Aula 4 - Universidade Eduardo Mondlane

UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE – Faculdade de Engenharia
Transmissão de calor
3º Ano
Prof. Dr. Engº Jorge Nhambiu 1

Aula 4 Aula Prática-1
Equação Diferencial de Transmissão de Calor e
as Condições de Contorno
Prof. Dr. Engº Jorge Nhambiu
2

Problema -4.1
Um ferro de engomar com uma base
plana de área 120 cm 2 é submetido a um
fluxo de calor de 1500 W na superfície
esquerda e a uma temperatura
especificada de 90ºC na superfície direita
(veja esquema). Escreva a equação de
condução de calor para este caso sabendo
que a espessura da placa é de L=0,8 cm e
que o coeficiente de condutibilidade
térmica k= 25 W/m°C. Determine a
temperatura na superfície esquerda e plote
a variação de temperatura na base do ferro
com incremento de 1mm.
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Q=1500 W
A=120 cm 2
k
L=0,8 cm
T 2 =90°C
x
3

Problema -4.1 (Resolução I)
Assume-se:
1.Escoamento estacionário e unidimensional sendo a espessura
da base do ferro desprezível;
2.Condutibilidade térmica constante (k = 25 W/m⋅°C);
3.Não há geração de calor no ferro;
4.Desprezam-se as perdas de calor na parte superior do ferro.
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Problema -4.1 (Resolução II)
Desprezando as perdas de calor, todo calor gerado pela resistência
eléctrica do ferro transfere-se para a base. O fluxo de calor no interior
da base determina-se de:
q
Q
1500 W
= = = 125.000 W/m
0
0
Abase
−4
2
120× 10 m
Assumindo que a direcção normal é a do eixo x, para x=0 a esquerda
da superfície, a equação de condução de calor para este caso será:
dT 2
= 0
dx2
Pois, o regime é estacionário, não há geração de calor no interior da
base e a condutibilidade térmica é constante.
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2
5

Problema -4.1 (Resolução III)
Das condições iniciais e condições de fronteira obtém-se;
E pode-se escrever que:
dT
dx C
dT (0)
− k = q0=
125.000 W/m
dx
T( L) = T = 90° C
2
Integrando a equação diferencial duas vezes em função de x,
resulta:
= T( x) = C x+ C
1
Onde C 1 eC 2 são constantes arbitrárias.
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2
1 2
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Problema -4.1 (Resolução IV)
Aplicando as condições de fronteira tem-se:
x = 0: − kC = q → C = −
1 0 1
q
k
0
dT (0)
dx
pois − k = q0
q0L = 1 + 2 = 2 → 2 = 2 − 1 → 2 = 2 +
k
x = L: T( L) C L C T C T C L C T
Substituindo os valores de C 1 eC 2 na equação:
Tx ( ) = Cx 1 + C2
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Problema -4.1 (Resolução V)
Resulta:
q0 q0L q0( L−x) T( x) =− x+ T2 + = + T2
k k k
2
(125000 W/m )(0,008 − x)m
T( x)
= + 90° C
25 W/m ⋅° C
T( x) = 5000(0,008 − x)
+ 90
A temperatura da placa quando x=0 será:
T(0) = 5000(0,008 − 0) + 90 = 130°
C
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Problema -4.1 (Resolução VI)
A variação da temperatura em função da espessura será:
t °C
140
120
100
80
60
40
20
0
Temp x Espessura
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008
Espessura (mm)
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Problema -4.2 (I)
Ar comprimido escoa numa conduta submetida a uma fluxo
uniforme de calor na parte externa e convecção na parte interna.
Escreva a equação de condução para este caso. Determine a
temperatura na superfície externa da conduta eavariaçãode
temperatura na conduta. Plote o gráfico da variação da
temperatura na parede com o incremento do raio de 0,001m. O
coeficiente de transferência de calor por convecção é igual a 40
W/m⋅°C, o raio interno do cilindro igual a 3cm e o externo 4cm.
Ar, ‐5°C
r 2
r
r 1
L=8 m
250 W
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Problema -4.2 (Resolução I)
Assume-se:
1.Escoamento estacionário e unidimensional;
2.Condutibilidade térmica constante (k = 20 W/m⋅°C);
3.Não há geração de calor na conduta;
4.Todo o calor gerado no aquecimento transfere-se à conduta.
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Problema -4.2 (Resolução II)
O fluxo de calor que atravessa a superfície da conduta
determina-se de:
q
s
Q s Q
s 250 W
= = = = 124,33 W/m
A 2πr L 2 π(0,04
m)(8 m)
2 2
Note-se que a transferência de calor é unidimensional na
direcção radial de r e o fluxo de calor é na direcção negativa de
r. A equação matemática de condução de calor pode ser escrita
como:
e
d ⎛ dT
⎜r
dr ⎝ dr
dT ( r1
)
− k = hT [ ∞ −T(
r1)]
dr
⎞
⎟
⎠
=
0
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2
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Problema -4.2 (Resolução III)
E resulta:
k
dT( r )
dr
2 =
q s
Integrando a expressão diferencial em relação ao raio r obtém-se
r dT
dr C
= 1
Dividindo ambas partes da equação por r tem-se:
dT
dr
C
= 1
r
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Problema -4.2 (Resolução IV)
Integrando obtém-se:
Tr () = Clnr+ C
1 2
Onde C 1 e C 2 são constantes arbitrárias.
Aplicando as condições de fronteira tem-se:
r = r 2:
r = r 1:
C
k C
r
2
1
= q→ C =
s
1
qr
s
k
2
⎛
−
⎜
⎜ln
r
⎝
1
− k = h[
T∞
− ( C1
ln r1
+ C2
)] → C2
= T∞
1 − 1 = T∞
r1
1
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k
hr
⎞
⎟
⎟C
⎠
⎛
−
⎜
⎜ln
r
⎝
1
−
k
hr
1
⎞ q
r
⎟
⎠ k
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s 2

