Números Complexos: uma proposta de abordagem concreta - CIMM

Números Complexos: uma proposta de abordagem concreta
Rafael Vassallo Neto
Centro de Ensino Superior de Valença (CESVA) - Universidade Aberta do Brasil
(UAB/LANTE)
Brasil
rafvassallo@hotmail.com
Resumo
Este minicurso é resultado da dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação Stricto Senso, em Educação Matemática, da Universidade Severino
Sombra (RJ) pelo autor. Este trabalho pretende apresentar uma proposta de material
didático para o ensino de números complexos, bem como, relacionar a sua
construção aos modelos das transformações geométricas no plano. É proposta uma
abordagem integradora dos conhecimentos internos da matemática utilizando os
números complexos como elemento de ligação. Outro objetivo é a construção de uma
alternativa para o conjunto dos números complexos que aproxime elementos
geométricos e algébricos. O Público alvo são professores e bacharéis em matemática,
alunos da graduação em matemática e outros interessados pelo tema. Nesta
abordagem serão desenvolvidas algumas construções geométricas históricas do
modelo teórico traçado pelas transformações geométricas utilizando o recurso
manipulativo do geoplano. Espera-se que os participantes possam adquirir uma nova
experiências ao tratar dos números complexos
Palavras chave: Números complexos; História da Matemática; Material Concreto;
Educação Matemática; Interligação de Saberes Internos da Matemática.
Introdução
Os dados colhidos na prova do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), os
apresentados pelo Índice de Desenvolvimento da Educação Básica (IDEB) e os dados do Sistema
Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB) sobre a educação brasileira indicam que há
dificuldade e desafios nos processos de ensino e de aprendizagem da Matemática. O ensino atual
de Matemática necessita ser revisto. Perdemos de vista os valores conceituais, sua origem e a
relevância de seu ensino.
A geometria pode desempenhar um privilegiado papel intermediário, tanto entre os
diferentes conteúdos matemáticos, como na apreensão e contato inicial com conceitos desta
disciplina:
[...] a geometria é uma intermediária natural, e possivelmente insubstituível,
entre as linguagens naturais e o formalismo matemático, onde cada objeto é
reduzido a um símbolo e o grupo das equivalências é reduzido à identidade do
símbolo escrito consigo mesmo. A partir deste ponto de vista, o pensamento
geométrico pode ser um estágio impossível de ser omitido no desenvolvimento
normal da atividade racional do homem. (THOM apud FIORENTINI,
MIGUEL, MIORIM, 1992, p. 51)
XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011.

Números Complexos: uma proposta de abordagem concreta
Neste trabalho proponho enfrentar os desafios do ensino e aprendizagem dos números
complexos. O objetivo geral é a apresentação de um material concreto e didático para o ensino
dos números complexos, relacionando-os à teoria das transformações geométricas. Desta forma,
espera-se construir uma alternativa mais integradora dos elementos algébricos e geométricos que
sustentam o conjunto C. Esta abordagem pretende aproximar os elementos algébricos e
geométricos e até encontrar soluções, mesmo que provisórias, que contribuam à construção de
uma aprendizagem reflexiva do referido conteúdo.
A aprendizagem matemática deve estar ligada à compreensão de significados, ou ainda, à
construção de relações entre os objetos matemáticos e as situações que envolvam problemas
reais. Temos que a busca de metodologias compatíveis com as necessidades sociais pressupõe
articulação entre vários conteúdos da matemática e de outras disciplinas. Logo, um problema não
pode ser visto isoladamente do seu contexto, uma vez que possui várias facetas e torna-se
complexo (MORIN, 2000, p.26).
Na busca de tais condições busca-se o contexto histórico como forma de revelar os
aspectos mais desafiadores da construção do conceito de número complexo. Fez-se um corte
histórico e epistemológico de forma a delimitar o campo de estudo a partir do século XVI. A
seguir discutimos, neste trabalho, apenas as descobertas mais importantes da pesquisa.
