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3 CONSEQULNCIAS DA TEORIA DE CAUCHY

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3 CONSEQUÊNCIAS <strong>DA</strong> <strong>TEORIA</strong> <strong>DE</strong> <strong>CAUCHY</strong><br />

A teoria de Cauchy-Goursat, desenvolvida na secção 2 (<strong>TEORIA</strong> <strong>DE</strong> <strong>CAUCHY</strong>- GOUR-<br />

SAT), permite-nos tirar algumas propriedades importantes sobre as funções f que são<br />

diferenciáveis num conjunto aberto U:<br />

Uma primeira consequência surge do facto de considerando<br />

u(x; y) = Re f(x + iy) e v(x; y) = Im f(x + iy);<br />

a função derivada de f; ser dada para qualquer x + iy 2 U; através de qualquer uma das<br />

igualdades seguintes:<br />

f 0 (x + iy) = @u<br />

@v<br />

(x; y) + i@v (x; y) = (x; y) i@u (x; y) :<br />

@x @x @y @y<br />

Mas como f 0 é contínua em U; por ser também diferenciável em U; podemos concluir que<br />

então<br />

@u<br />

(x; y) ;<br />

@x<br />

@u<br />

(x; y) ;<br />

@y<br />

@v<br />

(x; y) ;<br />

@x<br />

@v<br />

(x; y) ;<br />

@y<br />

são igualmente funções contínuas no aberto = f(x; y) : x + iy 2 Ug ; e que, por conseguinte,<br />

f é uma função holomorfa em U: Logo ter f diferenciável em U é equivalente a<br />

que f seja holomorfa em U:<br />

3.1 FUNÇÕES HARMÓNICAS<br />

Uma função real (x; y) que seja de classe C 2 num conjunto aberto R 2 ; e que<br />

satisfaça para cada (x; y) 2 ; a equação de Laplace<br />

(x; y) = @2<br />

@x<br />

2 (x; y) + @2<br />

(x; y) = 0;<br />

@y2 diz-se uma função harmónica em :<br />

Casos concretos de funções harmónicas são-nos dados pelas funções que são parte real<br />

ou parte imaginária de uma função, f; que seja holomorfa num dado conjunto aberto,<br />

U C; isto é, pelas funções<br />

u(x; y) = Re f(x + iy) e v(x; y) = Im f(x + iy);<br />

de…nidas no aberto = f(x; y) : x + iy 2 Ug R 2 :<br />

Para isso tenhamos em conta que<br />

Re f 0 (x + iy) = @u @v<br />

(x; y) = (x; y) ;<br />

@x @y<br />

Im f 0 (x + iy) =<br />

@u @v<br />

(x; y) = (x; y) ;<br />

@y @x<br />

e que o Teorema 7 da secção 2.2 (FÓRMULAS INTEGRAIS <strong>DE</strong> <strong>CAUCHY</strong>) garante que<br />

f 0 também é diferenciável em U: Então destas relações podemos concluir que existirão<br />

necessariamente em ; todas as derivadas parcias de segunda ordem, quer de u; quer de<br />

1


v; e que as correspondentes equações de Cauchy-Riemann são veri…cadas. Assim, para<br />

qualquer (x; y) 2 ;<br />

@<br />

@x<br />

e também<br />

@<br />

@x<br />

ou seja,<br />

@v<br />

@y<br />

@u<br />

@x<br />

(x; y) = @<br />

@y<br />

(x; y) = @<br />

@y<br />

@ 2 u<br />

@v<br />

@x<br />

@u<br />

@y<br />

@x 2 (x; y) = @2 v<br />

@2v (x; y) =<br />

@y@x<br />

(x; y) ;<br />

(x; y) ;<br />

(x; y) ;<br />

@x@y<br />

@2u (x; y) ;<br />

@y2 @<br />

@y<br />

@<br />

@y<br />

@u<br />

@x<br />

@v<br />

@y<br />

(x; y) = @<br />

@x<br />

(x; y) = @<br />

@x<br />

@v<br />

@x<br />

@u<br />

@y<br />

@2u @x@y (x; y) = @2v (x; y) ;<br />

@x2 @2v @y2 (x; y) = @2u (x; y) :<br />

@y@x<br />

(x; y) ;<br />

(x; y) ;<br />

Além disso, ainda por ser uma função diferenciável em U; f 00 é uma função contínua neste<br />

conjunto, podendo-se então a…rmar que também todas as derivadas de segunda ordem<br />

são funções contínuas em ; ou seja que u e v são funçõess de classe C 2 em : Então<br />

a igualdade entre as derivadas parciais cruzadas de segunda ordem permite-nos concluir<br />

que, para qualquer (x; y) 2 ;<br />

u(x; y) = @2 u<br />

v(x; y) = @2 v<br />

@x2 (x; y) + @2u @y<br />

@x2 (x; y) + @2v @y<br />

2 (x; y) = 0;<br />

2 (x; y) = 0:<br />

Logo, em tais circunstâncias, podemos a…rmar que, na verdade, u e v são funções harmónicas.<br />

