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A dialética presente nos manuscritos matemáticos de
Marx sobre o cálculo diferencial (CO)
Edson Benedito Antunes Ângelo da Silva 1
UFMT – Mestrado em Educação Matemática
edinhoangelo@hotmail.com
Resumo
Este trabalho está relacionado com nossa pesquisa de mestrado, que terá como objetivo a análise
da abordagem do Cálculo Integral e Diferencial. Neste artigo nos propusemos a analisar como a
dialética se faz presente nos estudos de Marx relacionados à matemática e apresentar a lei da
negação da negação como fonte de descobertas que podem auxiliar os estudantes e desmistificar
o processo ensino-aprendizagem da matemática. Apontamos algumas características do
materialismo histórico e dialético proposto por Marx. Elencamos alguns motivos que o teriam
levado a estudar matemática apontando algumas conexões com o seu contexto histórico, bem
como o que o levaram a deixar muitos dos seus manuscritos inacabados. Apresentamos algumas
das concordâncias e críticas de Marx sobre os feitos de grandes homens que ajudaram a
estruturar o Cálculo Diferencial. Nas considerações finais falamos sobre a relevância deste
estudo no resgate da história da matemática e de suas reformulações conceituais.
Palavras Chave: Dialética. Matemática. Manuscritos. Cálculo Diferencial. Cálculo Integral.
XIII CIAEM-IACME Recife, Brasil, 2011
Um breve histórico de Karl Marx
Karl Heinrich Marx nasceu em 5 de maio de 1818 em Trier (Tréves), na Renânia alemã e
faleceu em Londres no dia 14 de março de 1883. Estudou Direito em Bonn e Berlin onde durante
a sua estada (1837-1841) entra em contato com a filosofia de Hegel (1770-1831). Revoluciona o
pensamento filosófico ao fundar a doutrina marxista na década de 1840, notadamente pela
conotação política explícita nas suas ideias.
Apesar de suas raízes de visão de mundo estarem ligadas as idéias de Hegel e, de maneira
essencial, seu pondo de vista dialético da compreensão da realidade, não vinculou estas ideias ao
espírito absoluto hegeliano, mas as desenvolveu dentro da sua concepção materialista de mundo
na qual reconhece que a realidade existe independente da consciência.
[...] afirmando a necessidade de partir do real para se produzir conhecimento,
de se buscar a lei de transformação do fenômeno, de se buscar as relações e
conexões desse fenômeno com a totalidade que o torna concreto, reconhecendo
o momento de análise como o momento de abstração, o que o torna a
reinserção do fenômeno na realidade passo imprescindível do método; e,
finalmente, afirmando a necessidade de se reconhecer no sujeito produtor de
conhecimento a atividade presente em cada momento do método, que torna o
1 Mestrando do Programa de Pós Graduação em Educação – Linha de Pesquisa: Educação em Ciências e Educação
Matemática; Grupo de Pesquisa: Educação Matemática, da Universidade Federal de Mato Grosso – UFMT.
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conhecimento, a um só tempo, representativo do real e produto humano,
marcado pela atividade do homem. [...] Para apreender o real deve-se, assim,
partir dos fenômenos da realidade, dos fenômenos que existem e que são
externos ao homem, que são concretos, e não aquilo que existe na cabeça dos
homens, as suas idéias, os seus pensamentos: (ANDERY, 2001, p. 416).
O marxismo compreende três aspectos principais: o materialismo dialético, o
materialismo histórico e a economia política.
O materialismo dialético, base filosófica do marxismo, que contraria em absoluto as leis
da metafísica, busca explicações coerentes, lógicas e racionais para os fenômenos da natureza, da
sociedade e do pensamento.
