Funções reais de variável rea
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1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 1.1. Funções trigonométricas inversas 1.1.1. As funções arco-seno e arco-cosseno Como as funções seno e cosseno não são injectivas em IR, só poderemos definir as suas funções inversas, se considerarmos uma restrição injectiva dessas funções. Definição 1.1: Chama-se restrição principal da função seno, à ⎡ π π ⎤ restrição do seno ao intervalo ⎢ − , ⎣ 2 2 ⎥ , isto é, ⎦ ⎡ π π ⎤ g : ⎢ − , → [ −1, 1] ⎣ 2 2 ⎥ ⎦ . x senx Definição 1.2: Chama-se arco-seno à função inversa de g, definida por: arcsen : [ −1. 1] x ⎡ π π ⎤ → ⎢ − , ⎣ 2 2 ⎥ ⎦ . arcsen x 1
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1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL<br />
1.1. <strong>Funções</strong> trigonométricas inversas<br />
1.1.1. As funções arco-seno e arco-cosseno<br />
Como as funções seno e cosseno não são injectivas em IR, só<br />
po<strong>de</strong>remos <strong>de</strong>finir as suas funções inversas, se consi<strong>de</strong>rarmos<br />
uma restrição injectiva <strong>de</strong>ssas funções.<br />
Definição 1.1: Chama-se restrição principal da função seno, à<br />
⎡ π π ⎤<br />
restrição do seno ao intervalo<br />
⎢<br />
− ,<br />
⎣ 2 2 ⎥<br />
, isto é,<br />
⎦<br />
⎡ π π ⎤<br />
g :<br />
⎢<br />
− , → [ −1,<br />
1]<br />
⎣ 2 2 ⎥<br />
⎦ .<br />
x senx<br />
Definição 1.2: Chama-se arco-seno à função inversa <strong>de</strong> g,<br />
<strong>de</strong>finida por:<br />
arcsen :<br />
[ −1.<br />
1]<br />
x<br />
⎡ π π ⎤<br />
→<br />
⎢<br />
− ,<br />
⎣ 2 2 ⎥<br />
⎦ .<br />
arcsen x<br />
1
Pela <strong>de</strong>finição da função inversa, temos<br />
⎪<br />
⎧ sen y = x<br />
y = arcsen x ⇔ ⎨ π π .<br />
⎪⎩<br />
− ≤ y ≤<br />
2 2<br />
Gráfico da função g Gráfico da função arco-seno<br />
Nota: A função arco-seno é crescente.<br />
Exemplo 1.3: Calcule arcsen<br />
2<br />
.<br />
2<br />
Exemplo 1.4: Caracterize a função inversa <strong>de</strong><br />
1<br />
f ( x)<br />
= arcsen(<br />
3x<br />
−1)<br />
.<br />
2<br />
Definição 1.5: Chama-se restrição principal da função cosseno,<br />
à restrição <strong>de</strong> cosseno ao intervalo [ , π ]<br />
g : [ 0,<br />
π ] → [ −1,<br />
1]<br />
x<br />
<br />
0 , isto é,<br />
.<br />
cos x<br />
2
Definição 1.6: Chama-se arco-cosseno à função inversa <strong>de</strong> g,<br />
<strong>de</strong>finida por:<br />
arccos :<br />
[ −1.<br />
1]<br />
→ [ 0,<br />
π ]<br />
.<br />
x arccos x<br />
Pela <strong>de</strong>finição da função inversa, temos<br />
y = arccos x<br />
⎧cos<br />
y = x<br />
⇔ ⎨ .<br />
⎩0<br />
≤ y ≤ π<br />
Gráfico da função arco-cosseno<br />
Nota: A função arco-cosseno é <strong>de</strong>crescente.<br />
Exemplo 1.7: Calcule ⎟ ⎛ 2 ⎞<br />
arccos ⎜<br />
⎜−<br />
.<br />
⎝ 2 ⎠<br />
Exemplo 1.8: Caracterize a função inversa <strong>de</strong><br />
( x)<br />
= cos( 3x<br />
+ 2)<br />
−1<br />
f .<br />
3
1.1.2. A função arco-tangente<br />
Como a função tangente não é injectiva no seu domínio, só<br />
po<strong>de</strong>remos <strong>de</strong>finir a sua função inversa, se consi<strong>de</strong>rarmos uma<br />
restrição injectiva <strong>de</strong>ssa funçõe.<br />
Definição 1.9: Chama-se restrição principal da função<br />
⎤ π π ⎡<br />