Dada uma função harmónica num dado conjunto R 2 ; se existir uma função<br />

complexa de variável complexa, f; holomorfa em U = fx + iy : (x; y) 2 g tal que<br />

a função<br />

(x; y) = Re f(x + iy);<br />

(x; y) = Im f(x + iy)<br />

é chamada de harmónica conjugada de u:<br />

Notemos ainda que a diferenciabilidade de f 0 leva a que para qualquer x + iy 2 U;<br />

f 00 (x + iy) = @<br />

@x<br />

= @<br />

@y<br />

= @<br />

@x<br />

= @<br />

@y<br />

@u<br />

@x<br />

@v<br />

@x<br />

@v<br />

@y<br />

@u<br />

@y<br />

@<br />

(x; y) + i<br />

@x<br />

@<br />

(x; y) i<br />

@y<br />

(x; y) + i @<br />

@x<br />

2<br />

(x; y) i @<br />

@y<br />

@v<br />

@x<br />

(x; y)<br />

@u<br />

@x<br />

(x; y)<br />

@u<br />

@y<br />

(x; y)<br />

@v<br />

@y<br />

(x; y) ;


ou seja que<br />

f 00 (x + iy) = @2 u<br />

@x 2 (x; y) + i@2 v<br />

@x 2 (x; y) = @2 v<br />

=<br />

(x; y) i<br />

@x@y<br />

@2v @y@x (x; y) i @2u @y@x (x; y) = @2u @ 2 u<br />

@x@y<br />

(x; y)<br />

@y2 (x; y) i@2 v<br />

(x; y) :<br />

@y2 Mas como ainda pelo Teorema 7 da secção 2.2 (FÓRMULAS INTEGRAIS <strong>DE</strong> <strong>CAUCHY</strong>)<br />

também f 00 também é holomorfa, existem igualmente todas as derivadas parciais de terceira<br />

ordem de qualquer das funções u e v:<br />

Prosseguindo continuamente este processo, podemos assim concluir que quer u; quer<br />

v; admitem no conjunto ; todas derivadas parciais de todas as ordens. Logo u e v são<br />

ambas funções de classe C 1 em :<br />

3.2 TEOREMA <strong>DE</strong> LIOUVILLE<br />

Uma outra consequência simples das fórmulas integrais de Cauchy reporta-se ao teorema<br />

seguinte, comummente atribuído ao francês Joseph Liouville (1809-1899).<br />

Teorema 1 (Teorema de Liouville) Qualquer função inteira limitada é constante.<br />

Dem.: Com z 2 C; temos para qualquer circunferência, Cr(z); de centro em z e raio<br />

r > 0; simples e positivamente orientada,<br />

f 0 (z) = 1<br />

Z<br />

f(w)<br />

dw:<br />

2 i (w z) 2<br />

Cr(z)<br />

Então supondo que jf(z)j M; para qualquer z 2 C; obtemos que<br />

jf 0 (z)j<br />

1<br />

2<br />

M M<br />

2 r =<br />

r2 r :<br />

Da arbitrariedade de r > 0; concluímos que f 0 é identicamente nula em C: Logo f é<br />

constante em C:<br />

3.3 TEOREMA FUN<strong>DA</strong>MENTAL <strong>DA</strong> ÁLGEBRA<br />

Teorema 2 (Teorema Fundamental da Álgebra) Qualquer polinómio de grau superior<br />

a um tem pelo menos uma raiz.<br />

Dem.: Seja<br />

p(z) = anz n + ::: + a1z + a0<br />

um polinómio de grau n > 1 e suponhamos que p(z) não admite qualquer raiz. Nestas<br />

circunstâncias, temos que p(z) 6= 0; qualquer que seja z 2 C; e por conseguinte a função<br />

é uma função inteira.<br />

f (z) = 1<br />

p(z)<br />

3


De<br />

jp(z)j = z n an + an 1<br />

z<br />

= jzj n an + an 1<br />

z<br />

a1 a0<br />

+ ::: + +<br />

zn 1 zn + ::: + a1<br />

z<br />

n 1 + a0<br />

;<br />

zn podemos concluir que jp(z)j ! +1; quando jzj ! +1 e consequentemente que jf (z)j !<br />

