Teoremas Fundamentais dos Espaços de Banach

Afirmamos que A = {x : q(x) < 1}. De fato, suponhamos por absurdo que q(x) ≥ 1, assim, se
q(x) = inf{λ ≥ 0 : x ∈ λA} = λ∗ > 1
segue que, para a sequência {λn} tal que λn ≥ λ∗ e λn → λ∗ > 1, tem-se x ∈ λnA e então x ∈ A. Por
outro lado, se
q(x) = inf{λ ≥ 0 : x ∈ λA} = 1
para toda sequência {λn}, com λn > 1 tal que λn → 1, segue que x ∈ λnA, e como A é aberto,
x ∈ λnA = λnint(A) e então x ∈ fr(A) e como A é aberto nenhum elemento da fronteira de A pertence
a A, logo, x ∈ A. Portanto A = {x : q(x) < 1}.
Observação Se A e B são conjuntos convexos então
A − B = {a − b : a ∈ A , b ∈ B}
é um conjunto convexo. De fato, dados α ∈ A − B e β ∈ A − B segue que α = a1 − b1 e β = a2 − b2,
com a1, a2 ∈ A e b1, b2 ∈ B. Então, sendo A e B conjuntos convexos, dado λ ∈ [0, 1] segue que
λa1 + (1 − λ)a2 ∈ A e λb1 + (1 − λ)b2 ∈ B. Portanto
λα + (1 − λ)β = λ(a1 − b1) + (1 − λ)(a2 − b2) =
λa1 + (1 − λ)a2 −
λb1 + (1 − λ)b2 ∈ A − B
ou seja, A − B é um conjunto convexo.
Observação Se A é um conjunto aberto e b ∈ B então A − b é aberto. De fato, sendo A aberto, dado
x0 ∈ A existe δ > 0 tal que Bδ(x0) ⊂ A, logo
B ∗ δ (x0 − b) = {x − b ∈ A − b : x − b − (x0 − b) < δ} =
{x − b : x − x0 < δ} = Bδ(x0) − b ⊂ A − b
e portanto A − b é aberto. Analogamente, b − A é aberto.
Teorema 0.10 Se X é um espaço vetorial real normado e A ⊂ X é um conjunto não vazio aberto e
convexo tal que 0 ∈ A, então existe M ⊂ X de modo que M ∩ A = ∅.
Demonstração Seja x0 ∈ A e H = x0 − A = {x0 − a : a ∈ A} , então, como foi visto na observação
anterior H é convexo, além disso H é aberto e 0 ∈ H, pois x0 ∈ A e x0 − x0 = 0 ∈ H. Da proposição
anterior existe um funcional sublinear não negativo q : X → R tal que H = {x : q(x) < 1}. Como 0 ∈ A
e x0 = x0 − 0, segue que x0 ∈ H e então q(x0) ≥ 1.
Seja Y = {βx0 : β ∈ R} e defina f : Y → R como f(βx0) = βq(x0). Se β ≥ 0 segue que f(βx0) =
βq(x0) = q(βx0), agora, se β < 0, tem-se f(βx0) = βq(x0) ≤ β < 0 ≤ q(βx0). Então, f(x) ≤ q(x) para
todo x ∈ Y e do Teorema de Hahn-Banach existe um funcional linear F : X → R tal que F |Y = f e
F (x) ≤ q(x) para todo x ∈ X. Seja M o núcleo do funcional F , ou seja, M = kerF .
Dessa forma, se x ∈ A segue que x0 − x ∈ H e então F (x0) − F (x) = F (x0 − x) ≤ q(x0 − x) < 1.
Assim, F (x) > F (x0) − 1 = q(x0) − 1 ≥ 0 para todo x ∈ A, logo, F (x) > 0 ∀x ∈ A e portanto
KerF ∩ A = M ∩ A = ∅.
Definição Diz-se que os conjuntos convexos A, B ⊂ X são separados pelo funcional linear f se existe
β ∈ R tal que
f(a) ≤ β ≤ f(b) ∀a ∈ A e ∀b ∈ B.
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