o Scilab com f (x) = 4 

entre 0 e 1 (integral = π) e 

1 + x 2 

com n = 10 e n = 20 intervalos. 

Fh erra na terceirra casa decimal. F h/2 erra na quarta casa decimal. 

FR só erra na décima casa decimal!! 


Mais um exemplo 

Ainda com a regra do trapézio (p = 2) e a extrapolação de 

Richardson 

F ≈ F h/2 + 1 

2 2 − 1 [F h/2 − Fh] = F h/2 + 1 

3 [F h/2 − Fh] 

Vamos obter uma aproximação para 

π/4 

sec 2 (x) dx = tan(π/4) − tan(0) = 1 . 

0 

Usando o Scilab com n = 10 e n = 20 intervalos: 

Fh = 1.002052, F h/2 = 1.0005138. 

Já a estimativa de Richardson fica FR = 1.000001. 


Exemplo com Simpson 

Considere agora a regra de Simpson. Neste caso p = 4 e a 

extrapolação de Richardson é dada por 

F ≈ F h/2 + 1 

2 4 − 1 [F h/2 − Fh] = F h/2 + 1 

15 [F h/2 − Fh] 

Vamos considerar de novo com f (x) = 4 

entre 0 e 1 (integral 

1 + x 2 

= π) e com n = 10 e n = 20 intervalos. 

As diferenças de Fh, Fh/2 e FR em relação a π foram, 

respectivamente, iguais a 

10 ( − 8) × (−3.9650577, −0.0620008, 0.1982030). Assim, neste 

caso, A extrapolação de Richardson não melhorou a estimativa de 

Fh/2, o que é incomum. 

Com f (x) = sec 2 (x) entre 0 e π/4 (integral = 1) e n = 10 e 

n = 20, temos os erros de Fh, F h/2, FR iguais a 10 −5 , 10 −6 , 10 −8 , 

respectivamente. 


Estimativa do erro com Richardson 

Existe uma outra coisa que podemos fazer com a extrapolação de 

Richardson. 

Podemos ter uma estimativa do tamanho do erro que esta sendo 

cometido com uma determinada regra (e não apenas do erro 

maximo). 

Como 

F ≈ Fh/2 + 1 

22 − 1 [Fh/2 − Fh] = Fh/2 + 1 

3 [Fh/2 − Fh] 

podemos então escrever 

Eh/2 ≈ F − Fh/2 ≈ 1 

2p 

Fh/2 − Fh 

− 1 

Convém ser conservador e usar a medida de erro acima para Eh ao 

invés de Eh/2. No primeiro exemplo com a regra do trapézio, teríamos 

Eh ≈ 0.0004167. 


QUADRATURA GAUSSIANA 


Quadratura, erros e polinômios 

b 

Considere a integral f (x)dx. 

a 

Todas as regras de quadratura são da seguinte forma: 

I ≈ w1f (x1) + w2f (x2) + . . . + wnf (xn). 

As regras que vimos até agora escolhem os pontos x1, x2, . . . , xn de 

antemão, sem qualquer consideração pela função especifica que vai 

ser integrada. 

As regras do trapézio e de Simpson geram pesos muito simples: 

Trapézio: h 

2 

Simpson: h 

3 

× (1 2 2 2 2 2 2 2 . . . 2 2 1) 

× (1 4 2 4 2 4 2 4 . . . 2 4 1) 


Quadratura gaussiana - introdução 

Gauss teve um insight genial. 

Nossas regras são do seguinte tipo: 

I ≈ w1f (x1) + w2f (x2) + . . . + wnf (xn). 

Fixamos os pontos xi e buscamos os pesos wi. 

Será que não podemos fazer um trabalho melhor se buscarmos 

TAMBÉM os pontos xi , e não apenas os pesos wi? 

A resposta é um surpreendente SIM, nós podemos. Nós podemos 

fazer MUITO melhor!! 

Quadradura gaussiana é o método mais usado hoje em dia. 


Quadratura gaussiana - 2 pontos 

Vamos imaginar que queremos escolher apenas DOIS pontos em 

[a, b] para aproximar a integral da função f (x). 

Isto é, queremos achar 

I ≈ w1f (x1) + w2f (x2). 