0; quando jzj ! +1: Ou seja, existe R > 0 su…cientemente grande tal que jf (z)j < 1;<br />

quando jzj > R:<br />

Porém, sendo f inteira, em particular f é contínua em C; e como tal limitada na bola<br />

fechada<br />

BR = fz : jzj Rg :<br />

Em suma, f é uma função inteira limitada.<br />

Mas em tais circunstâncias, o teorema de Liouville, leva-nos a a…rmar que f é uma<br />

função constante. Mas isto implica que todos os coe…cientes do polinómio a; :::; a1; são<br />

nulos, e que portanto p(z) é um polinómio de grau zero, o que é absurdo.<br />

3.4 <strong>TEORIA</strong> <strong>DE</strong> <strong>CAUCHY</strong> GLOBAL<br />

A teoria de Cauchy permanece válida em condições mais gerais, como mostraremos<br />

a seguir com base no conceito de homologia, o qual é construído através do índice de uma<br />

linha em C, relativamente a um ponto w =2 im ,<br />

I( ; w) = 1<br />

Z<br />

2 i<br />

1<br />

z w dz:<br />

Duas linhas fechadas no aberto U; dizem-se homólogas em U sempre que, I( ; w) =<br />

I( ; w), para cada w =2 U: Se se reduzir a um ponto de U; será homóloga a em U<br />

se I( ; w) = 0, para cada w =2 U; caso em que se diz homóloga a um ponto de U; ou<br />

0-homóloga em U.<br />

O conceito de homologia pode ser estendido de uma maneira formal a conjuntos de<br />

linhas, com alguma vantagem prática.<br />

A um conjunto …nito de linhas = f 1; :::; ng chamaremos uma cadeia. Uma cadeia<br />

diz-se um ciclo se cada linha que compõe for fechada. Por im = im 1 [ ::: [ im n;<br />

designaremos a imagem da cadeia.<br />

Se f for uma função contínua em im , ao valor<br />

Z<br />

f =<br />

nX<br />

Z<br />

k=1<br />

chamaremos integral de f ao longo de :<br />

Por comprimento de entenderemos o valor<br />

c( ) =<br />

k<br />

f<br />

nX<br />

c( k):<br />

k=1<br />

4


Se for um ciclo, consideraremos o índice de em relação a um ponto w =2 im , como<br />

sendo o número inteiro<br />

nX<br />

I( ; w) = I( k; w):<br />

k=1<br />

Deste modo, diremos que dois ciclos 1 e 2 são homólogos no aberto U, se I( 1; w) =<br />

I( 2; w) para cada w =2 U. Um ciclo dir-se-á homólogo a um ponto de U ou 0-homólogo<br />

em U se I( ; w) = 0; para cada w =2 U:<br />

Posto isto, podemos enunciar a seguinte versão do teorema de Cauchy.<br />

Teorema 3 (Teorema de Cauchy Global) Seja f uma função holomorfa no aberto U<br />

e um ciclo 0-homólogo em U. Então:<br />

(i) f(z)I( ; z) = 1<br />

Z<br />

Z<br />

2 i<br />

f(w)<br />

dw; para cada z 2 Unim ;<br />

w z<br />

(ii) f = 0:<br />

Dem.: Comecemos por observar que (i) ) (ii): Na verdade, tomando um ponto<br />

z0 2 Unim ; através de F (z) = (z z0)f(z), constituímos uma função diferenciável em<br />

U e, por (i),<br />

Z<br />

1<br />

2 i<br />

f(z)dz = 1<br />

Z<br />

F (z)<br />

dz = F (z0)I( ; z0) = 0:<br />

2 i z z0<br />

1) Iniciemos a demonstração de (i) com a formulação da função auxiliar g : U U ! C,<br />

dada por<br />

8<br />

< f(w) f(z)<br />

; se w 6= z;<br />

g(w; z) =<br />

:<br />

w z<br />

f 0 (z); se w = z:<br />

Trata-se de uma função contínua em U U: Na verdade, a esse respeito, apenas os<br />

pontos do tipo (u; u); u 2 U, poderão merecer dúvidas. Ora, qualquer que seja " > 0;<br />

pela continuidade de f 0 ; existe > 0; tal que jz uj < ) jf 0 (z) f 0 (u)j < "; facto que<br />

mostra ser jg(w; z) g(u; u)j < "; sempre que jz uj < e w = z: Por outro lado, para<br />

