UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA BASEADA EM ... - CIMM

O conceito de integral, por exemplo, se constitui em um objeto matemático rico em
significados e aplicações, cuja origem remonta à época de Arquimedes, séc. III, a.C. (Shenitzer e
Steprans, 1994), mas cuja definição foi, historicamente, consolidada por Riemann no séc. XIX 1 . Na
verdade, o conceito de integral continua a se expandir, devido, principalmente, à necessidade teórica
de se elaborarem definições mais abrangentes, como a Integral de Lebesgue, no início do séc. XX, e
outros tipos de integrais.
O estudante brasileiro é levado a pensar que o seu primeiro contato com a noção de integral de
Riemann 2 se inicia na universidade. Porém, já na escola, o conceito de integral vem sendo construído
por ocasião, dentre outros, do ensino do conceito de medida de comprimentos.
Com a prática de ensino, constata-se a dificuldade dos estudantes de primeiro ano universitário
em compreender este conceito. No ano seguinte, a representação que muitos deles têm sobre a noção
de integral está associada, em geral, ao cálculo da integral indefinida de um polinômio. Ou seja, a
integral é reduzida a uma ferramenta para o cálculo de uma primitiva.
Apresenta-se, neste artigo, uma seqüência 3 de ensino para a introdução do conceito de integral
na qual ele é abordado de forma mais abrangente. A integral é considerada, em princípio, como uma
extensão da medida de regiões do plano euclidiano para a medida de regiões do plano cartesiano e
um caso particular do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) surge como solução de um problema
a ser resolvido pelos alunos.
A apresentação da seqüência e a sua aplicação foram divididas em sete seções: na Seção 2,
constam os objetivos e a contextualização da seqüência; a Seção 3 apresenta a metodologia de
aplicação da seqüência; na Seção 4, detalha-se a seqüência de ensino dividida em três fases; a Seção
5 descreve o cenário e o desenvolvimento de uma experimentação realizada em 2006 com estudantes
de primeiro ano; na Seção 6, é feita uma análise dos resultados e das fases da seqüência; a Seção 7
trata da reaplicação da sequência em 2008, a qual foi concebida após modificações oriundas da
análise da experimentação de 2006; finalmente, apresentam-se as conclusões e as perspectivas deste
trabalho na Seção 8.
2. Objetivos e contextualização
Em geral, livros-texto de Cálculo diferencial e Integral (CDI) adotados no Brasil (Finney, 2004;
Leithold, 1994) começam abordando a integral de uma função como uma anti-derivada. Logo em
seguida, algumas técnicas de integração são consideradas. O cálculo de uma área aparece em um
capítulo posterior como uma aplicação da integral e do TFC e sabe-se que esta ordem é contrária ao
que ocorreu historicamente.
O objetivo deste trabalho é propor uma seqüência de ensino para a introdução do conceito de
integral, fundamentada em sua origem histórica, vinculada à busca de solução para a medida de
regiões do plano. Questão, esta, crucial e que está na base do cálculo integral (Courant, 1969).
Pretende-se, desta maneira, associar o conceito de integral aos conhecimentos prévios dos alunos de
1 Riemann está representando aqui alguns de seus contemporâneos como Cauchy, Darboux, etc.
2 Considera-se, neste texto, a integral de Riemann como a integral definida de uma função real, limitada, em um intervalo
fechado.
3 Utiliza-se aqui o termo seqüência de maneira mais geral, não exatamente como uma das fases de uma engenharia
didática, como proposta por Artigue (1989).
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