Uma opção é a regra do trapézio que escolhe x1 = a e x2 = b, 

aproxima a função f (x) por uma reta e obtém os pesos 

w1 = w2 = h/2 

Verifique isto... 


Deixando xi variável 

A ideia de Gauss foi buscar dois pontos x1 e x2 em [a, b] e os seus 

pesos correspondentes w1 e w2 tal que a aproximação 

fosse a melhor possível. 

I ≈ w1f (x1) + w2f (x2) 

Com a regra do trapézio podemos aproximar com erro zero uma 

função linear f (x). 

Se f (x) for uma reta, a regra do trapézio tem erro zero. 


Na prática, as funções não são exatamanente lineares nos 

sub-intervalos. 

Se é assim, para que então este comentário sobre o erro = 0 num 

caso que não ocorre na prática? 

Se a função for APROXIMADAMENTE linear em cada 

segmento, podemos esperar um erro pequeno usando a regra do 

trapezoide. 

Realmente, nós já vimos que 

 

b 

b 

 

 


a 

a 

≤ n M 

12 h3 = h 

2 M 

(b − a). 

12 

Onde é o máximo da derivada segunda. Se a função for linear em 

cada segmento, a derivada segunda é zero e o erro é zero. 


Erro da regra de Simpson 

Na regra de Simpson, ajustamos uma parábola usando três pontos. 

3 pontos ⇒ polinômio do 2 o grau. 

Os pontos no eixo x estão fixos e o ajuste usa os 3 pontos variáveis 

(yi−1, yi, yi+1). 


Suponha que a função f (x) seja REALMENTE uma parábola em 

cada dois sub-intervalos [xi−1, xi] e [xi, xi+1]. 

Neste caso, o método de Simpson terá um erro = ZERO. 

Fixamos os TRÊS pontos xi−1, xi e xi+1 a priori e obtemos os 

pesos h 

3 × (1 4 1) associados com yi−1, yi e yi+1. 

Se a função for aproximadamente um polinômio de segundo grau 

em cada sub-intervalo, podemos esperar um erro pequeno. 


Gauss - quadratura 

Gauss imaginou que tivesse uma cúbica em [a, b] (um polinômio de 

3 o grau). 

Uma cúbica possui 4 parâmetros: 

p(x) = a0 + a1x + a2x 2 + a3x 3 . 

Com 4 valores para manipular: x1, x2, w1, w2, ele se perguntou se 

não conseguiria estimar SEM ERRO NENHUM a integral desta 

cúbica. 

Isto é, obter 

I − [w1f (x1) + w2f (x2)] = 0 

quando f (x) fosse um polinômio de 3 o grau. 

Como obter fórmulas gerais para x1, x2, w1, w2? 



Se isto é possível, devemos ter uma integral estimada sem erro 

para qualquer polinômio de grau 3 o usando apenas DOIS pontos. 

Em particular, o polinômio 

I = w1f (x1) + w2f (x2). 

p(x) = 1 + 0 · x + 0 · x 2 + 0 · x 3 

deve ter sua integral calculada sem erro. 

b 

Mas neste caso I = 1dx = (b − a) deve ser igual a 

a 

w1f (x1) + w2f (x2) = w1 × 1 + w2 × 1 = w1 + w2. 

Isto é, devemos ter b − a = w1 + w2. Esta é a primeira restrição 

nos valores dos pesos. 



a + b 

Seja m = , o ponto médio do intervalo. 

2 

Se a conjectura de Gauss está correta, ao tomarmos o polinômio 

p(x) = −m + 1 · x + 0 · x 2 + 0 · x 3 = x − m 

também devemos ter sua integral estimada sem erro nenhum. 

b 

Temos I = (x − m)dx = 0 que deve ser igual a 

a 

w1f (x1) + w2f (x2) = w1 × (x1 − m) + w2 × (x2 − m). 

Isto é, devemos ter 0 = w1 × (x1 − m) + w2 × (x2 − m) junto com 

a 1 a restrição: b − a = w1 + w2. 



Continuando, considere agora o polinômio 

p(x) = (x − m) 2 = m 2 − 2mx + x 2 + 0x 3 

a + b 

onde m = , o ponto médio do intervalo. 

