UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA BASEADA EM ... - CIMM

UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA BASEADA EM
REALIMENTAÇÃO PARA O ENSINO DA INTEGRAL
Natália Maria Cordeiro Barroso
Universidade Federal do Ceará, UFC
Brasil
natalia@ufc.br
José Marques Soares
Universidade Federal do Ceará, UFC
Brasil
marques@ufc.br
João César Moura Mota
Universidade Federal do Ceará, UFC
Brasil
mota@gtel.ufc.br
Hermínio Borges Neto
Universidade Federal do Ceará, UFC
Brasil
herminio@multimeios.ufc.br
Luciana Lima
Universidade Federal do Ceará, UFC
Brasil
proluli@gmail.com
Resumo
A integral de Riemann se constitui em um objeto matemático rico em significados e
aplicações. Muitos estudantes, após estudá-la, associam-na, apenas, ao cálculo de
primitivas. Neste artigo, propõe-se uma seqüência didática para introduzir o seu ensino,
cuja elaboração considerou suas origens históricas relacionadas ao cálculo de medidas de
regiões planas. Pretende-se, assim, associar o conceito de integral aos conhecimentos
prévios dos alunos sobre medidas de segmentos e regiões planas. A seqüência foi dividida
em três fases: na primeira, apresentam-se as origens históricas da integral; na segunda, o
aluno é levado a se familiarizar com este conceito auxiliando-se em um programa
computacional; na terceira, conteúdos abordados nas fases anteriores são
institucionalizados. A seqüência foi aplicada a uma turma de estudantes de primeiro ano
de engenharia e a análise dos resultados é aqui apresentada. Com base nesta análise, a
sequência foi modificada e reaplicada a outra turma de primeiro ano de engenharia.
Palavras-chave: Seqüência Didática, Integral, instrumentação, realimentação.
1. Introdução
O conceito de um objeto matemático não se reduz a uma definição. Envolve todo um contexto de
situações criadoras de significados. Em muitos casos, a definição de uma noção só é consolidada
após séculos de trabalho intelectual realizado sobre tal noção.

O conceito de integral, por exemplo, se constitui em um objeto matemático rico em
significados e aplicações, cuja origem remonta à época de Arquimedes, séc. III, a.C. (Shenitzer e
Steprans, 1994), mas cuja definição foi, historicamente, consolidada por Riemann no séc. XIX 1 . Na
verdade, o conceito de integral continua a se expandir, devido, principalmente, à necessidade teórica
de se elaborarem definições mais abrangentes, como a Integral de Lebesgue, no início do séc. XX, e
outros tipos de integrais.
O estudante brasileiro é levado a pensar que o seu primeiro contato com a noção de integral de
Riemann 2 se inicia na universidade. Porém, já na escola, o conceito de integral vem sendo construído
por ocasião, dentre outros, do ensino do conceito de medida de comprimentos.
Com a prática de ensino, constata-se a dificuldade dos estudantes de primeiro ano universitário
em compreender este conceito. No ano seguinte, a representação que muitos deles têm sobre a noção
de integral está associada, em geral, ao cálculo da integral indefinida de um polinômio. Ou seja, a
integral é reduzida a uma ferramenta para o cálculo de uma primitiva.
Apresenta-se, neste artigo, uma seqüência 3 de ensino para a introdução do conceito de integral
na qual ele é abordado de forma mais abrangente. A integral é considerada, em princípio, como uma
extensão da medida de regiões do plano euclidiano para a medida de regiões do plano cartesiano e
um caso particular do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) surge como solução de um problema
a ser resolvido pelos alunos.
A apresentação da seqüência e a sua aplicação foram divididas em sete seções: na Seção 2,
constam os objetivos e a contextualização da seqüência; a Seção 3 apresenta a metodologia de
aplicação da seqüência; na Seção 4, detalha-se a seqüência de ensino dividida em três fases; a Seção
5 descreve o cenário e o desenvolvimento de uma experimentação realizada em 2006 com estudantes
de primeiro ano; na Seção 6, é feita uma análise dos resultados e das fases da seqüência; a Seção 7
trata da reaplicação da sequência em 2008, a qual foi concebida após modificações oriundas da
análise da experimentação de 2006; finalmente, apresentam-se as conclusões e as perspectivas deste
trabalho na Seção 8.