tangente, à restrição da tangente ao intervalo<br />
⎥<br />
− ,<br />
⎦ 2 2 ⎢<br />
, isto é,<br />
⎣<br />
g :<br />
⎤ π π ⎡<br />
⎥<br />
− ,<br />
⎢<br />
→ IR<br />
⎦ 2 2 ⎣<br />
x tg x<br />
Definição 1.10: Chama-se arco-tangente à função inversa <strong>de</strong> g,<br />
<strong>de</strong>finida por:<br />
arctg :<br />
⎤ π π ⎡<br />
IR →<br />
⎥<br />
− ,<br />
⎦ 2 2 ⎢<br />
⎣ .<br />
x arctg x<br />
⎪<br />
⎧ tg y = x<br />
Por <strong>de</strong>finição, temos y = arctg x ⇔ ⎨ π π .<br />
⎪⎩<br />
− < y <<br />
2 2<br />
4
Gráfico da função arco-tangente<br />
Nota: A função arco-tangente é crescente.<br />
Exemplo 1.11: Calcule ( − 3)<br />
arctg .<br />
Exemplo 1.12: Caracterize a função inversa <strong>de</strong> ( x)<br />
= tg(<br />
x − π )<br />
1.2. Limites e continuida<strong>de</strong><br />
Definição 2.1: Seja IR<br />
lim f ( x)<br />
= f ( x)<br />
x→a<br />
−<br />
lim e for finito.<br />
x→a<br />
+<br />
a ∈ . Diz-se que f ( x)<br />
x→a<br />
f .<br />
lim existe se e só se<br />
Definição 2.2: Uma função f diz-se contínua num ponto a se as<br />
seguintes condições são satisfeitas:<br />
i) f ( a)<br />
está <strong>de</strong>finida;<br />
ii) f ( x)<br />
lim existe;<br />
x→a<br />
iii) lim f ( x)<br />
= ( a)<br />
x→a<br />
f .<br />
5
Proprieda<strong>de</strong>s 2.3:<br />
1. Se f e g são funções contínuas, então também são contínuas<br />
as funções:<br />
f<br />
f + g , f − g , f ⋅ g , com g ≠ 0 ,<br />
g<br />
n<br />
f , n f , com n ∈ IN .<br />
2. A restrição <strong>de</strong> uma função contínua é ainda uma função<br />
contínua.<br />
Exercício 2.4: Estu<strong>de</strong> a continuida<strong>de</strong> no ponto x = 0 da função<br />
⎧ 2 −1<br />
⎪<br />
< 0<br />
( ) = ⎨ln(<br />
1−<br />
)<br />
⎪<br />
⎩ cos ≥ 0<br />
2<br />
x<br />
se x<br />
f x x<br />
.<br />
x se x<br />
1.3. Derivada <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m n<br />
1.3.1. Definição <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivada.<br />
Definição 3.1: Seja f D x0 ∈ . Chama-se <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> f no ponto<br />
x , ao número <strong>rea</strong>l ( x )<br />
0<br />
( x )<br />
f ′ =<br />
0<br />
f ′ <strong>de</strong>finido por<br />
lim<br />
x→x0<br />
0<br />
f<br />
( x)<br />
− f ( x )<br />
x − x<br />
0<br />
Definição 3.2: A equação da recta tangente ao gráfico da<br />
função f é dada por<br />
( x ) = f ′ ( x )( x x )<br />
y − f<br />
− .<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
.<br />
6
Definição 3.3: A equação da recta normal ao gráfico da função<br />
f é dada por<br />
1<br />
y − f ( x0<br />
) = − − .<br />
f ′<br />
( x x0<br />
)<br />
( x )<br />
Nota: Efectuando a mudança <strong>de</strong> <strong>variável</strong> 0 x x h −<br />
<strong>de</strong>finição equivalente:<br />
( x )<br />
f ′ =<br />
0<br />
lim<br />
h→0<br />
0<br />
( x + h)<br />
− f ( x )<br />
f 0<br />
0<br />
Exercício 3.4: Consi<strong>de</strong>re a função ( x)<br />
h<br />
.<br />
7<br />
= , obtém-se a<br />
1<br />
f = . 2<br />
x − 3<br />
1) Calcule, utilizando a <strong>de</strong>finição, a <strong>de</strong>rivada da função f no<br />
ponto ( , 1)<br />
2 .<br />
2) Determine a equação da recta tangente ao gráfico <strong>de</strong> f no<br />
ponto ( , 1)<br />
2 .<br />
Definição 3.5: Diz-se que a função f é diferenciável no ponto x 0<br />