Baseando-se no plano de ARGAND(1806), GAUSS (1777) e nos objetos definidos por
BUÉE(1748), WALLIS (1616). WESSEL (1797), e MATHIAS (2008) podemos representar os
complexos como segmentos de reta orientados (vetores) de um plano cartesiano. Um bom espaço
a esta representação são as malhas quadrangulares ou o geoplano, que reproduzem o espaço
gráfico de ordem inteira, e torna concreto e manipulativo a região na qual se inserem os números
complexos. Assim, pretende-se desenvolver tal minicurso, baseando-se metodologicamente no
construtivismo e respeitando os aspectos históricos.
Este ambiente manipulativo tem importância na interligação de saberes visando à
aprendizagem sistematizada e contextualizada. Tais critérios são destacados no PCN de
matemática.
O critério central é o da contextualização e da interdisciplinaridade, ou seja, é o
potencial de um tema permitir conexões entre diversos conceitos matemáticos e
entre diferentes formas de pensamento matemático, ou, ainda, a relevância
cultural do tema, tanto no que diz respeito às suas aplicações dentro ou fora da
Matemática, como à sua importância histórica no desenvolvimento da própria
ciência. (BRASIL, 1998, p. 43)
A contextualização permite conectar saberes internos da matemática, bem como referenciar
formas de abordagem diferenciadas. Ela propicia o sentimento de segurança as suas capacidades
de realização matemática e o desenvolvimento de autonomia, gerando hábitos de investigação e
desprendimento para enfrentar e analisar novas situações.
Nesta abordagem, o professor deve entender que uma atividade pedagógica concreta não é
a principal determinante da aprendizagem. Temos que os encaminhamentos didáticos e
pedagógicos e o conhecimento teórico do que ensinamos, são fundamentais na utilização de
metodologias alternativas em vista a uma aprendizagem com significados.
Ensino e Aprendizagem de Números Complexos
XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011.
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Números Complexos: uma proposta de abordagem concreta
A complexidade do processo de ensino e aprendizagem dos números complexos pressupõe
a compreensão de que números são representações intelectuais; resultado da relação e interação
entre o sujeito e o meio. O objeto numérico é algo internalizado, incorporado e intelectualizado.
Na compreensão dos números complexos, torna-se necessário entender que a linguagem
comporta estruturas de seriação, classificação e de relação com o mundo e o todo complexo que
nos cerca. Podemos dizer que os estudos dos esquemas verbais demonstram a transmissão de
seriação e classificação.
Em resumo, desde o início, a linguagem favorece uma série de assimilações que conduzem
a análises de semelhanças e diferenças. Portanto, a linguagem é muito importante na elaboração
das estruturas lógicas e aritméticas.
A representação concreta dos números complexos contempla um mecanismo de mediação
do processo de interpretação, classificação e seriação dos conceitos e valores da realidade, dando
condições sistêmicas à organização e estruturação solidária das acomodações e assimilações
necessárias ao desenvolvimento cognitivo.
Assim uma abordagem que busque significados, torna a aprendizagem realmente efetiva e
eficaz, onde o professor leva em conta a forma como o aluno aprende e seus conceitos prévios. O
papel do professor é o de encorajador, o de dar consciência ao sujeito do seu processo de
aprendizagem e de suas experiências frente ao conhecimento em construção.
Para que os números complexos tornem-se mais concretos, precisaremos buscar
um novo conceito numérico, capaz de renovar a percepção que nossos alunos
têm das práticas matemáticas cotidianas. (MATHIAS, 2008, p. 83)
Sob este aspecto o professor é o mediador, não é uma entidade metafísica e autônoma. Em
seus atos está a ação do saber. Logo não é produtor de tudo que se passa, é um reflexo complexo
de conflitos nos vários níveis de análise.
Dinâmica do Minicurso
Em linhas gerais, o minicurso será dividido em dois momentos, nos dois casos apresenta-se
os aspectos históricos relacionados. No primeiro deles, o conjunto dos números reais será
reinterpretado de acordo com a proposta defendida na dissertação citada anteriormente. Em um
segundo momento, ao adotar o ponto de vista de um observador externo à reta, cada participante
construirá o conceito do conjunto dos números complexos e vivenciará os aspectos geométricos
associados às suas operações aritméticas. Esses dois momentos serão permeados por aspectos
históricos da construção do conceito de número complexo e de suas interpretações.