z e w tais que 0 < jz uj < ; 0 < jw<br />

Z<br />

uj < ; de<br />

f(w) f(z) =<br />

obtemos,<br />

jg(w; z) g(u; u)j =<br />

f<br />

[z;w]<br />

0 (v)dv e f 0 (u) = 1<br />

w z<br />

Z<br />

1<br />

(f<br />

w z [z;w]<br />

0 (v) f 0 (u)) dv <<br />

Z<br />

[z;w]<br />

f 0 (u)dv:<br />

"<br />

c([z; w]) = ";<br />

jw zj<br />

o que prova a continuidade de g em U U:<br />

Deste facto resulta que, para cada w 2 U; …xo, a função de…nida por (z) = g(w; z); é<br />

diferenciável em U: Na verdade, possuirá, quando muito uma singularidade em z = w;<br />

mas por aplicação do teorema de Goursat, atendendo a que é contínua, teremos R<br />

0; para cada triângulo, ; contido em U; permitindo então o teorema de Morera concluir<br />

a diferenciabilidade de em U:<br />

5<br />

@<br />

=


2) Tomemos agora a função, de…nida em U, através de<br />

h(z) = 1<br />

Z<br />

g(w; z)dw:<br />

2 i<br />

Para z 2 Unim ; temos<br />

h(z) = 1<br />

Z<br />

f(w)<br />

dw f(z)I( ; z);<br />

2 i w z<br />

pelo que (i) equivale a mostrar que h é identicamente nula em Unim :<br />

A função h é contínua em U: Na verdade com z0 2 U; se B(z0; r) for uma bola fechada<br />

de centro em z0 e raio r > 0; contida em U; atendendo a que, pela sua continuidade, g é<br />

uniformemente contínua no limitado e fechado im B(z0; r); temos que para cada " > 0;<br />

existe 0 < r tal que<br />

para (w; z) 2 im B(z0; ). Como tal,<br />

jg(w; z) g(w; z0)j <<br />

jh(z) h(z0)j < 1<br />

2<br />

2 "<br />

c( ) ;<br />

2 "<br />

c( ) = ":<br />

c( )<br />

Além de contínua, h é holomorfa em U; já que é holomorfa em cada bola aberta contida<br />

em U: De facto, se for uma linha qualquer fechada contida nessa bola; temos<br />

Z<br />

h(z)dz = 1<br />

Z<br />

2 i<br />

Z<br />

g(w; z)dw dz = 1<br />

Z<br />

2 i<br />

Z<br />

g(w; z)dz dw;<br />

por aplicação do teorema de Fubini, atendendo à continuidade de g e a que os integrais<br />

em causa se resumem a integrais em intervalos fechados ou somas …nitas de integrais<br />

deste tipo. Mas como para cada w 2 U, a função (z) = g(w; z) é, como vimos, diferenciável<br />

em U; e a bola considerada é um conjunto convexo, temos pelo teorema de Cauchy<br />

que R h(z)dz = 0; o que permite concluir por aplicação do teorema de Morera que h é<br />

holomorfa em U:<br />

3) Seja agora<br />

W = fz 2 Cnim : I( ; z) = 0g :<br />

W é um conjunto aberto porque I( ; z) é uma função contínua na variável z que apenas<br />

toma valores inteiros e como é um ciclo homólogo a um ponto em U; temos que CnU<br />

W; o que implica, em particular que U [ W = C.<br />

Por outro lado, sabemos que a função<br />

F (z) = 1<br />

Z<br />

f(w)<br />

2 i w z dw<br />

é holomorfa em Cnim e, por conseguinte, também em W; além de que F (z) = h(z); se<br />

z 2 U \ W: Deste modo a função<br />

H(z) =<br />

h(z); se z 2 U;<br />

F (z); se z 2 W;<br />

6


encontra-se bem de…nida em todo o plano complexo e nessa qualidade é mesmo uma<br />

função inteira.<br />

4) Se mostrarmos que H(z) ! 0 quando jzj ! +1; provamos, em particular que H é<br />

limitada, e como tal constante, pelo teorema de Liouville. Da própria condição no in…nito<br />

resulta então que H é identicamente nula em C, o que prova ser h = 0 em U:<br />

Para tal, comecemos por notar que sendo im um conjunto limitado, qualquer ponto<br />

z 2 U com jzj su…cientemente grande se acha em W . Assim, para z tal que jzj > r; é<br />

H(z) = F (z) e, por conseguinte,<br />

Ora, se r > max<br />

w2im<br />

jH(z)j<br />

1<br />

2 max<br />

w2im<br />

jf(w)j max<br />

w2im<br />

1<br />

jw zj<br />

c( )<br />

jwj ; temos para w 2 im ; qualquer, jw zj jzj r; donde<br />

jH(z)j<br />

1<br />

2 max<br />

w2im jf(w)j<br />

1<br />

c( ):<br />

jzj r<br />

Logo fazendo jzj ! +1; obtemos H(z) ! 0; o que completa a demonstração do teorema.<br />

