练习七简谐振动的特征及描述
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竖直的 E 管,并使 E 管下端插入 F 槽的液体内。如果管的<br />
C 处的横截面积是 D 处的一半,并设管的 D 处比 A 槽内的<br />
液面低 h1,试求 E 管中液体上升的高度 h2 应等于 h1 的多少 图 6.1<br />
倍?<br />
2.玻璃管的内直径 d=2.0×10 -5 m,长为 L=0.2m,垂直插入水中,管的上端是封闭的。问插入水<br />
面下的那一段的长度应为多少,才能使管内外水面一样高?已知大气压 Po,α= 7.3×10 -2 N/m,<br />
6<br />
θ =0.<br />
练习七 简谐振动的特征及描述<br />
一.选择题<br />
1. 以下所列运动形态哪些不是简谐振动?<br />
(1) 球形碗底小球小幅度的摆动;<br />
(2) 细绳悬挂的小球作大幅度的摆动;<br />
(3) 小木球在水面上的上下浮动;<br />
(4) 橡皮球在地面上作等高的上下跳动;<br />
(5) 木质圆柱体在水面上的上下浮动(母线垂直于水面).<br />
(A) 答:(1) (2) (3) (4) (5) 都不是简谐振动.<br />
(B) 答: (1) (2) (3) (4) 不是简谐振动.<br />
(C) 答: (2) (3) (4) 不是简谐振动.<br />
(D) 答: (1) (2) (3) 不是简谐振动.<br />
2. 同一弹簧振子按图 7.1 的三种方法放置,它们的振动周期分别为 Ta、Tb、Tc(摩擦力忽略),则三者<br />
之间的关系为<br />
(A) Ta=Tb=Tc.<br />
(B) Ta=Tb>Tc.<br />
(C) Ta>Tb>Tc.<br />
α<br />
(D) Ta
振动的角频率ω = , 刚体运动的角速度Ω=dθ /dt = ,角速度的<br />
最大值Ωmax= .<br />
三.计算题<br />
1.一质量为 0.20kg 的质点作简谐振动,其运动方程为<br />
x = 0.60cos(5t-π/2) ( S I )<br />
求 (1) 质点的初速度;<br />
(2) 质点在正向最大位移一半处所受的力.<br />
2. 由质量为 M 的木块和倔强系数为 k 的轻质弹簧组成一在光滑<br />
水平台上运动的谐振子,如图 7.2 所示,开始时木块静止在 O 点,一质量为 m 的子弹以速率 v0 沿<br />
水平方向射入木块并嵌在其中,然后木块(内有子弹)作谐振动,若以子弹射入木块并嵌在木块中<br />
时开始计时,试写出系统的振动方程,取 x 轴如图.<br />
练习八 简谐振动的合成<br />
k<br />
∧ 图 7.2<br />
一.选择题<br />
1. 一质点作简谐振动,已知振动周期为 T,则其振动动能变化的周期是<br />
(A) T/4.<br />
(B) T/2.<br />
(C) T.<br />
(D) 2T.<br />
(E) 4T.<br />
2. 一弹簧振子作简谐振动,当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的 1/4 时,其动能为振动总能量<br />
的<br />
(A) 7/16.<br />
(B) 9/16.<br />
(C) 11/16.<br />
(D) 13/16.<br />
(E) 15/16.<br />
3. 一质点作谐振动,其方程为 x=Acos(ωt+ϕ).在求质点的振动动能时,得出下面 5 个表达式<br />
(1) (1/2)mω 2 A 2 sin 2 (ω t +ϕ);<br />
(2) (1/2)mω 2 A 2 cos 2 (ω t +ϕ);<br />
(3) (1/2)kA 2 sin(ω t +ϕ);<br />
(4) (1/2)kA 2 cos 2 (ω t +ϕ);<br />
(5) (2π 2 /T 2 )mA 2 sin 2 (ω t +ϕ);<br />
其中 m 是质点的质量,k 是弹簧的倔强系数,T 是振动的周期.下面结论中正确的是<br />
(A) (1), (4)是对的;<br />
(B) (2), (4)是对的;<br />
(C) (1), (5)是对的;<br />
(D) (3), (5)是对的;<br />
M<br />
O<br />
v0<br />
m<br />
x<br />
7
8<br />
(E) (2), (5)是对的.<br />
二.填空题<br />
1. 一物体同时参与同一直线上的两个简谐振动:<br />