Inicialmente, através de atividades realizadas no geoplano ou na malha pontilhada, os
participantes vivenciarão as transformações geométricas (translação e homotetia) associadas a
cada número real, bem como terão a oportunidade de compreender e visualizar a noção de
sentido contextual. Poderão perceber a ausência de direção quando nos restringimos estritamente
ao universo da reta.
Em um segundo momento, assumindo a posição de um observador externo à reta,
ampliaremos as possibilidades de ações geométricas, já realizadas na reta e considerar a
realização de rotações. Neste momento, daremos significado aos novos objetos obtidos por
rotações realizadas a partir da reta real. Assim, imerso no plano buscamos identificar o
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Números Complexos: uma proposta de abordagem concreta
isomorfismo entre o conjunto dos números reais e os pontos da forma (x,0).
Abre-se espaço, finalmente, para a introdução dos números complexos e à extensão natural
das operações aritméticas realizadas na reta para neste novo cenário. Além disso, tanto a forma
trigonométrica, como sua consequente interpretação para o produto de dois números complexos,
surgem naturalmente no processo construtivo.
Nestas condições, os participantes do minicurso vivenciarão o significado da noção de
direção que se estabelece no plano, assim como as novas perspectivas de ações geométricas que
se abrem. Assim, o conjunto dos números complexos será construído.
No geoplano, os participantes terão a oportunidade de vivenciar concretamente os esforços,
historicamente empreendidos, no sentido de dar significado à raiz quadrada de -1. Serão
abordados aspectos como o da média geométrica bem como o da rotação sucessiva de um
quadrado de lado 1 construída por BUÉE. Por fim, haverá também a oportunidade de se
interpretar geometricamente a determinação de raízes dos polinômios.
Exemplificação das Atividades Propostas
As atividades propostas são divididas em três níveis: Atividades de iniciação e
compreensão; Atividade de aprofundamento e Atividade de interligação de saberes.
Atividades de iniciação e compreensão: São aquelas destinadas à formação de conceitos
básicos sobre números complexos, suas representações, operações e relações elementares. O
objetivo destas atividades é a representação variada destes números, seja por meio de par
ordenado, matriz ou vetor. Outro objetivo é a compreensão de i como operador geométrico e
compreender as potências de i. A seguir apresenta-se alguns exemplos e as reflexões esperadas:
Interprete geometricamente a ação de T(+,3) para o real 1.Solução:
Figura 1. Translação T(+, 3) 1
Interprete geometricamente a ação T(•, +3) para o real 1. Solução:
1 Todas as figuras apresentadas neste trabalho foram construídas com o software gratuito Régua
e Compasso (REC).
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Números Complexos: uma proposta de abordagem concreta
Figura 2. Homotetia T (•, + 3)
Para compreender a multiplicação -1 e o que interpretaremos por 1 será apresenta-se a
construção utilizada por ARGAND, WESSEL e GAUSS na interpretação geométrica dos
números complexos.
Figura 3. Construção histórica da 1
Sobre a construção histórica da soma de segmentos orientados e a multiplicação de
segmentos apresentamos abaixo algumas considerações. Temos uma representação da soma
geométrica de dois segmentos, tomados como uma linha cuja grandeza e direção eram
conhecidas. Esta construção foi realizada por Wessel;
Sabendo que os pares ordenados da forma (a,0), rotacionados de 90º, coincidirão com os
pontos da forma (0,a), represente os pontos de acordo com o exemplo. Lembre-se que a ação
0 1
geométrica de rotação de +90º = i = transformação geométrica produzida pela matriz .
1 0
Exemplo: (0, 2) = (2,0) rotacionado de +90º =
2 0 0 1
0 2
= 2i.
0 2 1 0 2 0
A realização desta atividade tem como objetivo principal a percepção das representações
em par ordenado e matricial de um número complexo. Estas representações possibilitam o
entendimento da aproximação algébrica e geométrica, promovida pela abordagem proposta.