2. Objetivos e contextualização
Em geral, livros-texto de Cálculo diferencial e Integral (CDI) adotados no Brasil (Finney, 2004;
Leithold, 1994) começam abordando a integral de uma função como uma anti-derivada. Logo em
seguida, algumas técnicas de integração são consideradas. O cálculo de uma área aparece em um
capítulo posterior como uma aplicação da integral e do TFC e sabe-se que esta ordem é contrária ao
que ocorreu historicamente.
O objetivo deste trabalho é propor uma seqüência de ensino para a introdução do conceito de
integral, fundamentada em sua origem histórica, vinculada à busca de solução para a medida de
regiões do plano. Questão, esta, crucial e que está na base do cálculo integral (Courant, 1969).
Pretende-se, desta maneira, associar o conceito de integral aos conhecimentos prévios dos alunos de
1 Riemann está representando aqui alguns de seus contemporâneos como Cauchy, Darboux, etc.
2 Considera-se, neste texto, a integral de Riemann como a integral definida de uma função real, limitada, em um intervalo
fechado.
3 Utiliza-se aqui o termo seqüência de maneira mais geral, não exatamente como uma das fases de uma engenharia
didática, como proposta por Artigue (1989).
2

primeiro ano universitário sobre medidas de segmentos e de regiões planas. A seqüência prevê que
os alunos sejam confrontados com problemas de cálculo de um valor aproximado para a medida de
subconjuntos do plano cartesiano por meio das somas de Riemann. Eles devem verificar, também,
que pelas somas de Riemann não é possível medir todos os subconjuntos do plano, dentre outros
problemas citados em outras seções deste documento. Espera-se, assim, que os alunos adquiram
conhecimentos mais significativos sobre o conceito de integral e não o reconheçam apenas como
uma particularidade do TFC que, na verdade, só se aplica a um número restrito de casos.
A elaboração de uma seqüência de ensino de um determinado conteúdo é direcionada a um
público com características adequadas a sua aplicação. Para obter resultados favoráveis, é necessário
que sejam considerados os conhecimentos prévios dos estudantes a quem é destinada a seqüência e
estabelecer os elos entre estes conhecimentos e aqueles que se pretende ensinar (Novak e Cañas,
2006).
A seqüência proposta neste trabalho considera, inicialmente, o perfil dos estudantes do
primeiro ano do curso de graduação em Engenharia de Teleinformática da Universidade Federal do
Ceará, UFC, no período letivo de 2006.
Uma avaliação/diagnóstico, realizada no início de 2006, dos conhecimentos prévios destes
estudantes sobre o conceito de função e os conteúdos recém estudados na universidade foram
também fundamentais para a elaboração da seqüência.
Visando reaplicar a sequência aqui descrita, fez-se uma análise da experimentação de 2006 e,
após alterações significativas, ela foi reaplicada em 2008.
3. Metodologia
A metodologia utilizada neste trabalho é baseada na construção do conhecimento, motivando o aluno
a compreender o conceito de integral por meio da aplicação de uma seqüência de ensino dividida em
três fases. Na primeira fase, são apresentadas as origens históricas do conceito de integral com o
objetivo de despertar a curiosidade e o interesse dos alunos, levando-os a fazer conexões eventuais
com conhecimentos que foram adquiridos anteriormente, de maneira mecânica, como é o caso da
área do círculo. Na segunda fase, o aluno é levado, por intermédio de um programa de computador, a
melhor se familiarizar com o conceito de integral por meio da execução de um conjunto de
exercícios práticos, sem exposições predefinidas e demonstrações controladas pelo professor.
Somente na terceira fase, quando o aluno já possui noções sobre o conceito de integral de maneira
informal, é realizada uma formalização dos conteúdos trabalhados nas fases anteriores. A Figura 1
sintetiza estas três fases.
1a. fase:
Apresentação das
origens do conceito de
integral.
2a. fase:
Construção do
conceito por meio de
exercícios.
3a. fase:
Formalização do
conceito de integral.
Figura 1: As três fases da seqüência para a introdução do ensino de Integral.
3

3.1. Organização do Experimento e Recursos Utilizados
O experimento é organizado em três sessões 4 de 2 horas-aula cada, correspondentes às três fases da
seqüência. Na primeira, utilizam-se transparências eletrônicas, pincel e quadro convencionais. A
filmagem da primeira sessão permite uma melhor análise do comportamento dos alunos. Para os
exercícios da segunda sessão, utiliza-se um programa de computador, descrito na próxima subseção.