x1 = 0.03cos ( 4 π t + π /3 ) (SI)<br />
x2 = 0.05cos ( 4 π t-2π/3 ) (SI)<br />
合成振动的振动方程为 .<br />
2. 质量为 m 的物体和一个轻弹簧组成弹簧振子,其固有振动周期为 T,当它作振幅为 A 的自由简谐<br />
振动时,其振动能量 E = .<br />
三.计算题<br />
1. 质量为 m,长为 l 的均匀细棒可绕过一端的固定轴 O1 自由转动,在离轴 l / 3 处有一倔强系数为<br />
k 的轻弹簧与其连接.弹簧的另一端固定于 O2 点,如图 8.1 所示.开始时棒刚好在水平位置而静止.<br />
现将棒沿顺时针方向绕 O1 轴转过一小角度θ0,然后放手.(1) 证明杆作简谐振动;(2)求出其周期;<br />
(3)以向下转动为旋转正向,水平位置为角坐标原点,转过角θ0 为起始时刻,写出振动表达式.<br />
2.两个同方向的简谐振动的振动方程分别为<br />
x1 = 4×10 -2 cos2π ( t + 1/8) ( S I )<br />
x2 = 3×10 -2 cos2π ( t + 1/4) ( S I )<br />
求合振动方程.<br />
练习九 平面简谐波<br />
l/ 3<br />
一.选择题<br />
1. 一平面简谐波的波动方程为<br />
y = 0.1cos(3πt-πx+π) (SI)<br />
t = 0 时的波形曲线如图 9.1 所示,则<br />
(A) O 点的振幅为-0.1m .<br />
(B) 波长为 3m .<br />
(C) a、b 两点间相位差为π/2 .<br />
(D) 波速为 9m/s .<br />
y (m) u<br />
2. 一倔强系数为 k 的弹簧与一质量为 m 的物体组 0.1<br />
成弹簧振子的固有周期为 T1,若将此弹簧剪去一半的<br />
长度并和一质量为 m/2 的物体组成一新的振动系统,<br />
O<br />
· · ·<br />
a b<br />
·<br />
-0.1<br />
则新系统的固有周期 T2 为<br />
(A) 2T1.<br />
(B) T1.<br />
(C) T1/2.<br />
图 9.1<br />
O1<br />
图 8.1.<br />
O2<br />
k<br />
m l<br />
x (m)
(D) T1 / 2 .<br />
(E) T1/ 4.<br />
3. 火车沿水平轨道以加速度 a 作匀加速直线运动,则车厢中摆长为 l 的单摆的周期为<br />
2 2<br />
(A) 2 π ( a + g ) l .<br />
(B) 2 g<br />
(C) 2 π ( a + g)<br />
l .<br />
(D) 2π l /( a + g)<br />
.<br />
2 2<br />
π l a + .<br />
二.填空题<br />
1. A、B 是简谐波波线上的两点,已知 B 点的位相比 A 点落后π/3,A、B 两点相距 0.5m,波的<br />
频率为 100Hz,则该波的<br />
波长 λ = m ,<br />
波速 u = m/s .<br />
x(cm)<br />
2. 一简谐振动曲线如图 9.2 所示,试由图确定在 t = 6<br />
2 秒时刻质点的位移为 ,<br />
O<br />
t(s)<br />
1<br />
·<br />
2 3 4<br />
速度为 .<br />
-6<br />
三.计算题<br />
1. 一平面简谐波在介质中以速度 c = 20 m/s 自左向右传播,已知在传播路径上某点 A 的振动方程<br />
为 y = 3cos (4πt —π ) (SI)<br />
另一点 D 在 A 右方 9 米处<br />
(1) 若取 x 轴方向向左,并以 A 为坐标原点,<br />
如图 9.3(1)所示,试写出波动方程,并求出 D 点<br />
的振动方程;<br />
(2) 若取 x 轴方向向右,以 A 点左方 5<br />
米处的 O 点为 x 轴原点,如图 9.3(2)<br />
所示,重新写出波动方程及 D 点<br />
的振动方程.<br />
2.一简谐波,振动周期 T=1/2 秒, 波长λ=10m,振幅 A=0.1m,当 t=0 时刻,波源振动的位移恰好为正方<br />
向的最大值,若坐标原点和波源重合,且波沿 x 正方向传播,求:<br />
(1) 此波的表达式;<br />
(2) t1 = T/4 时刻, x1 = λ/4 处质点的位移;<br />