A proposta desta atividade é compreender a matriz como um operador geométrico e
identificar, conforme exposto por Buée, a rotação de 90º ao significado do i. Esta atividade abre
espaço para a discussão das representações geométricas e algébricas, além de oferecer aos
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Números Complexos: uma proposta de abordagem concreta
números complexos um dinamismo próprio da manipulação de objetos concretos.
A atividade pressupõe um resgate do desenvolvimento dos números complexos e da
aproximação da geometria e da álgebra construída historicamente. Sendo assim a história não
aparece apenas como elemento motivador, mas como instrumento que subsidia a estratégia de
trabalho do professor.
0 1
Nesta atividade, a proposta é que percebamos a matriz = i como um operador que
1 0
rotaciona certo ponto de 90º e possamos nos utilizar desta ação geométrica para realizar as
multiplicações pedidas. Outro objetivo é perceber que operando quatro vezes consecutivas a
multiplicação, chegarmos ao ponto original, ou seja, definir as potências de i e perceber uma
repetição dos números 1, i, -1 e –i. Portanto, podemos obter a potência i n . Para isto, basta
calcular i r , em que r é o resto da divisão de n por quatro (4).
Atividades de aprofundamento: É aquelas destinadas a construção de conceitos mais
elaborados. As atividades propostas devem oportunizar reflexões teóricas, didáticas e
investigativas. Estas atividades visam à articulação dos números complexos com os conceitos
iniciais de geometria analítica. Nas atividades procuramos analisar as homotetias e as rotações.
Procuramos ainda estabelecer o diálogo, por meio das transformações geométricas no plano,
destes números, com a geometria plana e com a Álgebra. Vejamos:
Considerando os pontos A (-1, 1), B(-2, 5) e C(1, 3), construa a figura formada pelas retas
0 1
AB, AC e BC. Multiplique os pontos anteriores por e verifique o que acontece
1 0
geometricamente. O que você pode dizer sobre as transformações sofridas pela figura?
0 1
1
1
0 1
2 5
0 1
1 3
( 1,
1)
; ( 5,
2)
; ( 3,
1)
1 0 1 1
1 0 5 2 1 0 3 1
Figura 4. Homotetia e isomorfismo
Verifique que a matriz
0 1
= i promove uma rotação de 90º, nesta circunstância são
1 0
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Números Complexos: uma proposta de abordagem concreta
preservadas as dimensões e propriedades da figura inicial. Portanto as figuras são congruentes.
0 1
Podemos ainda perceber que o módulo de é igual ao do imaginário i e que o
1 0
determinante da matriz é, também, um (1). Portanto estabelecemos a relação entre estes
elementos mais claramente. Esta atividade proporciona o entendimento da transformação
realizada e do princípio da propriedade mantida.
0 2
O que aconteceria se multiplicarmos os vértices do triângulo original pela matriz ?
2 0
0 2 1
2 0 2 1 6 0 2 2 10
( 2,
2)
( 6,
2)
( 10,
4)
2 0 1 2 2 0 3 2 2 0 5 4
Verificamos que os pares ordenados foram duplicados e rotacionados de 90º. Cabe
ressaltar ainda, que se tratássemos dos vetores, de origem em (0,0) e fim nos pontos A, B e C, os
módulos dos vetores seriam duplicados e realizados uma rotação de 90º com cada um deles.
Logo a representação vetorial dos números complexos apareceria com mais naturalidade.
Podemos perceber que considerando a forma algébrica dos complexos temos a
multiplicação da parte real e imaginária por 2i obteremos as mesmas transformações. Vejamos:
(-1,1) = -1 + i → (-1 + i) x 2i = - 2i +2i 2 = - 2 - 2i = (-2, -2); (-2,5) = - 2 +5i → (-2 + 5i) x 2i = -
10 – 4i = (-10, -4); (1,3) = 1 + 3i → (1 + 3i) x 2i = - 6 + 2i = (-6, 2)
0 2
Daí: 2i = , isto estabelece ligações intrínsecas do processo. As representações,
2 0
matricial e algébrica, assumem a mesma identidade para o aprendiz.