Observemos que este teorema é válido quando o ciclo é constituído por uma única<br />

linha fechada homóloga a um ponto em U. Nestas circunstâncias (ii) exprime um resultado<br />

mais geral que a versão indicada do teorema de Cauchy, o mesmo sucedendo a (i)<br />

relativamente à primeira fórmula integral de Cauchy.<br />

Notando que uma linha de Jordan, ; num aberto U; tal que int U; é homóloga a<br />

um ponto de U, pois CnU ext ; obtemos a seguinte versão do teorema de Cauchy para<br />

linhas de Jordan:<br />

Corolário 4 Se f é uma função holomorfa no aberto U e é uma linha de Jordan em U;<br />

cujo interior se encontra contido em U, então<br />

Z<br />

f = 0:<br />

Para a homologia entre ciclos temos:<br />

Corolário 5 Se f é uma função holomorfa no aberto U e 1 e 2 são dois ciclos homólogos<br />

em U então Z<br />

Z<br />

f(z)dz = f(z)dz:<br />

1<br />

Dem.: Se 1 = f 11; :::; 1ng e 2 = f 21; :::; 2ng ; basta tomar o ciclo<br />

= 11; :::; 1n; 21; :::; 2n ;<br />

o qual é homólogo a um ponto de U, pois I( ; z) = I( 1; z)<br />

z =2 U: Então pelo teorema vem<br />

I( 2; z) = 0; para cada<br />

Z<br />

Z Z<br />

f(z)dz = 0 = f(z)dz f(z)dz:<br />

1<br />

7<br />

2<br />

2


3.5 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS<br />

1. Sejam e duas funções harmónicas num conjunto aberto R 2 : Mostre que a<br />

função complexa de variável complexa dada por<br />

f (x + iy) = @<br />

@y<br />

é holomorfa em U = fx + iy : (x; y) 2 g :<br />

2. Seja<br />

u (x; y) = x 3<br />

@<br />

@x<br />

3xy 2<br />

@ @<br />

+ i +<br />

@x @y<br />

5y:<br />

a) Veri…que que u (x; y) é uma função harmónica em R 2 :<br />

b) Determine, v (x; y) ; a harmónica conjugada de u (x; y) ; tal que v (0; 0) = 0:<br />

3. Considere a função<br />

v (x; y) = e x2 y2 cos (2xy) :<br />

a) Veri…que que v (x; y) é harmónica em R 2 :<br />

b) Determine uma função inteira f; tal que f (0) = i e<br />

Im f (x + iy) = v (x; y) :<br />

4. Justi…que que em R 2 ; v (x; y) = 2xy é harmónica conjugada de<br />

u (x; y) = x 2<br />

5. Mostre que não existe uma função holomorfa, f; tal que Re f (x + iy) = y 4 + x 2 :<br />

6. Sabendo que num conjunto R 2 ; v é harmónica conjugada de u; determine uma<br />

harmónica conjugada de v em :<br />

7. Seja p (z) um polinómio de grau n: Para que valores de n é possível que 1=p (z) seja<br />

uma função inteira?<br />

8. Considere as seguintes linhas do plano complexo:<br />

y 2 :<br />

1 (t) = 1<br />

2 ei2t ; t 2 [0; 2 ] ;<br />

2 (t) = 3e i2t ; t 2 [0; 2 ] ;<br />

3 (t) = e i2t ; t 2 [0; 2 ] :<br />

Quais destas linhas são homólogas entre si nos seguintes conjuntos abertos do plano<br />

complexo:<br />

a) U = fz : jzj > 1=3g :<br />

b) U = fz : jz 2j > 1=2g \ fz : jz + 2j > 1=2g :<br />

8


9. Sejam z0; z1 2 C e r < jz1 z0j =2 e Cr (z0) ; Cr (z1) circunferências de raio r e<br />

centros em z0 e z1; respectivamente, simples e positivamente orientadas. Seja<br />

linha de Jordan contendo no seu interior Cr (z0) e Cr (z1) : Justi…que que:<br />