[...] para constituir, no materialismo dialético, uma concepção científica da
realidade, enriquecida com a prática social da humanidade. [...] mas também
aspira ser a teoria orientadora da revolução do proletariado. [...] Ao invés de
um saber específico e limitado a determinado setor do conhecimento, o pensar
filosófico tem como propósito fundamental o estudo das leis mais gerais que
regem a natureza, a sociedade e o pensamento e, como a realidade objetiva, ser
reflete na consciência. Isto leva ao estudo da teoria do conhecimento e à
elaboração da lógica. Através do enfoque dialético da realidade, o materialismo
dialético mostra como se transforma a matéria e como se realiza a passagem
das formas inferiores às superiores. (TRIVIÑOS, 1987, p. 51)
É provável que uma das idéias mais originais do materialismo dialético defendido por
Marx tenha sido ressaltar, na teoria do conhecimento, a importância da prática social como
critério de verdade. Para ele, as verdades científicas significam níveis de conhecimentos
limitados pela história, não significando, entretanto, a incapacidade do ser humano chegar a deter
a verdade.
Seu devotado amigo Engels, define a dialética como “... a ciência das leis universais de
todo o movimento. Isto inclui o facto de tais leis poderem ser válidas tanto para o movimento na
natureza e na história humana como para o movimento do pensamento.” (MEW, apud GERDES,
2008, p. 85).
A partir desta concepção, Marx entende que a relevância da matemática consiste em
refletir os processos de mudança do mundo real, sendo ela “do núcleo mais profundo do processo
dialéctico, da essência da mudança.” (STRUIK apud GERDES, 2008, p. 82).
Assim, a descoberta reside na compreensão do processo dialético e este é caracterizado
pela negação da negação, onde a primeira negação exprime a compreensão do processo de
transformação e a segunda negação, conseqüência imediata da primeira serve para restabelecer
uma igualdade algébrica, em outras palavras a negação da negação é: “[...] Uma lei do
desenvolvimento da natureza, da história e do pensamento, extremamente geral e, por isso, de
grande impacto e importância; uma lei que é válida, ... no mundo dos animais e das plantas, na
geologia, na matemática, na história, na filosofia...” (MEW, apud GERDES, 2008, p. 91).
Mais adiante exemplificaremos melhor através da demonstração do processo de
diferenciação elaborado pelo Método de D’Alembert e Euler e pelo Método de Marx, que apesar
de ambos chegarem ao mesmo resultado, no método proposto por Marx a derivada é
desenvolvida sem o que ele chama de ‘escamoteação’.
O materialismo histórico, ciência filosófica do marxismo, estuda as leis sociológicas que
caracterizam a vida da sociedade, sua “evolução” histórica e a prática social dos homens no
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desenvolvimento da humanidade. A tese do materialismo histórico que Marx defende são as
formas assumidas pela sociedade ao longo de sua história que dependem das relações
econômicas predominantes em cada momento.
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Em sua vida produtiva em sociedade, os homens participam de determinadas
relações necessárias e independentes de sua vontade: relações de produção que
correspondem a certa fase de desenvolvimento de suas forças produtivas
materiais. Esse conjunto de relações de produção constitui a estrutura
econômica da sociedade, que é a base real sobre a qual se erige uma
superestrutura jurídica e política e à qual correspondem a determinadas formas
sociais de consciência [..,] portanto, o modo de produção de vida material em
geral condiciona o processo da vida social política e espiritual. (MARX apud
ABBAGNANO, 2000, p. 652).
Ao analisar com bastante profundidade os estudos matemáticos de Marx pode-se perceber
a estreita ligação da matemática com o desenvolvimento da sociedade, visto que foram as
necessidades humanas que levaram ao aperfeiçoamento desta ciência.
Um exemplo claro desta ligação e a invenção do Cálculo Infinitesimal que seguiu de
perto o nascimento do capitalismo. O grande renascimento do comércio e da indústria na Europa,
acompanhado pela ascensão da burguesia nos séculos XV, XVI e XVII exercia uma forte
influência sobre a matemática. Ao mesmo tempo, a concentração de trabalhadores em cidades
industriais crescentes provocou problemas de abastecimento em gêneros alimentícios e água,
entre vários outros problemas. A resolução destes problemas, a serviço do processo de produção
capitalista, também levou ao aprimoramento da matemática.
Até o início do século XVIII ainda era possível calcular integrais apoiando-se no teorema
de Newton-Leibniz, onde a integração era apenas o processo inverso da diferenciação.