Realiza-se a terceira sessão em sala de aula, quando se espera que os alunos manifestem as
dificuldades encontradas na resolução dos exercícios da sessão anterior.
3.2. Exercícios com o apoio de um programa de computador
Vários estudos indicam que alguns estudantes podem melhorar o resultado de seu aprendizado por
meio de atividades realizadas em ambientes computacionais adaptados para este fim (Borges e
Santana, 2000; Artigue, 2002). A dinâmica da utilização de um programa de computador pode
motivar o estudante a experimentar, a procurar estratégias para a resolução de problemas de
matemática.
No caso específico do ensino/aprendizado do conceito de integral, o uso de uma ferramenta é
extremamente adequado, pois, em geral, ao introduzir este conceito, o professor (e não o aluno)
começa com quadro e pincel, sozinho, elaborando vários gráficos de uma mesma região limitada por
curvas e subdividida em retângulos. Como na criação de um desenho animado, ele representa a
mesma região preenchida por um maior número de retângulos e assim os gráficos vão se sucedendo,
enquanto a classe apenas acompanha a passagem do filme em câmera muito lenta. Poder-se-ia propor
ao professor fazer uma apresentação apenas por transparências para evitar este “desperdício” de
tempo e de trabalho manual. Porém, além de, neste caso, ele já levar as construções prontas, tudo
acontece tão rápido que o aluno não consegue acompanhar os detalhes de uma aula assim 5 .
Para a realização da segunda fase da seqüência, propõe-se o programa GeoGebra, um software
de Geometria Dinâmica, livre, que pode ser instalado em qualquer computador ou acessado a
qualquer momento pela Internet pelo endereço www.geogebra.at. Por apresentar uma interface
simples e de fácil utilização pelo usuário, o GeoGebra pode contribuir para facilitar o
desenvolvimento dos conhecimentos matemáticos de uma maneira mais uniforme por meio da
vinculação e da interligação entre os aspectos algébricos e geométricos utilizando, para isto, a
dinamicidade nas transformações gráficas realizadas pelo próprio usuário.
Usando o GeoGebra para resolver situações/problema propostas pelo professor para o
aprendizado do conceito de integral, o próprio estudante elabora gráficos, partições, realiza cálculos
de somas inferiores ou superiores, representa-as graficamente por meio do programa, enfim,
experimenta, investiga. O processo é dinâmico e o estudante não espera, ele faz acontecer.
Para se trabalhar com a noção de Integral, o GeoGebra oferece a possibilidade de visualização
dos retângulos relacionados com as somas superiores ou inferiores de uma função, além de efetuar o
cálculo destas somas. Para isso, dada uma função f(x) e informado o intervalo [a, b] de integração,
bem como o número n desejado de subdivisões deste intervalo, podem-se calcular a soma inferior e a
soma superior desta partição a partir do uso dos comandos específicos no campo de entrada de
dados: SomaInferior[f,a,b,n] e SomaSuperior[f,a,b,n]. Além disso, os retângulos relacionados são
4 A palavra sessão está associada ao número de duas horas-aula previsto para a aplicação de cada fase.
5 Comentário de um grupo de alunos que declararam preferir o quadro e o pincel às transparências.
4

epresentados graficamente. Apresenta-se na figura 2 uma ilustração, feita no GeoGebra, dos
conteúdos envolvidos no cálculo de uma soma inferior relativa à função f(x) = x 2 +1 no intervalo [0,4].
Figura 2: Soma Inferior da função f(x) = x 2 +1 no intervalo [0,4], subdividido
em oito subintervalos.
Pode-se também utilizar o comando Integral[f,a,b] diretamente no campo de entrada de dados
e visualizar os resultados algébricos e geométricos em suas respectivas janelas de apresentação.
3.3. Mecanismos de Avaliação do Aprendizado
Na segunda fase, o estudante recebe uma lista de problemas que devem ser resolvidos com a
utilização do GeoGebra. A solução da lista deve ser entregue ao professor na aula seguinte.
É feita uma análise dos resultados desta lista na qual se verifica se os estudantes são capazes de
adaptar seus conhecimentos antigos sobre função e aqueles adquiridos no primeiro semestre da
universidade sobre limite, continuidade e derivada para a resolução de problemas que envolvem as
noções exploradas na fase precedente.