uma<br />

Z<br />

1<br />

dz =<br />

(z z0) (z z1)<br />

Z<br />

Cr(z0)<br />

1<br />

dz +<br />

(z z0) (z z1)<br />

Z<br />

Cr(z1)<br />

1<br />

(z z0) (z z1) dz:<br />

10. Seja f uma função holomorfa no conjunto aberto U = fz : jzj > 1g e designe-se<br />

por E a elipse simples e positivamente orientada dada pela equação x2 y2<br />

+ = 1:<br />

4 9<br />

Justi…que que Z<br />

Z<br />

f (z) f (z)<br />

dz = dz (n 2 Z)<br />

E zn Cr zn para qualquer circunferência, Cr; simples e positivamente orientada de centro na<br />

origem e raio r > 1:<br />

3.5.1 RESOLUÇÕES<br />

1. Como e são de classe C 2 ; as funções<br />

u (x; y) = @<br />

(x; y)<br />

@y<br />

@<br />

@ @<br />

(x; y) ; v (x; y) = (x; y) +<br />

@x @x @y<br />

(x; y)<br />

são ambas de classe C 1 :<br />

Além disso são veri…cadas as equações de Cauchy-Riemann. Na verdade de<br />

concluímos que<br />

@u<br />

@x<br />

@2<br />

(x; y) = (x; y)<br />

@y@x<br />

@2 (x; y) ;<br />

@x2 @v<br />

@2 @2<br />

(x; y) = (x; y) + (x; y)<br />

@y @x@y @y2 @u @v<br />

(x; y) = (x; y)<br />

@x @y<br />

atendendo à igualdade das derivadas cruzadas e a que, por se harmónica, se tem<br />

Analogamente, de<br />

resulta que<br />

@u<br />

@y<br />

@2 @2<br />

(x; y) = (x; y) :<br />

@y2 @x2 @2<br />

(x; y) = (x; y)<br />

@y2 @2 (x; y) ;<br />

@x@y<br />

@v<br />

@2 @2<br />

(x; y) = (x; y) + (x; y)<br />

@x @x2 @y@x<br />

@u @v<br />

(x; y) = (x; y) :<br />

@y @x<br />

Logo f é holomorfa em U = fx + iy : (x; y) 2 g :<br />

9


2.a) Veri…quemos que 8 (x; y) 2 R 2 se tem<br />

Ora por diferenciação obtemos<br />

Logo<br />

u (x; y) = 0:<br />

@u<br />

(x; y)<br />

@x<br />

= 3x2 3y 2 ;<br />

@u<br />

(x; y)<br />

@y<br />

= 6xy 5;<br />

u (x; y) = @2 u<br />

@x2 (x; y) + @2u @y<br />

2.b) Procuremos uma função inteira f tal que<br />

A função<br />

@ 2 u<br />

Re f (x + iy) = u (x; y) :<br />

v (x; y) = Im f (x + iy)<br />

(x; y) = 6x;<br />

@x2 @2u (x; y) = 6x:<br />

@y2 2 (x; y) = 6x 6x = 0:<br />

será então uma harmónica conjugada de u:<br />

Tendo a atenção a diferenciabilidade de f; as funções u e v relacionam-se entre si pelas<br />

equações de Cauchy-Riemann. Isto é, v será tal que<br />

Assim, temos que<br />

@v @u<br />

(x; y) = (x; y) e<br />

@y @x<br />

@v @u<br />

(x; y) =<br />

@x @y (x; y) ; 8 (x; y) 2 R2 :<br />

@v<br />

(x; y)<br />

@y<br />

= 3x2 3y 2 ;<br />

@v<br />

(x; y)<br />

@x<br />

= 6xy + 5:<br />

Então por primitivação em ordem a y e a x; respectivamente, concluímos que<br />

v (x; y) = 3x 2 y y 3 + c1 (x) ;<br />

v (x; y) = 3x 2 y + 5x + c2 (y)<br />

onde c1 (x) e c2 (y) designam funções exclusivamente dependentes das variáveis x e y;<br />

respectivamente. Por comparação podemos então concluir que<br />

v (x; y) = 3x 2 y + 5x y 3 + K;<br />

onde K é uma qualquer constante real.<br />

Da condição v (0; 0) = 0 podemos a…rmar que K = 0 e que portanto<br />

v (x; y) = 3x 2 y + 5x y 3 :<br />

3.a) Pelas regras de derivação temos que<br />

@v<br />

@x (x; y) = 2xex2 y 2<br />

cos (2xy) e x2 y 2<br />

2y sin (2xy) ;<br />

10


@2v @x2 (x; y) = 2ex2 y2 cos (2xy)+4x 2 e x2 y2 cos (2xy) 8xye x2 y2 sin (2xy) e x2 y2 4y 2 cos (2xy) ;<br />