Entretanto, no final do século XVIII o crescimento de máquinas à vapor, entre outros fatores
sociais e econômicos, exigiu a elaboração de métodos mais rigorosos, tornando-se necessário
fundamentar o conceito de integral, independente dos conceitos de derivada e de diferencial.
Uma breve síntese de parte dos manuscritos matemáticos de Karl Marx
Paulus Gerdes inicia sua obra, Os Manuscritos filosófico-matemáticos de Karl Marx
sobre o cálculo diferencial. Uma introdução (2008), discorrendo sobre o seu total
desconhecimento, até 1974, das contribuições que Marx poderia ter dado à matemática, em
especial, do aporte “[...] para a superação da crise nos fundamentos do cálculo diferencial [...]”
comumente associada a autores como Cauchy, Dedekind, Weierstrass, Cantor (GERDES, 2008,
p. 13), entre outros.
O autor relata sua perplexidade diante da obra Manuscritos Matemáticos de Marx. A
princípio hesita em acreditar tratar-se do mesmo filósofo fundador do materialismo histórico e
dialético (GERDES, 2008, p. 13), porém recorda-se do primeiro tomo de O Capital (1867), onde
havia sentido o raciocínio de Marx, e, após ler atenciosamente o prefácio de tal obra põe fim à
sua dúvida. Esse primeiro contato ocorreu no ano de 1974, aproximadamente cem anos depois os
manuscritos terem sidos elaborados.
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“Estes malditos erros de cálculo, que os leve consigo o diabo. Contudo, isto não importa.
Comecemos de novo” (MARX apud GERDES, 2008, p. 15). Esta frase dita por Marx ao elaborar
a teoria da mais-valia, clarifica os motivos que o levaram a re-estudar a matemática.
Em carta datada de 11 de janeiro de 1858, dirigida ao amigo Engels, Marx comenta que
“Na elaboração dos princípios econômicos, fiquei tão abominavelmente retido por erros de
cálculo, que, desesperado, comecei de novo a percorrer a álgebra” (MARX apud GERDES,
2008, p. 16). Após empreender seus estudos na álgebra, envereda-se no estudo da geometria
analítica e do cálculo diferencial.
Os sofrimentos na vida pessoal, aliados a sua intensa vida política, fizeram com que Marx
deixasse inacabados muitos dos seus trabalhos, dentre eles os seus manuscritos matemáticos, os
quais Engels desejava reunir e publicar mais tarde.
Porém era nestes momentos de sofrimentos é que Marx recorria ao estudo da matemática
para relaxar. Como escreve Franz Mehring (1846-1919) um dos primeiros biógrafos de Marx:
“Um outro campo ao qual Marx ia buscar descanso para o seu espírito, sobretudo nos dias de
grande dor espiritual ou física, era o da matemática, que a sobre ele uma influência
apaziguadora.” (MEHRING apud GERDES, 2008, p. 16).
Isto pode ser observado em outras cartas do filósofo enviadas ao amigo Engels. Uma
datada de 23 de novembro de 1860, ele comenta: “Escrever artigos é-me quase impossível. A
única ocupação que me pode ajudar a manter a necessária tranqüilidade mental, é a matemática”
(MARX apud GERDES, 2008, p. 16). Em outra escrita em 06 de junho de 1863, diz: “Nos
tempos livres dedico-me ao cálculo diferencial e integral. (...)” (MARX apud GERDES, 2008, p.
17), ou quando, em 20 de maio de 1865, destaca o papel desempenhado pela matemática na sua
distração, “Nas horas de intervalo – porque não se pode escrever constantemente – dedico-me ao
cálculo diferencial dy/dx. Não tenho paciência para ler qualquer outra coisa. Todas as outras
leituras fazem-me voltar à mesa para escrever.” (MARX apud GERDES, 2008, p. 17).
Nem mesmo a debilidade física ou mental, ocasionada pelos sofrimentos da vida pessoal,
fizeram com que Marx diminuísse o seu trabalho político e científico, bem como aos estudos da
matemática.
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... no fim da sua vida, Marx fez um estudo muito profundo da matemática
superior com um objectivo duplo: pôr as leis econômicas, enunciadas por ele
em O Capital, em forma algébrica e estudar, do ponto de vista da dialéctica,
alguns modos de raciocínio da análise matemática. (LABÉRENNE, apud
GERDES, 2008, p. 18).