Problema -4.2 (Resolução V)
Substituindo C 1 eC 2 na solução geral, a variação de temperatura
determina-se de:
⎛ k ⎞ ⎛ k ⎞ ⎛ r k ⎞qr
s
T( r) = C1ln r+ T∞ −⎜ln r1− ⎟C1 = T∞ + ⎜ln r− ln r1+ ⎟C1 = T∞
+ ⎜ln + ⎟
⎝ hr1 ⎠ ⎝ hr1⎠ ⎝ r1 hr1 ⎠ k
⎛ ⋅° ⎞
Tr () =− 5C ° + ln +
2
r 20 W/m C (124,33 W/m )(0,04 m)
⎜ 2
⎟
⎝ r1
(40 W/m ⋅° C)(0,03 m) ⎠ 20 W/m ⋅° C
⎛ r ⎞
Tr ( ) =− 5 + 0,249⎜ln+ 16,67⎟
r
⎝ 1 ⎠
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2
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Problema -4.2 (Resolução VI)
A temperatura interna determina-se de:
(r = r 1):
(r = r 2):
⎛ r ⎞
1
Tr ( 1)
=− 5 + 0,249⎜ln+ 16,67 ⎟=−
5 + 0,249( 0 + 16,67) =−0,85
º C
⎝ r1
⎠
E a temperatura na superfície de:
⎛ r ⎞ 2
⎛ 0,04 ⎞
Tr ( 1)
=− 5 + 0, 249⎜ln+ 16,67 ⎟=− 5 + 0, 249 ln + 16,67 =−0,77
º C
r
⎜
1
0,03
⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
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Problema -4.2 (Resolução VII)
A variação da temperatura em função do raio será:
Temperatura (°C)
-0.76
0.03
-0.77
0.032 0.034 0.036 0.038 0.04
-0.78
-0.79
-0.8
-0.81
-0.82
-0.83
-0.84
-0.85
Temperatura x Raio
Raio (mm)
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Problema -4.3 (I)
Um recipiente esférico é submetido a uma temperatura
especificada na superfície interna e arrefecido por ar na superfície
externa. Formule a expressão matemática de condução de calor
para a esfera e determine a taxa de transferência de calor
considerando o escoamento unidimensional e o coeficiente de
troca de calor por convecção igual a 40 W/m⋅°C. A condutibilidade
térmicadaesferaéde18W/m⋅°C. Os raios interno e externo da
esfera medem 25 cm e 30 cm respectivamente.
k
r 1 r 2
T 1
T ∞
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h
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Problema -4.3 (Resolução I)
Assume-se:
1.Escoamento estacionário e unidimensional;
2.Condutibilidade térmica constante (k = 18 W/m⋅°C);
3.Não há geração de calor na esfera.
Note-se que a transferência de calor é unidimensional na
direcção radial de r e o fluxo de calor é na direcção negativa de r.
A equação matemática de condução de calor pode ser escrita
como:
d
dr
⎛
⎜r
⎝
2
dT
dr
⎞
⎟
⎠
=
0
Sendo: Tr ( 1) = T1
= 0°C
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Problema -4.3 (Resolução II)
Das condições de contorno de convecção na parte exterior temse:
dT( r2
)
− k = hT [ ( r2) −T∞] dr
Integrando a expressão diferencial em relação ao raio r obtém-se:
r dT
dr C
2
=
Dividindo ambos os termos por r 2 resulta que:
dT
dr
1
C
r
= 1
2
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Problema -4.3 (Resolução III)
Integrando a expressão tem-se:
C1
Tr ()=− + C
r
Onde C 1 e C 2 são constantes arbitrárias
Aplicando as condições de fronteira tem-se:
r = r 1:
r = r 2:
C1
Tr ( 1)
=− + C = T
r
1
2 1
C1
⎛ C
⎜ 1
k = h − + C −T
2
2
r2
⎝ r2
− ∞
2
⎞
⎟
⎠
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Problema -4.3 (Resolução IV)
Escrevendo as equações em função de C 1 eC 2 tem-se:
C
r ( T −T )
= e C
C
= T + = T +
T −T
r
1− −
r hr
1−
r
−
hr
2 1 ∞ 1 1 ∞ 2
1 r2 k 2 1
r1 1 r2
k r1
1 2 1 2
Substituindo C 2 eC 2 na equação da solução geral, a variação de
temperatura determina-se de:
C C ⎛1 1⎞
T −T
⎛r r ⎞
Tr () =− + T+ = C − + T= − + T
r r ⎝r r⎠ 1−
− ⎝ r r ⎠
r hr
1 1 1 ∞ 2 2
1 1⎜ ⎟ 1 1
r
1 1 2 k
⎜ ⎟
1
1 2
(0 − 25) ° C ⎛ 0,3 0,3 ⎞
0,3
Tr () = − + 0C ° = 14,7(1,2 − )
0,3 18 W/m ⋅° C ⎜
1
0, 25 r
⎟
− −
⎝ ⎠
r
2
0, 25 (40 W/m ⋅°
C)(0,3 m)
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Problema -4.3 (Resolução V)
A taxa de transferência de calor através da parede da esfera será:
dT
2 C1 r2( T1 T )
Q − ∞
=− kA =− k(4 πr ) =− 4πkC 2
1 =−4πk
dx r
r2 k
1−
−
r hr
1 2
(0,3 m)(0 25) C
Q− °
=−4 π (18 W/m ⋅° C) = 997,9 W
0,3 18 W/m ⋅° C
− −
1 2
0, 25 (40 W/m ⋅° C)(0,3 m)
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Trabalho Para Casa 01 (I)
Uma tubulação que transporta vapor a 200 ºC é submetida a convecção na
superfície interna com o coeficiente de h = 8 W/m² ºC e a temperatura
especificada de 150 ºC no exterior. Considerando o escoamento
unidimensional, formule a expressão matemática de condução de calor
para a tubulação sabendo que a taxa de transferência de calor é de 1480
W e calcule o comprimento da tubulação. A condutibilidade térmica do tubo
é de 12 W/m⋅°C. Os raios, interno e externo do tubo medem 20 cm e 30 cm
respectivamente. Trace o gráfico da variação da temperatura ao longo da
parede desde o raio interno até ao externo, com incremento de 1 cm.
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Trabalho Para Casa 01 (II)
Enviar até as 5 horas de sexta-feira dia 2 de Março com o “subject”: TPCT01
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