0 2
Cabe também constatar que o determinante da matriz é igual a quatro (4). Daí,
2 0
podemos estabelecer a relação de semelhança entre os triângulos ABC e A'B’C’ e suas áreas.
Esta relação entre a matriz e a ação geométrica promove a aproximação entre a geometria e
álgebra.
Podemos ainda calcular as distâncias entre dois pontos dados, articulando com a geometria
analítica, por exemplo:
2 2
2
2
x x y y então: d 2 ( 6)
2 ( 2)
32 5,
656854
d 1 2 1 2
Outro caminho seria analisar a figura e estabelecer geometricamente à distância,
relacionando os complexos com a geometria analítica.
Atividade de interligação de saberes: São aquelas onde ocorre a ligação entre elementos
internos da matemática, promovendo a compreensão consistente do conjunto matemático. São
situações onde encontramos relações e diálogos entre alguns conteúdos matemáticos,
especialmente os algébricos e geométricos.
Nestas atividades procuramos realizar a análise algébrica e geométrica das operações
realizadas com complexos, de modo a compreender a transformação chamada de ampligiro.
Buscamos estabelecimento do significado do determinante de uma matriz e sua relação com a
área da figura formada por pontos do plano. Estas atividades visam conceder aos números
complexos o ‘status de número’ e revelar o seu potencial unificador de conteúdos matemáticos.
Vejamos alguns exemplos:
No geoplano construa um quadrado de lado 2u. Multiplique este quadrado pela matriz
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Números Complexos: uma proposta de abordagem concreta
0 3
. O que acontece com os lados do quadrado? E com a área? Qual o determinante da
3 0
matriz? Que relações você percebe?
0
3
0
3
Para a solução desta atividade tomamos o quadrado de lado u = 8 , logo temos:
3 3 3
0 1 9
3 3 15
0 5 9
0
5
9
3,
9
3
9i
; 9,
15
9
15i
3
3
0
0
3
15, 9
15
9i
; 9,
3
9
3i
3
3
0
No geoplano tomamos as representações em par ordenado e em vetor. Estas representações
visam à produção da análise de propriedades encontradas por múltiplos caminhos.
Geometricamente temos:
Figura 5. Homotetia e rotação
Os lados do quadrado são multiplicados por três (3) e rotacionados de 90º. Isto se deve à
0
matriz
3
(90º).
3 0
3
0 1
1
, isto revela a homotetia de razão três (3) e a rotação de noventa graus
0
Podemos, ainda, perceber a ação geométrica acima ao analisar os vetores e fazer as
relações com a geometria analítica. Tomemos para isto o vetor definido pelo ponto A.
Verificamos que seu módulo inicial foi triplicado e ao argumento inicial somado noventa graus
(90º). Na análise do par ordenado, percebemos uma multiplicação por três, mas com alteração do
sinal, da abscissa e da ordenada, essa alteração é facilmente justificada pela representação
1
3
15
9
3
;
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8

Números Complexos: uma proposta de abordagem concreta
geométrica.
Em relação a área do quadrado, verificamos que a mesma foi multiplicada por nove (9),
portanto podemos estabelecer, através dela, a relação com o determinante da matriz M =
0 3
det M 9 .
3 0
Podemos também estabelecer, de acordo com (MATHIAS, 2008), que a semelhança de
dois polígonos depende da transformação realizada. Chegamos à conclusão que dois polígonos
são semelhantes se: dado P1 e P2 polígonos, inseridos no plano complexo, se P2 = T(P1), onde T é
uma transformação que realiza translação, rotação ou ambas, o Polígono P2 e P1 são semelhantes.
Em especial, no caso de apenas a rotação ou translação teremos a congruência dos polígonos.
Descrevendo matematicamente, temos: A semelhança pode ser interpretada algebricamente
por:
T( z)
z1
z z2
, com z um número complexo, onde z1 promove o ampligiro e z2 a
T( z)
z z z
translação. A congruência pode ser interpretada, algebricamente, por:
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1
2
9
onde z1 é
um complexo unitário (com módulo igual a 1). Nesta situação haverá uma rotação, mas serão
preservados comprimentos e ângulos, logo o polígono obtido será congruente ao primeiro.