Marx previa a “possibilidade de aplicando a matemática, elevar o nível científico da
economia política” (GERDES, 2008, p. 18) e, assim comenta em nova carta escrita a Engels,
[...] Ao analisar as crises, tentei algumas vezes calcular estes movimentos para
cima e para baixo, como curvas irregulares. E pensava poder determinar assim
matematicamente (ainda penso que seja possível com material suficientemente
peneirado) as leis principais das crises. (MARX apud GERDES, 2008, p. 19).
Vários manuscritos de Marx, entre eles os seus manuscritos matemáticos ficaram
inacabados em virtude do seu intenso trabalho político de organização e ainda por ser
extremamente exigente consigo mesmo como cientista, só publicando suas obras quando tinha
certeza da qualidade e profundeza da análise. Aliado a isso seus problemas financeiros e a perda
de três filhos e da esposa Jenny o fizeram interromper constantemente seus trabalhos.
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Depois da morte de Karl Marx, Engels pretendia publicar os seus manuscritos
matemáticos, porém com a sua morte estes valiosos documentos foram herdados pelos alemães,
que após submetê-los à análise de outros matemáticos não julgaram merecedores de atenção,
possivelmente porque não foram capazes de compreender o papel da dialética na matemática e
na natureza, razão pela qual sua publicação bastante tardia, tendo sido, os Manuscritos
Matemáticos, publicados parcialmente apenas em 1933, por ocasião do 50º aniversário da morte
de Marx, apesar que em 1931, o professor Ernst Colman (1893-1979), no Congresso
Internacional sobre a História da Ciência e da Tecnologia, realizado em Londres, ter divulgado a
lista dos escritos matemáticos de Karl Marx exaltando sua importância numa palestra ao afirmar:
“Os escritos de Marx sobre a matemática e a sua história, até agora não publicados... são de
tremenda importância metodológica.” (COLMAN apud GERDES, 2008, p. 22).
Os manuscritos matemáticos de Marx, objeto deste trabalho, variam desde apontamentos
provisórios até manuscritos completos, abrangem a resolução de equações algébricas de grau
superior, séries, geometria analítica e, a maior parte dedicada, à investigação do cálculo
diferencial, num total de 1000 páginas.
Conforme sugere o título deste ensaio, nos limitaremos a sintetizar dentro da obra Os
manuscritos matemáticos de Karl Marx apenas aos detalhes referentes a dialética presente nos
seus estudos matemáticos.
Convencido da aplicabilidade do Cálculo Diferencial e Integral para o desenvolvimento
de sua teoria, Marx procede uma análise crítica e profunda de um vasto material sobre o assunto
e completa duas pesquisas sobre o conceito de função derivada e sobre o diferencial. Porém,
durante o estudo dos manuais escritos sob a influência de grandes matemáticos dos séculos XVII
e XVIII, dentre eles, Newton, Leibniz, Euler, D’Alembert e Lagrange, Marx constatou algumas
interpretações muito diversas e contraditórias dos conceitos básicos, tais como, os de derivada e
de diferencial, a ponto de levantar indagações tais como: “[...] a derivada baseia-se no diferencial
ou vice-versa? O diferencial é pequeno e constante? Ou tende para zero? Ou é igual a zero?”
(MARX apud GERDES, 2008, p. 28).
Todavia, Marx não foi o primeiro a criticar a opinião de Newton e Leibniz. Mas ele se viu
obrigado a aprofundar a sua análise do Cálculo Diferencial para poder chegar a uma
fundamentação materialista do Cálculo Infinitesimal. Karl Marx achava
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[...] místico o cálculo diferencial de Newton e Leibniz por eles terem
introduzido metafisicamente os diferenciais dx e dy, ou seja, as grandezas
infinitamente pequenas, sem ter deixado claro o seu nascimento e
desenvolvimento, nem ter analisado a natureza das suas propriedades
específicas. (GERDES, 2008, p. 41-42).
