Teoremas Fundamentais dos Espaços de Banach

Multiplicando ambos os lados desta última desigualdade por λ > 0
λf( y
λ ) + λc0 = f(y) + λc0 = F (x) ≤ λp( y
λ + x0) = p(y + λx0) = p(x) .
(3) λ < 0. Novamente de (**), trocando y por y
λ vem
−p(− y
λ − x0) − f( y
) ≤ c0
λ
Multiplicando ambos os lados desta desigualdade por λ < 0
e o lema fica demonstrado.
(−λ)p(− y
λ − x0) = p(y + λx0) = p(x) ≥ λc0 + λf( y
λ ) = λc0 + f(y) = F (x)
Teorema 0.7 (Hahn-Banach) Sejam M subespaço vetorial do espaço vetorial real X, p um funcional
sublinear definido em X e f um funcional linear definido em M tal que
f(x) ≤ p(x) ∀x ∈ M .
Então existe um funcional linear F definido em X que extende f tal que
F (x) ≤ p(x) ∀x ∈ X .
Demonstração Seja S o conjunto de todos os funcionais lineares {f} que extendem f, além disso
f(x) ≤ p(x) ∀x ∈ D f
sendo o subespaço vetorial de X, D f ⊃ M, domínio de f . O conjunto S é não vazio, pois f ∈ S, uma
vez que f|M = f e por hipótese
f(x) ≤ p(x) ∀x ∈ Df = M .
A seguir é introduzida uma ordem em S da seguinte maneira, dados f 1, f 2 ∈ S,
f 1 ≺ f 2 ⇐⇒ D f 2 ⊃ D f 1
e f 2|D f1
= f 1 .
Temos que ≺ é de fato uma ordem, uma vez que, dados f 1, f 2, f 3 ∈ S, tem-se
(i) f 1 ≺ f 1 , pois Df ⊃ D
1 f e f 1|D = f
1 f1 1
(ii) se f 1 ≺ f 2 e f 2 ≺ f 3, segue que
então
isto é, f 1 ≺ f 3.
(iii) se f 1 ≺ f 2 e f 2 ≺ f 1, tem-se
D f 3 ⊃ D f 1
D f 2 ⊃ D f 1
D f 3 ⊃ D f 2
D f 2 ⊃ D f 1
e f 2|D f1
e f 3|D f2
e f 3|D f1 ⊂D f2
e f 2|D f1
8
= f 1
= f 2
= f 2|D f1
= f 1
= f 1