Podemos ainda representar os vetores por sua forma trigonométrica, Vejamos:
2
1
2
2
3
2 cos
e sen
130
2 2
2 2
4
2
1,
1
1 1 1 0
Daí temos: (-1, +1) =
3
3
2cos
isen =
4 4
2
0
3
0
cos
4
2 3
sen
4
3
sen
4 , onde
3
cos
4
2
0
promove a homotetia de razão
3
cos
2 e 4
3
sen
4
3
3
sen
4 promove a rotação de 4 = 135º.
3
cos
4
O mesmo procedimento deve ser tomado para os outros pontos.
Analisando geometricamente temos:
0
2

Números Complexos: uma proposta de abordagem concreta
Figura 6. Ampligiro
Após a representação construída verificamos que estamos encontrando uma transformação
geométrica no plano, que quando operada com um vetor qualquer w, do plano, o leva à origem.
Após algumas reflexões percebemos que o teorema fundamental da álgebra, que afirma que todo
polinômio de grau n possui n raízes complexas pode ser relido da seguinte maneira: existem n
caminhos geométricos, distintos ou não, que conduzem à origem.
As atividades anteriormente apresentadas dão aos números complexos uma possibilidade
de interpretação integrada dos conteúdos matemáticos.
Bem, necessitamos de trabalhos que façam a interligação de saberes internos da
matemática, algo que possa promover a percepção da Matemática como um todo interligado.
Partindo deste princípio investigue situações e explore as possibilidades de ligação entre a
geometria e a álgebra em sua sala de aula. Certamente você perceberá que as aulas se tornarão
mais dinâmicas e os resultados da aprendizagem mais fecundos.
Bibliografia e referências
Argand, Jean Robert. Essai sur une manière de reprèsenter lês quantités imaginaries dans lês constructions
géométriques. Disponível em: Acesso
em: 15 jul. 2009.
Brasil. Mec.. Parâmetros Curriculares para o Ensino Fundamental. Brasília, 1998.
Buée, M. Mémoiré sur lês quantités imaginaires Disponível em:
http://books.google.com.br/books?id=dgpGAAAAMAAJ&pg=PA23&lpg=PA23&dq=M%C3%A9
moire+sur+les+quantit%C3%A9s+imaginaires&source=bl&ots=Da4yiks3yh&sig=s00fv2l580lDS0
Apx_cfoC8wkWI&hl=pt-
BR&ei=LwhfStqHMtyCtgeojbnfAw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1. Acesso em:
16 jul. 2009.
Júnior, Ulício Pinto. A História dos Números Complexos: das quantidades sofisticadas de Cardano às
linhas orientadas de Argand. Rio de Janeiro 2009. Dissertação (Mestrado em Ensino de
Matemática) – Departamento de Matemática, Universidade Federal do Rio de Janeiro.
Mathias, Carlos Eduardo Motta. Novas Tecnologias no Ensino da Matemática. Rio de Janeiro: UFF /
CECIERJ, 2008.
Vassallo Neto, Rafael. A utilização de material manipulativo na construção do conceito de números
complexos. Dissertação (Mestrado Profissional em EducaçãoMatemática) – Universidade Severino
Sombra Vassouras/RJ: USS, 2010.
Wessel, Gaspar. Essai sur La représentation analytique de la direction. Host, Copenhague, 1897.
Disponível em: http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k99681g.image.r=wessel.f1.langPT acesso dia
15/07/2009.
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Números Complexos: uma proposta de abordagem concreta
Anexo 1: Informações gerais
Informação geral
Título da oficina: Números Complexos: uma proposta de abordagem concreta
Nome dos autores: Rafael Vassallo Neto
Instituição dos autores: Centro de Ensino Superior de Valença (CESVA/FAA) – Universidade Aberta do Brasil
(LANTE/UAB/UFF)
País ou países dos autores: Brasil
Números de horas mais convenientes 3 horas
Nível de escolarização para o qual será dirigido o Painel (Educação Infantil / Pre- Ensino secundário e superior
escolar, Anos iniciais do Ensino Fundamental / Primária, Anos finais do Ensino
Fundamental / Secundária, Ensino Superior, ou geral.