(3) t2 = T/2 时刻, x1 = λ/4 处质点的振动速度.<br />
· · · ·<br />
图 9.2<br />
y c<br />
y c<br />
9m<br />
9m<br />
x<br />
x<br />
· · · · ·<br />
A D O A D<br />
(1)<br />
(2)<br />
图 9.3<br />
一.选择题<br />
练习十 波的干涉<br />
9
1. 一平面简谐波在弹性媒质中传播时,某一时刻在传播方向上媒质中某质元在负的最大位移处,<br />
则它的能量是<br />
(A) 动能为零,势能最大.<br />
(B) 动能为零,势能为零.<br />
(C) 动能最大,势能最大.<br />
(D) 动能最大,势能为零.<br />
2. 某平面简谐波在 t = 0.25s 时波形如图 10.1 所示,<br />
则该波的波函数为:<br />
(A) y = 0.5cos[4π (t-x/8)-π/2] (cm) .<br />
(B) y = 0.5cos[4π (t + x/8) + π/2] (cm) .<br />
(C) y = 0.5cos[4π (t + x/8)-π/2] (cm) .<br />
(D) y = 0.5cos[4π (t-x/8) + π/2] (cm) .<br />
3. 一平面余弦波沿 x 轴向右传播,在 t = 0 时,O 点处于平衡位置向下运动,P 点的位移为+A/2 向上运<br />
动(向上为正),A 为振幅,.P 点在 O 点右方,且 OP=10cm
在 t=T/4(T 为周期)时刻,物体的加速度为<br />
2<br />
(A) − 2Aω<br />
2 .<br />
2<br />
(B) 2A<br />
ω 2 .<br />
2<br />
(C) − 3Aω<br />
2 .<br />
2<br />
(D) 3A<br />
ω 2 .<br />
2. 以下说法不正确的是<br />
(A) 从运动学角度看,振动是单个质点(在平衡位置的往复)运动,波是振动状态的传播,质点并<br />
不随波前进;<br />
(B) 从动力学角度看振动是单个质点受到弹性回复力的作用而产生的,波是各质元受到邻近<br />
质元的作用而产生的;<br />
(C) 从能量角度看,振动是单个质点的总能量不变,只是动能与势能的相互转化;波是能量的传<br />
递,各质元的总能量随时间作周期变化,而且动能与势能的变化同步;<br />
(D) 从总体上看,振动质点的集合是波动.<br />
3. 以下说法错误的是<br />
(A) 波速与质点振动的速度是一回事,至少它们之间相互有联系;<br />
(B) 波速只与介质有关,介质一定,波速一定,不随频率波长<br />
而变,介质确定后,波速为常数;<br />
3λ<br />
s1·<br />
·P<br />
(C) 质元的振动速度随时间作周期变化;<br />
(E) 虽有关系式 v = λν,但不能说频率增大,波速增大.<br />
10λ/3<br />
二.填空题<br />
s2·<br />
1.如图 11.1 所示,波源 s1 和 s2 发出的波在 P 点相遇,P<br />
图 11.1<br />
点距波源 s1 和 s2 的距离分别为 3λ和 10λ/3,λ为两列波<br />
在<br />
ω<br />
介质中的波长,若 P 点的合振幅总是极大值,则两波源<br />
的振动方向 ,振动频率 ,<br />
t 时刻<br />
πt+π/4<br />
t=0<br />
波源 s2 的位相比 s1 的位相领先 .<br />
π/4 x<br />
2. 一简谐振动的旋转矢量图如图 11.2 所示,振幅矢量长 2cm ,<br />
则该简谐振动的初位相为 ,<br />
振动方程为 .<br />
三.计算题<br />
O<br />
图 11.2<br />
1. 一定滑轮的半径为 R , 转动惯量为 J ,其上挂一轻绳,绳的一端系一质量为 m 的物体,另一端<br />
与一固定的轻弹簧相连,如图 21.3 所示,设弹簧的倔强系数为 k,绳与滑轮间无滑动,且忽略<br />
轴的摩擦力及空气阻力,现将物体 m 从平衡位置下拉一微小距离后放手,证明物体作简谐振动,<br />
并求出其角频率.<br />
2. 一弦线,左端系于音叉的一臂的 A 点上,右端固定在 B 点,并用 7.20N 的水平拉力将弦线拉直,音<br />
叉在垂直于弦线长度的方向上作每秒<br />
50 次的简谐振动(如图 11.3).这样,在<br />
A<br />
O<br />
B<br />
图 11.3<br />
L=2.1m<br />
11