2 

Se a conjectura de Gauss está correta, também devemos ter a 

integral de p(x) estimada sem erro nenhum pois ele é de 3o grau. 

b 

Temos I = (x − m) 2 dx que deve ser igual a 

a 

w1f (x1) + w2f (x2) = w1 × (x1 − m) 2 + w2 × (x2 − m) 2 . 

Esta é a 3 a restrição. 



Terminando, considere agora o polinômio 

p(x) = (x − m) 3 . 

b 

Temos I = (x − m) 3 dx que deve ser igual a 

a 

w1f (x1) + w2f (x2) = w1 × (x1 − m) 3 + w2 × (x2 − m) 3 . 

Esta é a 4 a restrição. 


Sistema não-linear 

O problema de Gauss é o seguinte: se existir x1, x2, w1, w2 tal que 

w1f (x1) + w2f (x2) 

aproxime com ERRO ZERO qualquer polinômio até 3 o grau em 

[a, b] então os valores x1, x2, w1, w2 devem obedecer NO MINIMO 

às seguintes 4 restrições: 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

w1 + w2 = b − a 

w1(x1 − m) + w2(x2 − m) = 0 

w1(x1 − m) 2 + w2(x2 − m) 2 w1(x1 − m) 

= 

(b − a)3 

12 

3 + w2(x2 − m) 3 = 0 

Elas são equações NÃO-LINEARES em x1, x2, w1, w2. 


O problema de Gauss 

O sistema não-linear é o seguinte 

⎧ 

w1 + w2 

⎪⎨ w1(x1 − m) + w2(x2 − m) 

w1(x1 − m) 

⎪⎩ 

= 

= 

b − a 

0 

2 + w2(x2 − m) 2 w1(x1 − m) 

= 

(b − a)3 

12 

3 + w2(x2 − m) 3 = 0 

O sistema pode não ter soluções ou ter várias soluções. 

O sistema poderia ter uma solução única mas com xi complexo. 

E se existir uma solução real, os valores x1 e x2 poderiam estar fora 

do intervalo [a, b]. 

Gauss mostrou que nada disso ocorre. 

Nosso sistema acima possui solução única (não é difícil obtê-la, 

veja a lista de exercício). 


Solução para 2 pontos 

A solução é a seguinte: 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

x1 = 

x2 = 

w1 = 

w2 = 

a + b b − a 

+ 

2 2 √ 3 

a + b b − a 

− 

2 2 √ 3 

b − a 

2 

b − a 

2 

E a quadratura gaussiana com DOIS pontos para qualquer função 

f (x) é 

 

b − a a + b b − a 

I ≈ G2 = f − 

2 2 2 √ 

a + b b − a 

+ f + 

3 2 2 √ 

3 


Exemplo 

Quadratura gaussiana de dois pontos para 

é dada por 

G2 = 1 

√ π 

 

exp 

 

2 

√ π 

− 1 

4 

1 

0 

e −x2 

dx = 0.8427007929 

 

1 − 1 

 

2 

√ + exp − 

3 

1 

 

1 − 

4 

1 

 

2 

√ = 0.84244189. 

3 


Resumo 

Quadratura gaussiana com dois pontos: 

Seja n = 2. 

Vamos fazer quadratura escolhendo n = 2 pontos em [a, b]. 

Se f (x) for QUALQUER polinômio com grau ≤ 2n − 1 = 3 então 

a quadratura gaussiana terá um erro igual a ZERO. 

NENHUMA outra regra de quadradtura pode ter erro zero com 

grau = 4 e, neste sentido, a quadratura gaussiana é o melhor que 

podemos fazer. 


Quadratura gaussiana: n pontos 

É claro que aproximar bem uma integral vai exigir mais que 2 

pontos apenas. 

O que GAUSS demonstrou é um teorema muito bonito e geral. 

Vamos fazer quadratura gaussiana escolhendo n ≥ 2 pontos em 

[a, b]. 

Se f (x) for QUALQUER polinômio com grau igual a 2n − 1 então 

a quadratura gaussiana terá um erro igual a ZERO. 

Nenhuma outra regra de quadratura pode ter erro zero em todos 

os polinômios com grau igual a 2n. 

Neste sentido, a quadratura gaussiana é o melhor que podemos 

fazer com n pontos. 



O problema é como encontrar os n pontos x1, x2, . . . , xn e os pesos 

associados w1, w2, . . . , wn. 