Equipamentos audiovisuais ou informáticos necessários (Projetor multimídia, TV Projetor multimídia
grande, laboratório de informática, conexão à internet)
Anexo 2: Guia de trabalho:
a) Atividades de iniciação e compreensão:
São aquelas destinadas à formação de conceitos básicos sobre números complexos, suas operações e
relações intermediárias.
1. Na malha pontilhada ou no geoplano marque os seguintes pontos: A(1,0), B(0,2) e C(4,3). Logo após
escreva-os de acordo com as representações matriciais tomadas pela homotetia definida pela matriz e o
ponto do plano.
0 1
2. O que acontece quando multiplicamos o ponto por ? Realize algumas experiências com os
1 0
pontos anteriores.
3. Determine os conjugados dos pontos A, B e C. Em seguida faça as representações geométricas, no
geoplano, dos pontos e seus respectivos conjugados. O que você pode observar?
4. Determine os simétricos em relação a origem dos pontos A, B e C. Em seguida os represente
0 1
geometricamente no geoplano. O que você pode observar? Qual a relação com a matriz ?
1 0
5. De acordo com os dados anteriores determine o resultado das operações, em par ordenado, pedidas
abaixo:
a) A + B b) A + C c) A – B d) A – C
6. Calcule as operações anteriores, utilizando a representação matricial, tomada pela homotetia com o
ponto do plano e construa sua representação geométrica. Analise os resultados obtidos.
7. Considerando anteriormente os resultados de B – C e C – B o que podemos dizer sobre os resultados
algébrico e geométrico?
b) Atividades de aprofundamento:
São aquelas destinadas a construção de conceitos mais elaborados. As atividades propostas devem
oportunizar reflexões teóricas, didáticas e investigativas.
1. Considerando os pontos A( -1, 1), B(-2, 5) e C(1, 3), construa a figura formada pelas retas AB, AC e
BC.
2. Multiplique os pontos anteriores por
pode dizer sobre as transformações sofridas pela figura?
0 1 e verifique o que acontece geometricamente. O que você
1
0
11
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Números Complexos: uma proposta de abordagem concreta
3. Determine o valor de cada lado da figura construída. Faça uma comparação com o módulo de um
número complexo.
4. Multiplique os pontos anteriores pela matriz
0 4 . Determine o que acontece com cada ponto. O que
4
0
acontece com a figura? Quais foram as propriedades mantidas? Quais as propriedades perdidas?
5. Calcule o determinante das matrizes
0 1
, 0 4 e analise a relação com a área de cada figura
1 0 4 0
formada.
c) Atividade de interligação de saberes
São aquelas onde ocorre a ligação entre elementos internos da matemática, promovendo a compreensão
consistente do conjunto matemático. São situações onde encontramos relações e diálogos entre alguns
conteúdos matemáticos, especialmente os algébricos e geométricos.
0 3
1. No geoplano construa um quadrado de lado 2u. Multiplique este quadrado pela matriz . O que
3 0
acontece com os lados do quadrado? E com a área? Qual o determinante da matriz? Que relações você
percebe?
2. De acordo com a questão anterior determine o que é semelhança? Construa no geoplano um quadrado
congruente ao primeiro. Qual a condição para que um novo quadrado seja congruente ao primeiro?
Expresse algebricamente a condição construída.
3. Considere os pontos, do quadrado, formados de acordo com a seguinte propriedade: dados (a,b),
vértice do quadrado, aplique aos mesmos a seguinte transformação: T(a, b) = (a + 2b, a + b). Construa a
figura formada. Compare o resultado com o da questão 3.
4. Considere o ponto A(2,0), represente-o na forma trigonométrica. O que acontece quando o
multiplicamos por (1 + i) 2 ?
2
5. Considere a seguinte equação do segundo grau. x 2x
2 0 . Determine suas raízes. Considere
que r é uma de suas raízes e determine o que acontece quando aplicamos a um dado vetor w a seguinte
operação? ( r 2r
2).
w
2
. Considere w = (1,0) e calcule o resultado. Construa uma representação
geométrica para situação descrita.
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XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011.