Faz-se, também, um paralelo entre o ensino realizado no ano anterior para a introdução do
conceito de integral e o ensino realizado por meio da seqüência aqui proposta.
Entretanto, é importante que se tenha em mente que, como afirma Aline Robert (1992), não se
pode testar diretamente se a aplicação de um determinado ensino foi responsável pela evolução do
aprendizado. Dessa maneira, as análises dos resultados obtidos com o emprego da seqüência
proposta levam também em conta a experiência anterior do professor em sala de aula e a comparação
subjetiva com turmas precedentes do mesmo curso (em nosso caso, alunos do curso de Engenharia
de Teleinformática da Universidade Federal do Ceará) que passaram por preparação durante o ensino
médio e seleção no vestibular em condições muito semelhantes.
4. Seqüência de ensino para a introdução do conceito de
integral
Cada uma das fases da seqüência de ensino para a introdução do conceito de integral é apresentada
detalhadamente nas próximas subseções.
5

4.1. Primeira Fase
Na primeira fase, é realizado um apanhado histórico sobre as origens do conceito de integral sob uma
perspectiva de resolução de problemas de medida. O objetivo desta fase é introduzir o conceito de
integral partindo do “início”, de uma epistemologia histórica, até uma situação concreta da
Geometria Analítica que levou à procura por um método mais geral para o cálculo de área. Pretendese
fazer uma conexão entre o conceito de medida de comprimento, medida de regiões do plano
euclidiano e, finalmente, uma medida de regiões do plano cartesiano realizada por meio das somas de
Riemann.
Recorrendo a transparências previamente preparadas, sem deixar de lado o quadro branco e o
pincel, considera-se uma unidade de medida padronizada pelos alunos, questiona-se sobre a
construção da medida de um comprimento como múltiplo inteiro da unidade, um comprimento
fracionário, um irracional e sobre a impossibilidade de se construírem certas medidas.
Neste contexto, as medidas de comprimentos devem ser “expandidas” para as medidas de
regiões planas. Questionamentos sobre como medir regiões planas, quais as origens das fórmulas
conhecidas de medidas de área e sobre se mudanças nas unidades padronizadas de medidas
causariam mudanças nas fórmulas atuais são também discutidos. As definições básicas de partição,
refinamento de uma partição, somatório, soma inferior, soma superior são consideradas pelo
professor para, finalmente, definir-se a integral de Riemann como o limite das somas superiores, no
caso de existir este limite e de ser igual ao limite das somas inferiores, caso este exista (Lima, 2000).
Embora o ensino, nesta fase, seja mediado pelo professor com o uso de slides, quadro e pincel,
em todos os momentos, a participação do aluno deve ser incentivada por intermédio de
questionamentos, em especial contra-exemplos, levantados pelo professor ou pelo próprio aluno.
Em resumo, serão apresentadas e discutidas algumas noções envolvidas na construção do
conceito de integral, procurando-se fazer relações entre os conhecimentos prévios dos alunos, sobre a
noção de medida, e os conhecimentos a serem adquiridos, sobre a noção de integral.
4.2. Segunda Fase
Numa segunda fase, o aluno é confrontado com situações-problema bem contextualizadas. São
deixados inteiramente ao seu encargo o cálculo das somas de Riemann e a resposta a questões
elaboradas com o intuito de introduzir o conceito de integral de forma mais abrangente e menos
engessada.
Neste momento, a classe trabalha em um laboratório usando o programa GeoGebra,
apresentado brevemente na Seção 3.2. Cada estudante recebe uma folha com 5 exercícios que devem
ser resolvidos individualmente utilizando, quando possível, o GeoGebra. Os exercícios são descritos
suscintamente a seguir. Para maiores detalhes, ver Barroso, 2009.
O exercício 1 envolve o cálculo de um valor aproximado, por meio das somas inferiores e das
superiores, para a integral e para a área de uma região limitada por uma função não negativa definida
em um intervalo fechado; o exercício 2 pede para repetir o exercício 1, porém, a função envolvida é
não positiva no intervalo considerado; no exercício seguinte, 3, deve ser calculado um valor
aproximado para a integral e para a área de uma região limitada por uma função que assume tanto
valores negativos quanto positivos. Nos exercícios 2 e 3, respectivamente, o estudante é confrontado
com um problema no qual a integral é negativa e outro no qual ela é nula.