@v<br />

@y (x; y) = 2yex2 y2 cos (2xy) e x2 y2 2x sin (2xy) ;<br />

@ 2 v<br />

@y 2 (x; y) = 2ex2 y 2<br />

cos (2xy)+4y 2 e x2 y 2<br />

cos (2xy)+8xye x2 y 2<br />

sin (2xy) e x2 y 2<br />

4x 2 cos (2xy) :<br />

Logo, na verdade<br />

v (x; y) = e x2 y2 cos (2xy) :<br />

v (x; y) = @2 v<br />

@x2 (x; y) + @2v @y<br />

3.b) Procuremos uma função u (x; y) tal que<br />

2 (x; y) = 0:<br />

f (x + iy) = u (x; y) + iv (x; y)<br />

seja uma função inteira.<br />

As equações de Cauchy-Riemann indicam-nos que u (x; y) deverá ser tal que<br />

Assim temos que<br />

@u @v<br />

(x; y) = (x; y) e<br />

@x @y<br />

@u @v<br />

(x; y) =<br />

@y @x (x; y) ; 8 (x; y) 2 R2 :<br />

@u<br />

@x (x; y) = 2yex2 y2 cos (2xy) 2xe x2 y2 sin (2xy) ;<br />

@u<br />

@y (x; y) = 2xcex2 y 2<br />

cos (2xy) + e x2 y 2<br />

2y sin (2xy) :<br />

Da primeira destas relações, observemos que pela regra de derivação do produto de<br />

funções<br />

o que implica que<br />

@u<br />

@x (x; y) = 2yex2 y 2<br />

cos (2xy) 2xe x2 y 2<br />

sin (2xy) ;<br />

= e x2 y2 @<br />

sin (2xy)<br />

@x<br />

= @<br />

@x<br />

e x2 y2 sin (2xy) ;<br />

@<br />

@x ex2 y 2<br />

u (x; y) = e x2 y2 sin (2xy) + c1 (y) ;<br />

sin (2xy) ;<br />

onde c1 (y) é uma qualquer função dependente apenas da variável y: Analogamente da<br />

segunda relação temos que<br />

@u<br />

@y (x; y) = 2xex2 y 2<br />

cos (2xy) + 2ye x2 y 2<br />

sin (2xy)<br />

= e x2 y2 @<br />

sin (2xy)<br />

@y<br />

= @<br />

@y<br />

e x2 y2 sin (2xy) ;<br />

11<br />

@<br />

@y ex2 y 2<br />

sin (2xy)


e que por conseguinte<br />

u (x; y) = e x2 y2 sin (2xy) + c2 (x) ;<br />

para uma qualquer função c2 (x) que apenas dependa da variável x:<br />

Comparando os dois resultados obtidos podemos então concluir que para uma qualquer<br />

constante real<br />

u (x; y) = e x2 y2 sin (2xy) + K;<br />

e que<br />

f (x + iy) = e x2 y2 sin (2xy) + K + ie x2 y2 cos (2xy) :<br />

Por …m a condição f (0) = i …ca equivalente a<br />

K + i = i;<br />

donde resulta que K = 0:<br />

Logo<br />

f (x + iy) = e x2 y 2<br />

sin (2xy) + ie x2 y 2<br />

cos (2xy) :<br />

4. Facilmente se observa que<br />

f (x + iy) = u (x; y) + iv (x; y)<br />

= x 2<br />

y 2 + i2xy<br />

= x 2 + i2xy + i 2 y 2<br />

= (x + iy) 2 :<br />

Como f (z) = z 2 é obviamente uma função holomorfa, de<br />

u (x; y) = Re f (x + iy) ; v (x; y) = Im f (x + iy)<br />

concluímos que u e v são de facto harmónicas conjugadas.<br />

5. Supondo que existia uma função holomorfa, f; tal que Re f (x + iy) = y 4 + x 2 :<br />

num certo conjunto U C; então a função (x; y) = y 4 + x 2 teria de ser necessariamente<br />

harmónica em = f(x; y) : x + iy 2 Ug :<br />

Ora por derivação temos que<br />

o que implica que<br />

@<br />

(x; y)<br />

@x<br />

= 2x;<br />

@<br />

@y (x; y) = 4y3 ;<br />

@ 2<br />

(x; y) = 2;<br />

@x2 @ 2<br />

@y 2 (x; y) = 12y2 ;<br />

(x; y) = @2 @2<br />

(x; y) +<br />

@x2 @y2 (x; y) = 12y2 + 2:<br />

Ora como (x; y) 6= 0; 8 (x; y) 2 R 2 ; temos que (x; y) não é harmónica em nenhum<br />

conjunto R 2 :<br />

Logo não existe nenhuma função holomorfa, f; tal que Re f (x + iy) = y 4 + x 2 :<br />