Para Marx, um outro passo importante para o desenvolvimento dos métodos do cálculo
diferencial foi o estudo do cálculo diferencial do francês Jean D’Alembert (1717-1783) e do
suíço-russo Leonhard Euler (1707-1783), os quais nas palavras de Marx alcançaram “...um
progresso enorme ao afastar o cálculo diferencial do seu vestido místico.” (MARX apud
GERDES, 2008, p. 42). Marx chamava de racional o cálculo diferencial de D’Alembert e Euler,
pois chegavam aos mesmos resultados obtidos por Newton e Leibniz, só que desta vez por meio
de corretas operações matemáticas, sem escamoteação, daí chamá-la de racional.
Entretanto, na opinião de Marx, D’Alembert e Euler ainda não tinham apercebido da
profunda dialética do processo de diferenciação, pois apesar do método deles estar formalmente
correto, o resultado final já é conhecido, ou seja, já está presente antes da diferenciação ou antes
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do cálculo, sendo assim a sua dedução, na essência, idêntica a de Leibniz e Newton. Na metáfora
criada por Marx “... feto ao lado da mãe, antes de ter sido fecundado”? (MARX apud GERDES,
2008, p. 54)
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Marx rejeita tanto a opinião de Leibniz de dy/x ser o quociente de duas
‘grandezas infinitamente pequenas’, como também a idéia de Euler de
considerar dy/dx no sentido duma ‘razão geométrica de dois zeros.’ Nada de
misterioso: dy/dx é apenas uma notação simbólica para a derivada definitiva.
(GERDES, 2008, p. 60)
D’Alembert e Euler partem de x1 = x0 + ∆x. Ao partir da soma x0 + ∆x trata ∆x como uma
grandeza distinta e separada de x0. Por exemplo: seja y = x 2 + 4x, pelo método de D’Alembert e
Euler o cálculo do diferencial seria o seguinte:
y1 = f(x0 + ∆x) = (x0 + ∆x) 2 + 4(x0 + ∆x) =
= (x0) 2 + 2x0.∆x + (∆x) 2 + 4x0 + 4∆x =
= (x0) 2 + 4x0 + (2x0 + 4).∆x + (∆x) 2 .
∆y = y1 – y0 = {(x0) 2 + 4x0 + (2x0 + 4).∆x + (∆x) 2 } – {(x0) 2 + 4x0}
= (2x0 + 4).∆x + (∆x) 2 .
∆y = (2x0 + 4) + ∆x.
∆x
Pondo ∆x = 0, obtém-se 0 = 2x0 + 4, ou seja, dy = 2x0 + 4
0 dx
Observe que a derivada 2x0 + 4 aparece logo no início. Segundo Marx a soma com ∆x,
“Não reflecte o movimento” (GERDES, 2008, p. 56-57). E é esta falha que ele pretende
ultrapassar.
Aplicando-se no mesmo exemplo pelo Método proposto por Marx temos:
y1 = (x1) 2 + 4x1 e y0 = (x0) 2 + 4x0.
∆y = y1 – y0 = {(x1) 2 + 4x1} – {(x0) 2 + 4x0} =
= {(x1) 2 – (x0) 2 } + 4(x1 – x0) =
= (x1 + x0) (x1 – x0) + 4(x1 – x0) =
= (x1 – x0) (x1 + x0 + 4).
∆y = y1 – y0 = (x1 – x0) (x1 + x0 + 4) = x1 + x0 + 4.
∆x x1 – x0 x1 – x0
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Quando x1 = x0, obtemos 0 = x0 + x0 + 2x0 + 4, ou seja,
0
dy = 2x0 + 4.
dx
Neste segundo método observa-se um verdadeiro desenvolvimento da diferenciação, que
Marx explica como “um processo dialético, referindo, em particular à negação da negação”
(GERDES, 2008, p. 57)
Assim, quando x cresce ou decresce, torna-se diferente de x0. Em outras palavras
‘negamos’ x0, o que representa a primeira negação do processo dialético proposto por Marx. Ao
regressar x1 até x0, nega-se o fato de x1 ter sido diferente de x0, o que representa a segunda
negação, ou seja, a negação da primeira negação e obtém-se a derivada definitiva.