6

Outro exercício, o 4, pede que se calcule a integral da função de Dirichlet D(x), definida por
⎧1,
se x for racional
D(
x)
= ⎨
. A integral de Riemann desta função não existe. Trata-se, portanto, de
⎩0,
se x for irracional
uma situação-problema que foge ao senso comum e que não pode ser resolvida no GeoGebra. Esta
questão tem por objetivo desestruturar a construção da falsa concepção de que é sempre possível
calcular a integral definida de qualquer função.
Por fim, o exercício 5 envolve a demonstração do seguinte corolário do TFC (Lima, 2000), a
qual foi dividida em etapas que incluem o Teorema do Valor Médio (TVM) e o Teorema do
Confronto (também conhecido como Teorema do Sanduíche): Se f : [ a,
b]
→ R é contínua e se F´=
∫
b
f em [a,b], então f ( x)
dx = F(
b)
− F(
a)
.
a
As respostas desses exercícios devem ser entregues na seção seguinte.
Deve-se observar que, excetuando a função de Dirichlet D(x), as funções compreendidas nos
exercícios são contínuas nos intervalos considerados.
Quanto ao professor, nesta fase, ele deve fazer o papel de orientador, não se manifestar de
forma coletiva e interagir com o aluno, a propósito das questões, apenas quando solicitado. Pois, um
dos objetivos desta fase é observar se os estudantes são capazes, de forma autônoma, de usar os
conteúdos explorados na fase anterior para resolver problemas relacionados ao conceito de integral.
Portanto, na análise dos exercícios resolvidos pelos estudantes, pretende-se verificar, após uma só
aula introdutória sobre o conceito de integral:
a) Qual a associação que os estudantes fazem entre área entre curvas e integral;
b) Se os estudantes são capazes de perceber a necessidade de se calcular as somas superiores e as
somas inferiores;
c) Se eles conseguem concluir que uma função limitada e não negativa pode ser não integrável no
sentido de Riemann;
d) Se eles conseguem fazer a ligação entre a derivada e a integral por meio de um exercício dividido
em etapas que envolvem algumas propriedades das funções deriváveis, mais precisamente, um
corolário do TFC;
e) As diferenças no comportamento dos alunos entre a primeira fase, na qual o ensino/aprendizado é
mediado pelo professor usando quadro, pincel e slides, e a segunda fase, na qual o computador
passa a ser o recurso determinante no processo de ensino/aprendizagem.
4.3. Terceira Fase
Em um terceiro momento, os conhecimentos relacionados com a construção da integral que foram
parcialmente trabalhados em contextos particulares, nas sessões anteriores, são institucionalizados
com a participação dos alunos. Para o desenvolvimento desta fase, contando com o envolvimento dos
alunos, é fundamental que eles tenham resolvido a folha de exercícios da fase anterior e que
conteúdos trabalhados durante o ano, como limite, derivada, continuidade, o TVM, o Teorema do
Valor Extremo (TVE), já sejam, pelo menos, mobilizáveis 6 (Robert, 1998) por eles.
6 Um conteúdo é dito mobilizável se, quando ele é identificado, ele é utilizado pelo aluno mesmo que seja necessário
adaptá-lo a um contexto particular.
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5. Experimentação
5.1. Cenário
A seqüência foi aplicada no segundo semestre do período letivo de 2006, por ocasião da introdução
do conceito de Integral na disciplina de Cálculo Fundamental. Trinta estudantes regulares de
primeiro ano do curso de graduação em Engenharia de Teleinformática participaram da
experimentação.
É importante destacar que, na aula anterior à primeira sessão de aplicação da seqüência, o
professor da disciplina estabeleceu um contrato didático para as aulas seguintes, ou seja, um sistema
de obrigações recíprocas que determinam o que cada parte, o professor e os alunos, tem a
responsabilidade de cumprir, uma perante a outra (Brousseau, 1986). Portanto, os alunos não foram
tomados de surpresa em relação à metodologia proposta.
Três estudantes do Laboratório de Pesquisa Multimeios da UFC
(HTTP://www.multimeios.ufc.br) participaram das duas primeiras sessões para observar o
envolvimento dos estudantes na realização das tarefas, suas participações e o comportamento do
professor ao aplicar a seqüência.
