Teoremas Fundamentais dos Espaços de Banach

é contínua, segue a função composta
é contínua.
prY ◦ (prX) −1 = f
Observação Dados os espaços de Banach X e Y , para demonstrar que o gráfico Gf da aplicação linear
f : X → Y é fechado, é suficiente verificar que, dada uma sequência {xn} ∈ X tal que
xn → 0 e f(xn) → y
então y = 0. De fato:
Como Gf ⊂ Gf , resta demonstrar que Gf ⊂ Gf . Assim, dado (α, β) ∈ Gf existe uma sequência
(zn, f(zn)) ∈ Gf tal que (zn, f(zn)) → (α, β), então
e
zn − α → 0
f(zn − α) = f(zn) − f(α) → β − f(α)
Por hipótese temos que β − f(α) = 0, logo β = f(α), ou seja, (α, β) ∈ Gf e então Gf ⊂ Gf .
Antes de enunciar o Teorema de Hahn-Banach, considere o seguinte lema:
Definição Seja X um espaço vetorial e p : X → R uma aplicação satisfazendo as seguintes propriedades
(i) para todo x, y ∈ X, p(x + y) ≤ p(x) + p(y)
(ii) para o escalar λ ≥ 0 e x ∈ X, p(λx) = λp(x)
Diz-se então que p é um funcional sublinear.
Lema 0.2 Seja S um subespaço próprio do espaço vetorial real X (isto é, S = {0} e S = X) e seja
x0 ∈ X − S. Considere o subespaço gerado
N = [S ∪ {x0}]
e suponha que f seja um funcional linear definido em S e p seja um funcional sublinear definido em X,
além disso
f(x) ≤ p(x) ∀x ∈ S .
Então f pode ser extendido a um funcional linear F (F |S = f) definido em N tal que
F (x) ≤ p(x) ∀x ∈ N .
Demonstração Como f(x) ≤ p(x) em S, dados x1, x2 ∈ S
Logo
f(x1 − x2) = f(x1) − f(x2) ≤ p(x1 − x2) = p(x1 + x0 − x2 − x0) ≤ p(x1 + x0) + p(−x2 − x0) .
−p(−x2 − x0) − f(x2) ≤ p(x1 + x0) − f(x1) . (∗)
Supondo que x1 esteja fixado e x2 seja arbitrário, segue que o conjunto de números reais
{−p(−x2 − x0) − f(x2) / x2 ∈ S}
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