Após estudar o cálculo segundo D’Alembert e Euler, Marx passou a estudar o Cálculo
Diferencial que chamava de puramente algébrico de Joseph Lagrange (1736-1813), apesar desse
cálculo constituir-se num progresso, por ter se livrado “[...] de tudo que lhe parece
transcendência metafísica”, (MARX apud GERDES, 2008, p. 49) ele não prova que cada função
pode ser expandida na série de potências de Taylor. Assim para demonstrar que a soma existe,
precisa-se dum conceito de limite, exatamente um conceito não-algébrico que Lagrange queria
evitar.
Diante desses fatos, Marx busca dar uma melhor fundamentação ao Cálculo Diferencial,
aprofundando ao mesmo tempo, a sua crítica ao cálculo diferencial místico, racional e puramente
algébrico. Ele, ao final, explicará a diferenciação como um processo dialético, referindo-se è
negação da negação, esclarecendo: “Toda a dificuldade em compreender a operação de
diferenciação (tal como em perceber a negação da negação em geral) reside exactamente em ver
como ela se distingue dum procedimento tão simples e por isso leva a resultados reais.” (MARX
apud GERDES, 2008, p. 58).
O trabalho matemático de Marx, representado pelos manuscritos matemáticos acabados
ou inacabados, constitui uma parte integrante de toda a sua obra revolucionária. Ao estudar suas
investigações matemáticas, podemos aprofundar a compreensão do movimento dialético na
teoria matemática, das suas interconexões com o desenvolvimento da sociedade, podemos
desenvolver ideias sobre a dialética da aprendizagem da matemática criando melhores métodos
para popularizar o processo de ensino-aprendizagem desta importante disciplina.
Considerações finais
Estamos apenas no início de um longo e árduo trabalho que envolverá um estudo mais
aprofundado da teoria marxista, bem como da análise minuciosa dos manuscritos matemáticos de
Marx aliados ao re-estudo do Cálculo Diferencial e Integral. Será um grande desafio, pois como
afirma Vilar, “Jamais alguém se torna marxista lendo Marx ou pelo menos, apenas o lendo; mas
olhando em volta de si, seguindo o andamento dos debates, observando a realidade e julgando-a:
criticamente.” (VILAR, apud ANDERY, 1980, p. 419).
A relevância deste trabalho encontra-se na importância da história da matemática, como
alguns conceitos matemáticos, em especial do cálculo diferencial e integral, foram elaborados e
re-elaborados até chegarem ao que é apresentado nos dias atuais em livros didáticos que tratam
sobre o assunto.
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Imperioso se faz ressaltar que este trabalho não tem a pretensão de encerrar o estudo dos
manuscritos matemáticos de Karl Marx, pois acreditamos que este processo será contínuo até, no
mínimo, a elaboração da nossa dissertação de mestrado, onde buscaremos por intermédio da
profunda compreensão deste conteúdo, repensar os conteúdos ensinados nas aulas de Cálculo
destinados aos cursos de Administração, bem como as abordagens apresentadas sobre o mesmo
assunto em diversos livros didáticos. Concluindo “[...] gostaria de salientar que os Manuscritos
Matemáticos de Marx constituem uma fonte de inspiração para elevar a qualidade da educação
matemática, para poder tornar mais acessível a ciência matemática a todos os estudantes.”
(GERDES, 2008, p. 99).
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Bibliografia e referências
ABBAGNANO, Nicola. (2000). Dicionário de Filosofia.
ANDERY, Maria Amália et all. (2001). Para compreender a ciência: uma perspectiva
histórica.
BOYER, Carl B. (1996). História da Matemática.
FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. (2008). Mini Aurélio: o dicionário da língua
portuguesa.
GERDES, Paulus. (2008). Os manuscritos filosófico-matemáticos de Karl Marx sobre o
cálculo diferencial. Uma introdução.
HOUAISS, Antônio. VILLAR, Mauro de Salles. (2004). Dicionário Houaiss da língua
portuguesa.
TRIVIÑOS, Augusto Nibaldo Silva. (1987). Introdução à pesquisa em ciências sociais.
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