5.2. Desenvolvimento da Experimentação e Observações
Na primeira sessão, o professor apresentou as origens históricas do conceito de integral partindo do
problema de se medir comprimentos até a definição de integral. Foram utilizados quadro, pincel e
transparências como materiais de apoio. A sessão foi filmada.
Os estudantes pareciam bastante concentrados. Mas, participaram timidamente apesar dos
incentivos do professor.
Discutiu-se sobre o problema aparentemente simples de se realizar medidas de comprimentos
até chegar a uma medida não construtível. No início da sessão, um aluno reclamou: “não acredito
que a gente vá voltar para o jardim”. Porém, ao se falar da medida de figuras planas, nenhum deles
soube dar uma justificativa para a área do quadrado de lado um ou para as fórmulas de outras figuras
planas. Alguém comentou: “foi a tia que disse que a fórmula era esta”.
Ainda na primeira sessão, ao se definir partição, soma superior e soma inferior para o cálculo
da área de uma região limitada por curvas, alguns alunos questionaram sobre a necessidade de se
fazer o cálculo dos dois tipos de somas (inferior e superior) se os limites de ambas “sempre”
convergiam para o mesmo valor. A resposta a esse questionamento foi deixada para a sessão
seguinte.
Registram-se algumas intervenções interessantes dos alunos: “a área do quadrado de lado 1 é
igual a 1 porque sempre foi assim e pronto”; “não sei pra que fazer o cálculo dos dois tipos de
somas se no final o resultado é o mesmo”; “porque a área de uma região formada pela união de
duas regiões disjuntas é igual à soma das áreas de cada uma delas?”; “a construção do conceito de
integral está atrelada ao desenvolvimento de vários ramos da matemática, como geometria, álgebra
e teoria dos números”.
Na segunda sessão, os estudantes realizaram atividades individuais utilizando o programa
GeoGebra. Foi deixado um prazo de aproximadamente 15 min para que eles se familiarizassem com
o programa por meio de uma lista de atividades direcionadas para este fim. Aparentemente, nenhum
estudante teve dificuldades em trabalhar com o GeoGebra.
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Eles receberam uma lista de problemas (já citados no item 3.2) cujas resoluções deveriam ser
entregues na sessão seguinte. Na lista, constam exercícios cujas soluções justificam o cálculo das
somas superiores e das somas inferiores. Como exemplo, cita-se o cálculo do valor aproximado de
uma integral com um erro dado.
O comportamento deles foi inteiramente diferente daquele passivo da sessão anterior.
Observou-se que eles tomaram inteiramente para si as atividades e poucas vezes recorreram ao
professor. Quanto ao professor, ele interagiu individualmente e não coletivamente, quando solicitado.
Porém, procurou não interferir com respostas diretas. Nesta sessão, foi permitido ao estudante
discutir com os colegas que estavam ao lado.
Na terceira sessão, os estudantes participaram bastante da institucionalização dos conceitos
trabalhados nas sessões anteriores, emitindo opiniões e levantando questões sobre os conteúdos que
não tinham sido compreendidos por eles. Sete estudantes não devolveram a lista de exercícios
resolvida. As observadoras não participaram da terceira sessão.
6. Análise dos resultados da lista de problemas e das sessões
Procurando responder às questões levantadas no item 3.2 de forma mais qualitativa, a análise
dos resultados indica que:
a) Para fazer uma relação entre o cálculo da área e a integral, tratando-se de funções que assumem
valores apenas não negativos ou apenas não positivos, mais da metade dos estudantes associou o
valor da área ao módulo da integral. Para uma função que assume tanto valores negativos quanto
positivos, apenas um estudante respondeu que seria necessário fazer o cálculo de duas integrais.
Alguns disseram que a integral é sempre igual à área e, assim, encontraram valores negativos
para a medida de uma região e nulos para a medida de regiões nas quais cabia um quadrado;
b) Valendo-se do cálculo das somas superiores e das somas inferiores, quase todos os estudantes
conseguiram apresentar um valor aproximado, inferior a um erro dado, para o cálculo de uma
integral relativa a uma função não negativa, da seguinte forma: realizaram cálculo de somas
superiores, Sn, e de somas inferiores, sn, para vários valores de n, até que a diferença entre as
somas fosse inferior ao erro dado. Escolheram um número entre Sn e sn para o valor da área
pedido.