12


6. Se v é harmónica conjugada de u; num certo conjunto R 2 ; então existe uma<br />

função f; holomorfa em U = fx + iy : (x; y) 2 g ; tal que<br />

u (x; y) = Re f (x + iy) ; v (x; y) = Im f (x + iy) ; 8 (x; y) 2 :<br />

Assim, além de serem harmónicas temos que u; v 2 C 1 em e que são veri…cadas as<br />

equações de Cauchy-Riemann<br />

@u @v<br />

(x; y) = (x; y) e<br />

@x @y<br />

@u @v<br />

(x; y) = (x; y) ; 8 (x; y) 2 :<br />

@y @x<br />

O que se pretende é determinar uma função w 2 C 1 em para a qual exista uma<br />

função g holomorfa em U tal que<br />

v (x; y) = Re g (x + iy) ; w (x; y) = Im g (x + iy) ; 8 (x; y) 2 :<br />

Nestas condições devem igualmente ser satisfeitas as equações de Cauchy-Riemann:<br />

@v @w<br />

(x; y) = (x; y) e<br />

@x @y<br />

@v<br />

@y<br />

Assim w será tal que, para qualquer (x; y) 2 ;<br />

o que implica que<br />

@w<br />

(x; y)<br />

@y<br />

=<br />

@w<br />

(x; y)<br />

@x<br />

=<br />

@w<br />

(x; y) (x; y) = ; 8 (x; y) 2 :<br />

@x<br />

@u<br />

(x; y) ;<br />

@y<br />

@u<br />

(x; y) :<br />

@x<br />

w (x; y) = u (x; y) + K:<br />

Logo w = u é uma harmónica conjugada de v:<br />

7. Se n > 0 então pelo teorema fundamental da Álgebra, p (z) possui pelo menos uma<br />

raíz z0: Nessas circunstâncias não pode de…nir-se em z0 um valor para 1=p (z) ; já que<br />

1<br />

lim<br />

z!z0 p (z)<br />

= 1;<br />

facto que não permite que aquela função seja diferenciável em z0:<br />

Quando n = 0; tem-se p (z) = c e este entrave não acontece se for c 6= 0: Logo 1=p (z)<br />

será uma função inteira se e só se p (z) for um polinómio de grau zero não identicante<br />

nulo.<br />

8.a) Seja w =2 U; isto é w tal que jwj 1=3:<br />

Temos que<br />

I ( 1; w) = I ( 2; w) = 2; I ( 3; w) = 2:<br />

Logo em U; apenas 1 e 2 são homólogas.<br />

8.b) Seja w =2 U; isto é w tal que jw + 1j 1=2 ou jw 1j 1=2:<br />

Temos agora<br />

I ( 1; w) = 0; I ( 2; w) = 2; I ( 3; w) = 0:<br />

Logo em U; apenas 1 e 3 são homólogas.<br />

13


9. A função<br />

f (z) =<br />

1<br />

(z z0) (z z1)<br />

é holomorfa em U = Cn fz0; z1g : Os ciclos 1 = f g e 2 = fCr (z0) ; Cr (z1)g são homólogos<br />

pois<br />

e<br />

I ( 1; z0) = I ( ; z0) = 1;<br />

I ( 2; z0) = I (Cr (z0) ; z0) + I (Cr (z1) ; z0) = 1 + 0 = 1;<br />

I ( 1; z1) = I ( ; z1) = 1<br />

I ( 2; z1) = I (Cr (z0) ; z1) + I (Cr (z1) ; z1) = 0 + 1 = 1<br />

Como tal, pelo Corolário 5 temos<br />

Z<br />

(z<br />

1<br />

z0) (z<br />

Z<br />

dz =<br />

z1)<br />

ou seja,<br />

Z<br />

(z<br />

1<br />

z0) (z<br />

Z<br />

dz =<br />

z1)<br />

1<br />

Cr(z0)<br />

2<br />

1<br />

(z z0) (z z1) dz;<br />

Z<br />

1<br />

1<br />

dz +<br />

(z z0) (z z1) Cr(z1) (z z0) (z z1) dz:<br />

10. Para qualquer n 2 Z; a função f (z) =z n é holomorfa em U: Além disso E e Cr<br />

são linhas homólogas em U já que<br />

I (E; w) = I (Cr; w) = 1;<br />

para cada w =2 U: Logo pelo Corolário 5 temos que<br />

Z<br />

Z<br />

f (z)<br />

dz =<br />

zn f (z)<br />

dz:<br />

zn E<br />

14<br />

Cr

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