se tem <strong>de</strong>rivada finita nesse ponto.<br />
Nota: ( x )<br />
− ( ) x<br />
′ 0<br />
f =<br />
−<br />
f ′ existe se e só se ( ) x<br />
+<br />
f = ( ) x<br />
x<br />
0<br />
lim x<br />
−<br />
→ 0<br />
f<br />
( x)<br />
− f ( x )<br />
x − x<br />
0<br />
0<br />
′ 0<br />
+<br />
e ( ) x<br />
′ 0<br />
f =<br />
x<br />
lim x<br />
+<br />
→ 0<br />
′ 0<br />
f ∈ IR , sendo<br />
f<br />
( x)<br />
− f ( x )<br />
x − x<br />
0<br />
0<br />
.
Exercício 3.6: Seja f a função <strong>de</strong>finida por<br />
f<br />
⎪⎧<br />
e<br />
( x)<br />
= ⎨<br />
⎪⎩<br />
x<br />
+ 2<br />
3 − x<br />
2<br />
se<br />
se<br />
x ≤ 0<br />
x > 0<br />
. Determine, caso exista, f ′ ( 0)<br />
.<br />
Definição 3.7: Chama-se função <strong>de</strong>rivada a função f ′dada por<br />
′ ′<br />
f : D f → IR<br />
x f ′<br />
( x)<br />
on<strong>de</strong> f tem <strong>de</strong>rivada finita.<br />
, on<strong>de</strong> f D ′ representa o conjunto dos pontos<br />
Teorema 3.8: Toda a função diferenciável é contínua.<br />
Se f ′ é uma função diferenciável, po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir a sua<br />
<strong>de</strong>rivada. Chama-se <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m 2 <strong>de</strong> f, à <strong>de</strong>rivada da<br />
função f ′.<br />
Notação: f ′ .<br />
Definição 3.9: Seja f uma função n vezes diferenciável. Chama-se<br />
<strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m n <strong>de</strong> f, à <strong>de</strong>rivada da função<br />
representa <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m n-1 <strong>de</strong> f.<br />
1.3.2. Regras <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivação.<br />
Exemplo 3.10: Calcule a <strong>de</strong>rivada das seguintes funções:<br />
x 2<br />
2<br />
1) f ( x)<br />
= e ln x<br />
2) f ( x)<br />
= x cos( 3x)<br />
2<br />
3) f ( x)<br />
= cos x<br />
4)<br />
2<br />
( 1−<br />
tgx)<br />
f ( x)<br />
=<br />
3<br />
( ) 1 − n<br />
8<br />
f que
x<br />
⎛ x ⎞ 2<br />
5) f ( x)<br />
= e arcsen(<br />
2x)<br />
6) f ( x)<br />
= arctg⎜<br />
⎟ + x ln x<br />
⎝ x + 1⎠<br />
7)<br />
1<br />
f ( x)<br />
= 8) f ( x)<br />
= arccos(<br />
x)<br />
arctgx<br />
Exemplo 3.11: Determine, usando as regras <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivação, a<br />
função <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> ( x)<br />
= ⎨<br />
⎪⎩<br />
⎪<br />
⎧3x<br />
−1<br />
se x ≤1<br />
2<br />
se x > 1<br />
x<br />
f .<br />
1.3.3. Derivada da função composta.<br />
Definição 3.12: Sejam f e g duas funções. Chama-se função<br />
composta <strong>de</strong> g com f à função g f caracterizada por<br />
i) g f<br />
{ }<br />
D = x ∈ IR : x ∈ D ∧ f ( x)<br />
∈ D ;<br />
ii) ( g f )( x)<br />
= g[<br />
f ( x)<br />
]<br />
, ∀ x ∈ Dg<br />
f .<br />
Teorema da <strong>de</strong>rivada da função composta:<br />
Se f é diferenciável no ponto 0<br />
então g f é diferenciável em x 0 e,<br />
f<br />
( g f ) ( x ) = g′<br />
( f ( x ) ) ⋅ f ′ ( x )<br />
0<br />
g<br />
x e g é diferenciável em ( x )<br />
<br />
′<br />
.<br />
0<br />
0<br />
0<br />
9<br />
f ,<br />
3<br />
Exercício 3.13: Consi<strong>de</strong>re as funções f ( x)<br />
= senx e ( x)<br />
2x<br />
Calcule a <strong>de</strong>rivada da função f g .<br />
g = .