Este problema justifica o cálculo de ambas as somas, superior e inferior. Contudo, ao se tratar de
funções não negativas ou que assumem valores negativos e positivos, pouquíssimos conseguiram
encontrar uma solução. Talvez isto represente um reflexo das dificuldades que alguns tiveram
para resolver o item anterior;
c) É surpreendente observar que mais da metade dos estudantes conseguiu concluir que a função
D(x) não é integrável no sentido de Riemann. Eles encontraram valores distintos para o limite das
somas superiores e para o limite das somas inferiores, o que os levou a pensar sobre a não
existência da integral. Pode-se imaginar que o alto índice de acerto neste exercício foi devido ao
fato de as somas superiores e as somas inferiores serem não negativas e constantes, o que facilita
o cálculo do limite. Ressalta-se que, inicialmente, alguns tentaram resolver esta questão no
GeoGebra. Não sendo possível, concluíram-na em casa;
d) Apenas um estudante resolveu o exercício sobre a demonstração de um corolário do TFC.
Porém, ele declarou não ter conseguido sozinho e ter feito uma pesquisa em casa, o que não é
grave. Outro estudante tentou, preencheu a metade das etapas, mas não chegou a nenhuma
conclusão;
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e) Quanto ao comportamento dos alunos, as diferenças entre as três sessões, que já foram apontadas
no item 5.2, podem ser explicadas. A passividade dos alunos na primeira sessão pode ter sido
devida: ao fato de eles desconhecerem o conteúdo que seria abordado; à presença de uma
filmadora e de pessoas estranhas à sala de aula. Eles mesmos declararam, após algumas aulas,
não se sentir à vontade com a presença das observadoras;
f) Quanto à segunda sessão, eles estavam conscientes de que a aula dependia inteiramente deles.
Logo, assumiram a resolução dos exercícios;
g) Na terceira sessão, no momento da institucionalização, houve uma grande participação.
Provavelmente, por eles já estarem mais familiarizados com os conteúdos novos e terem
resolvido uma lista de exercícios. Percebeu-se que eles estavam muito inseguros sobre a
resolução dos exercícios, logo, eles aproveitaram a sessão para tirar dúvidas.
As observadoras registraram a baixa participação dos alunos na primeira sessão e sugeriram
que o professor se apoiasse com mais freqüência em métodos de ensino, como a Seqüência Fedathi,
cuja idéia central de sua aplicação em sala de aula consiste em conduzir o aluno a vivenciar a
construção do conhecimento matemático. Informações detalhadas sobre a Seqüência Fedathi podem
ser encontradas em Borges Neto e Santana (2001). Elas consideraram, contudo, que a forma como
foram organizados os conteúdos na primeira sessão prendeu a atenção dos alunos.
7. Reaplicação em 2008
Uma análise minuciosa da sequência de 2006 revelou algumas dificuldades na compreensão do
conceito de integral devido a uma falta de domínio dos alunos relativamente aos demais conceitos de
CDI: limite, continuidade e derivada.
Com base nessa análise, reconstruiu-se, em 2007/2008, a sequência didática para o ensino de
integral em que modificações foram aportadas, não apenas à sequência, mas ao próprio ensino dos
demais conceitos de CDI, tais como: a adoção da definição formal de limite, a qual apresenta uma
visão mais geral do CDI, menos restrita a técnicas e métodos de resolução de problemas; dar um
maior destaque ao ensino do conceito de continuidade, o qual permite que algumas falsas concepções
relativas ao conceito de integral sejam contornadas, como, por exemplo, a idéia de que toda função
tem primitiva; fazer a abordagem inicial do conceito de derivada por meio de sua definição formal
como um limite, sendo estudadas suas diversas representações em um momento posterior.
A sequência foi reaplicada no segundo semestre de 2008 a uma turma de alunos do primeiro ano
do curso de Engenharia de Teleinformática, submetidos, durante todo o ano, a um ensino em que se
procurou entrelaçar as linguagens natural e formal, alternando-se entre significado e rigor,
considerados interdependentes e não dissociados. Neste sentido, tomou-se também como referência o
livro do Apostol (1967), o qual apresenta um tratamento mais rigoroso do CDI.