A solução pode ser encontrada escolhendo 2n polinômios 

específicos de grau no máximo 2n − 1 e montar um sistema 

não-linear com 2n equações. 

A preferência para escolher estes polinômios específicos tem sido 

pelos polinômios de Legendre, que facilitam o cálculo da solução 

dos sistema não-linear. 

Os polinômios de Legendre são definidos recursivamente da 

seguinte forma: 

P0(x) = 1 e P1(x) = x) 

Para n ≥ 2, temos (n + 1)Pn+1(x) = (2n + 1)xPn(x) − nPn−1(x). 

Isto implica que P2(x) = (3x 2 − 1)/2, P3(x) = (5x 3 − 3x)/2, 

P4(x) = (35x 4 − 30x 2 + 3)/8, etc. 



A solução do sistema não-linear para integrais no intervalo [−1, 1] 

é dada na tabela abaixo: 

n pesos wi pontos xi 

2 w1 = 1.000000000 x1 = −0.577350269 

w2 = 1.000000000 x2 = −0.577350269 

3 w1 = 0.555555556 x1 = x1 = −0.774596669 

w2 = 0.888888889 x2 = 0.000000000 

w3 = 0.555555556 x3 = 0.774596669 

4 w1 = 0.347854845 x1 = −0.861136312 

w1 = 0.652145155 x1 = −0.339981044 

w1 = 0.652145155 x1 = 0.339981044 

w1 = 0.347854845 x1 = 0.861136312 


Passando de [−1, 1] para [a, b] 

Os avlores de w1, . . . , wn e x1, . . . , xn da quadratura gaussiana são 

calculados sempre assumindo que o intervalo de integração seja 

[−1, 1]. 

Como passar para o caso geral de integrar num intervalo [a, b] 

qualquer? 

A resposta é que qualquer integral em [a, b] pode ser transformada 

numa integral em [−1, 1] por uma substituição de variével. 

Se tomarmos 

b − a b + a 

x = t + 

2 2 

e portanto com dx = (b − a)/2 dt, teremos 

b 1 

b − a b + a b − a 

f (x)dx = f t + dt . 

2 2 2 

a 

−1 

Esta integral tem limites −1 e 1 e podemos usar os coeficientes da 

quadratura gaussiana calculados para este intervalo de integração. 


Intervalos infinitos 

Como integrar numericamente uma função em um intervalo 

infinito? 

Por exemplo, no intervalo [0, ∞) ou no intervalo (−∞, ∞). 

Temos duas soluções possíveis. 

Truncamento: fazer a integral num intervalo [0, A] onde A é 

grande o suficiente para que o resto da integral em [A, ∞) possa 

ser ignorado. 

Substituição: substituição de variáveis para colocar a integral num 

intervalo finito. 


Intervalo infinito: truncamento 

Suponha que nosso objetico é obter uma aproximação para a 

integral ∞ ∞ 

I = f (x) dx = e −x cos 2 (x 2 ) dx 

0 

Sabemos quanto vale esta integral: 0.70260. 

Como 

∞ A ∞ 

I = f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx 

0 

0 

e como 0 ≤ cos ( x 2 ) ≤ 1, se nós ignorarmos a segunda integral 

estaremos cometendo um erro de truncamento que é igual a 

∞ 

e −x cos 2 (x 2 ∞ 

) dx < e −x dx = exp(−A) 

A 

Se tomarmos A = 20, por exemplo, então nosso erro por 

truncamwnto será no máximo de 2.07 × 10 −9 . 

Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica 2012 39 / 40 

0 

A 

A

Intervalo infinito: substituição 

Vamos ver outra opção para aproximar o valor de 

∞ ∞ 

I = f (x) dx = e −x cos 2 (x 2 ) dx 

0 

Tome x = − log(t) e portanto dx = −dt/t. Isto implica que a 

integral fica 

∞ 

I = f (x) dx = − 

0 

1 

0 

0 

f (− log(t)) dt 

t = 

1 

0 

cos 2 (log 2 (t)) dt 

Esta nova integral não possui primitiva e portanto não pode ser 

calculada analisticamente. 

Mas pode ser calculada numericamente por qualquer dos métodos 

que estudamos.

Análise Numérica - Erros, Extrapolaįão de Richardson e ... - UFMG

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