1.3.4. In<strong>de</strong>terminações: regra <strong>de</strong> Cauchy.<br />
O conceito <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivada é também usado para levantar algumas<br />
in<strong>de</strong>terminações.<br />
0 ∞<br />
1.3.4.1. Levantamento <strong>de</strong> in<strong>de</strong>terminações do tipo e .<br />
0 ∞<br />
Regra <strong>de</strong> Cauchy ou regra <strong>de</strong> L’Hôpital: Sejam c um ponto do<br />
intervalo ( a, b)<br />
e f, g duas funções diferenciáveis em ( b)<br />
excepto possivelmente em c.<br />
Se<br />
Então<br />
′ ;<br />
(i) g ( x)<br />
≠ 0 ∀x<br />
∈(<br />
a,<br />
b)<br />
| { c}<br />
(ii)<br />
<strong>de</strong>s<strong>de</strong> que<br />
lim<br />
x→c<br />
lim<br />
x→c<br />
f<br />
g<br />
lim<br />
x→c<br />
f ′<br />
g′<br />
( x)<br />
( x)<br />
f<br />
g<br />
( x)<br />
( x)<br />
( x)<br />
( x)<br />
Exemplo 3.14: Calcule<br />
0 ∞<br />
é uma in<strong>de</strong>terminação do tipo ou .<br />
0 ∞<br />
= lim<br />
x→c<br />
f ′<br />
g′<br />
( x)<br />
( x)<br />
seja <strong>de</strong>finido ( ∈ IR ).<br />
x − x<br />
e − e<br />
lim<br />
x→0 sen x<br />
1.3.4.2. In<strong>de</strong>terminações do tipo ∞ − ∞ e 0 ⋅ ∞ .<br />
• Se<br />
lim ( ) 0<br />
x→c<br />
f x = e<br />
lim ( x)<br />
= ∞<br />
x→c<br />
,<br />
g , então<br />
.<br />
x→c<br />
10<br />
a, ,<br />
lim ( x)<br />
⋅ g(<br />
x)<br />
= 0.<br />
∞<br />
f .
Esta in<strong>de</strong>terminação po<strong>de</strong> ser transformada numa in<strong>de</strong>terminação<br />
0 ∞<br />
do tipo ou , escrevendo<br />
0 ∞<br />
( )<br />
( )<br />
f x<br />
f ( x)<br />
⋅ g(<br />
x)<br />
=<br />
1 g x<br />
Exemplo 3.15: Determine lim+<br />
Exemplo 3.16: Determine<br />
g x<br />
f ⋅ =<br />
1 f x<br />
ou ( x)<br />
g(<br />
x)<br />
x→0<br />
2<br />
x ln(<br />
x)<br />
.<br />
⎛ 1 ⎞<br />
xtg⎜<br />
.<br />
⎝ x<br />
x→+∞ lim ⎟<br />
⎠<br />
( )<br />
( )<br />
• Para as in<strong>de</strong>terminações do tipo ∞ − ∞ , escreve-se a<br />
diferença como uma única fracção.<br />
Exemplo 3.17: Determine<br />
x 3 − x<br />
− .<br />
x x −1<br />
x 1<br />
lim<br />
→1<br />
1.4 Derivadas <strong>de</strong> funções <strong>de</strong>finidas implicitamente.<br />
Consi<strong>de</strong>remos a relação y = x cos x.<br />
Esta relação <strong>de</strong>fine y<br />
explicitamente como uma função <strong>de</strong> x. De facto, po<strong>de</strong>mos<br />
escrever f ( x)<br />
x cos x<br />
teste da recta vertical.<br />
4<br />
4<br />
2 −<br />
= sendo f uma função, ou seja, f satisfaz o<br />
Até agora, as funções que consi<strong>de</strong>ramos eram todas <strong>de</strong>finidas<br />
<strong>de</strong>sta maneira. No entanto, uma função também po<strong>de</strong> ser <strong>de</strong>finida<br />
implicitamente por uma equação que po<strong>de</strong>rá ser ou não resolvida<br />
em relação a x.<br />
.<br />
11
Além disso, como veremos a seguir, uma equação com duas<br />
variáveis x e y po<strong>de</strong> <strong>de</strong>finir implicitamente diferentes funções <strong>de</strong><br />