Tecem-se algumas considerações sobre esta reaplicação: aumentou-se o número se sessões de
três para quatro; com o objetivo de atingir um nível mais completo de conhecimento (Mach, 1908), a
primeira seção tratou de uma abordagem histórico-epistemológica mais abrangente da integral
envolvendo discussões de diversos problemas matemáticos que contribuíram para a evolução deste
conceito; novamente, optou-se pelo GeoGebra para uma melhor familiarização do aluno com as
novas noções, porém, os exercícios propostos foram modificados; para se ter um melhor controle
sobre a compreensão do aluno, em cada sessão, foi entregue um questionário relativo ao conteúdo
abordado, o qual era recebido pelo professor na sessão seguinte.
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A análise dos questionários mostrou, relativamente à aplicação de 2006, uma melhor
compreensão do aluno sobre os novos conceitos e uma maior facilidade em se expressar por meio de
uma linguagem um pouco mais rigorosa. Contudo, apesar de terem sido mescladas, durante todo o
ano, as linguagens intuitiva e formal, não se pôde alcançar o nível de generalidade desejado, o qual se
refere à definição da integral de funções descontínuas em pontos isolados. Para se atingir este
objetivo, seriam necessários conhecimentos de supremos, ínfimos e sequências numéricas. Tais
noções não puderam ser abordadas, devido ao pouco tempo de ensino para a grande quantidade de
conteúdo.
Portanto, uma análise da experimentação de 2008 aponta para a necessidade de modificações na
sequência visando outra aplicação, o que caracteriza o processo de realimentação.
A construção, a experimentação e uma análise da sequência de 2008 estão descritas de forma
mais minuciosa em Barroso, 2009.
8. Conclusão
Restringindo-se ao âmbito no qual foi aplicada a seqüência, pode-se concluir que os alunos têm
conhecimentos deficientes sobre conteúdos relativos à medida, o que pode contribuir para a
formação de pseudo-concepções relativas ao conceito de integral.
Antes da elaboração da seqüência, previsões sobre as possíveis dificuldades que os alunos
poderiam encontrar para compreender determinados conteúdos foram consideradas, tais como a
construção de uma medida fracionária ou irracional, a partir de uma unidade de medida padronizada.
Entretanto, a análise dos resultados da experimentação permitiu identificar que outros conteúdos,
considerados adquiridos, podiam-se constituir em obstáculos para a aprendizagem do conceito de
integral, como, por exemplo, a atribuição de um valor negativo para uma medida geométrica.
Com informações deste tipo, por um lado, o professor pode melhorar o seu ensino sobre
integral, organizando-o para que o aluno supere as dificuldades detectadas. Sob outra perspectiva, o
aluno, participando ativamente da seqüência, pode eventualmente corrigir erros conceituais dos
quais, talvez, não tenha ainda consciência.
Pela ótica do professor/pesquisador, é possível realimentar a seqüência e reaplicá-la,
enriquecendo-a a cada análise e contribuindo, assim, com um melhor ensino/aprendizagem deste
conceito.
Enfatiza-se que o objetivo da seqüência não é que o aluno adquira o conceito de integral em
apenas três ou quatro sessões, mas o de sedimentar conhecimentos introdutórios que poderão servir
de alicerce para o aprendizado de outros conceitos, seguramente mais complexos, que serão
explorados consecutivamente.
Do ponto de vista da dinâmica de sala de aula, a aplicação da seqüência aqui proposta mostrou
vantagens comparativas à praticada no ano anterior, 2005, para alunos do mesmo curso, na mesma
instituição e pelo mesmo professor. Na ocasião, após uma apresentação expositiva, com a elaboração
de vários gráficos, pediu-se aos alunos para calcular as somas de Riemann relativas a algumas
partições, tarefa à qual nenhum deles se dispôs a realizar, nem com o auxílio de máquinas de
calcular. Já na atual seqüência, onde os exercícios práticos fazem parte natural do desenrolar da aula,
os alunos realizaram, sem relutância, as atividades planejadas com o programa GeoGebra. Pode-se
supor que o fato de ter sido estabelecido, com antecedência, o papel de cada um na aplicação da
seqüência contribuiu para a mudança de postura dos alunos.
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Finalmente, observa-se que a análise da experimentação de 2006 conduziu a uma reaplicação
em 2008 com aportes significativos, descritos brevemente na seção anterior, mas ainda insuficientes.
Registra-se, desta forma, o processo de realimentação da sequência.
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