UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA BASEADA EM ... - CIMM

Outro exercício, o 4, pede que se calcule a integral da função de Dirichlet D(x), definida por
⎧1,
se x for racional
D(
x)
= ⎨
. A integral de Riemann desta função não existe. Trata-se, portanto, de
⎩0,
se x for irracional
uma situação-problema que foge ao senso comum e que não pode ser resolvida no GeoGebra. Esta
questão tem por objetivo desestruturar a construção da falsa concepção de que é sempre possível
calcular a integral definida de qualquer função.
Por fim, o exercício 5 envolve a demonstração do seguinte corolário do TFC (Lima, 2000), a
qual foi dividida em etapas que incluem o Teorema do Valor Médio (TVM) e o Teorema do
Confronto (também conhecido como Teorema do Sanduíche): Se f : [ a,
b]
→ R é contínua e se F´=
∫
b
f em [a,b], então f ( x)
dx = F(
b)
− F(
a)
.
a
As respostas desses exercícios devem ser entregues na seção seguinte.
Deve-se observar que, excetuando a função de Dirichlet D(x), as funções compreendidas nos
exercícios são contínuas nos intervalos considerados.
Quanto ao professor, nesta fase, ele deve fazer o papel de orientador, não se manifestar de
forma coletiva e interagir com o aluno, a propósito das questões, apenas quando solicitado. Pois, um
dos objetivos desta fase é observar se os estudantes são capazes, de forma autônoma, de usar os
conteúdos explorados na fase anterior para resolver problemas relacionados ao conceito de integral.
Portanto, na análise dos exercícios resolvidos pelos estudantes, pretende-se verificar, após uma só
aula introdutória sobre o conceito de integral:
a) Qual a associação que os estudantes fazem entre área entre curvas e integral;
b) Se os estudantes são capazes de perceber a necessidade de se calcular as somas superiores e as
somas inferiores;
c) Se eles conseguem concluir que uma função limitada e não negativa pode ser não integrável no
sentido de Riemann;
d) Se eles conseguem fazer a ligação entre a derivada e a integral por meio de um exercício dividido
em etapas que envolvem algumas propriedades das funções deriváveis, mais precisamente, um
corolário do TFC;
e) As diferenças no comportamento dos alunos entre a primeira fase, na qual o ensino/aprendizado é
mediado pelo professor usando quadro, pincel e slides, e a segunda fase, na qual o computador
passa a ser o recurso determinante no processo de ensino/aprendizagem.
4.3. Terceira Fase
Em um terceiro momento, os conhecimentos relacionados com a construção da integral que foram
parcialmente trabalhados em contextos particulares, nas sessões anteriores, são institucionalizados
com a participação dos alunos. Para o desenvolvimento desta fase, contando com o envolvimento dos
alunos, é fundamental que eles tenham resolvido a folha de exercícios da fase anterior e que
conteúdos trabalhados durante o ano, como limite, derivada, continuidade, o TVM, o Teorema do
Valor Extremo (TVE), já sejam, pelo menos, mobilizáveis 6 (Robert, 1998) por eles.
6 Um conteúdo é dito mobilizável se, quando ele é identificado, ele é utilizado pelo aluno mesmo que seja necessário
adaptá-lo a um contexto particular.
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