x.<br />
2 =<br />
Consi<strong>de</strong>remos a equação x − y 0.<br />
Esta equação não po<strong>de</strong> ser<br />
revolvida <strong>de</strong> modo a que y seja <strong>de</strong>finida como uma função<br />
explícita <strong>de</strong> x. De facto, y = ± x não representa uma função <strong>de</strong> x.<br />
Neste caso, diz-se que f ( x)<br />
= x e g( x)<br />
− x<br />
12<br />
= são <strong>de</strong>finidas<br />
implicitamente como funções <strong>de</strong> x pela equação original.<br />
O gráfico das funções f e g representam o ramo superior e inferior<br />
da parábola representada na figura abaixo. A parábola no seu<br />
todo, correspon<strong>de</strong>nte ao gráfico da equação x − y 0,<br />
ou seja<br />
2<br />
x = y que não é o gráfico <strong>de</strong> uma função.<br />
Exercício 4.1: Quantas funções implícitas diferentes são <strong>de</strong>finidas<br />
pela equação x + y = 1.<br />
2<br />
2<br />
2 =
Equações como sen( x 2 y)<br />
= 2x<br />
cos y<br />
+ ou y + 2y<br />
= x − 2x<br />
− 3<br />
po<strong>de</strong>m ser difíceis ou até impossíveis <strong>de</strong> resolver.<br />
Apesar disso, é sempre possível calcular a <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> uma<br />
função <strong>de</strong>finida implicitamente, usando um processo chamado<br />
diferenciação implícita que consiste em <strong>de</strong>rivar ambos os<br />
membros da equação dada em or<strong>de</strong>m a x.<br />
dy<br />
Notação: y′ ( x)<br />
e representam a <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> y em or<strong>de</strong>m a x.<br />
dx<br />
Exemplo 4.2: Consi<strong>de</strong>re a equação x + y = 1.<br />
Use o processo<br />
<strong>de</strong> diferenciação implícita para calcular a <strong>de</strong>rivada y′ ( x)<br />
.<br />
Resolução: Derivando ambos os membros da equação em or<strong>de</strong>m<br />
a x, vem<br />
d<br />
dx<br />
2 2 ( x + y ) = 0<br />
dy dy x<br />
⇔ 2 x + 2y<br />
= 0 ⇔ = − .<br />
dx dx y<br />
dy<br />
Nota: Em geral, a expressão <strong>de</strong> <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> da <strong>variável</strong> x mas<br />
dx<br />
também <strong>de</strong> y.<br />
2<br />
2<br />
4<br />
3<br />
13
Exemplo 4.3: Determine a equação da recta tangente a curva<br />
2 2<br />
<strong>de</strong>finida por x + y = 1,<br />
no ponto ⎟ ⎛ 1 3 ⎞<br />
⎜ , .<br />
⎝ 2 2 ⎠<br />
Exercício 4.4: Determine a equação da recta tangente a curva<br />
<strong>de</strong>finida por sen( x 2 y)<br />
= 2x<br />
cos y<br />
⎛ ⎞<br />
+ , no ponto ⎜0,<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
π .<br />
Exercício 4.5: Determine a <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m 2 da função<br />
<strong>de</strong>finida implicitamente por y + 2y<br />
= x − 2x<br />
− 3.<br />
( n)<br />
d y<br />
Notação: y e n<br />
dx<br />
or<strong>de</strong>m a x.<br />
n<br />
4<br />
3<br />
representam a <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m n <strong>de</strong> y em<br />
14