UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA BASEADA EM ... - CIMM

4.1. Primeira Fase
Na primeira fase, é realizado um apanhado histórico sobre as origens do conceito de integral sob uma
perspectiva de resolução de problemas de medida. O objetivo desta fase é introduzir o conceito de
integral partindo do “início”, de uma epistemologia histórica, até uma situação concreta da
Geometria Analítica que levou à procura por um método mais geral para o cálculo de área. Pretendese
fazer uma conexão entre o conceito de medida de comprimento, medida de regiões do plano
euclidiano e, finalmente, uma medida de regiões do plano cartesiano realizada por meio das somas de
Riemann.
Recorrendo a transparências previamente preparadas, sem deixar de lado o quadro branco e o
pincel, considera-se uma unidade de medida padronizada pelos alunos, questiona-se sobre a
construção da medida de um comprimento como múltiplo inteiro da unidade, um comprimento
fracionário, um irracional e sobre a impossibilidade de se construírem certas medidas.
Neste contexto, as medidas de comprimentos devem ser “expandidas” para as medidas de
regiões planas. Questionamentos sobre como medir regiões planas, quais as origens das fórmulas
conhecidas de medidas de área e sobre se mudanças nas unidades padronizadas de medidas
causariam mudanças nas fórmulas atuais são também discutidos. As definições básicas de partição,
refinamento de uma partição, somatório, soma inferior, soma superior são consideradas pelo
professor para, finalmente, definir-se a integral de Riemann como o limite das somas superiores, no
caso de existir este limite e de ser igual ao limite das somas inferiores, caso este exista (Lima, 2000).
Embora o ensino, nesta fase, seja mediado pelo professor com o uso de slides, quadro e pincel,
em todos os momentos, a participação do aluno deve ser incentivada por intermédio de
questionamentos, em especial contra-exemplos, levantados pelo professor ou pelo próprio aluno.
Em resumo, serão apresentadas e discutidas algumas noções envolvidas na construção do
conceito de integral, procurando-se fazer relações entre os conhecimentos prévios dos alunos, sobre a
noção de medida, e os conhecimentos a serem adquiridos, sobre a noção de integral.
4.2. Segunda Fase
Numa segunda fase, o aluno é confrontado com situações-problema bem contextualizadas. São
deixados inteiramente ao seu encargo o cálculo das somas de Riemann e a resposta a questões
elaboradas com o intuito de introduzir o conceito de integral de forma mais abrangente e menos
engessada.
Neste momento, a classe trabalha em um laboratório usando o programa GeoGebra,
apresentado brevemente na Seção 3.2. Cada estudante recebe uma folha com 5 exercícios que devem
ser resolvidos individualmente utilizando, quando possível, o GeoGebra. Os exercícios são descritos
suscintamente a seguir. Para maiores detalhes, ver Barroso, 2009.
O exercício 1 envolve o cálculo de um valor aproximado, por meio das somas inferiores e das
superiores, para a integral e para a área de uma região limitada por uma função não negativa definida
em um intervalo fechado; o exercício 2 pede para repetir o exercício 1, porém, a função envolvida é
não positiva no intervalo considerado; no exercício seguinte, 3, deve ser calculado um valor
aproximado para a integral e para a área de uma região limitada por uma função que assume tanto
valores negativos quanto positivos. Nos exercícios 2 e 3, respectivamente, o estudante é confrontado
com um problema no qual a integral é negativa e outro no qual ela é nula.
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