练习七简谐振动的特征及描述

竖直的 E 管,并使 E 管下端插入 F 槽的液体内。如果管的
C 处的横截面积是 D 处的一半,并设管的 D 处比 A 槽内的
液面低 h1,试求 E 管中液体上升的高度 h2 应等于 h1 的多少 图 6.1
倍?
2.玻璃管的内直径 d=2.0×10 -5 m,长为 L=0.2m,垂直插入水中,管的上端是封闭的。问插入水
面下的那一段的长度应为多少,才能使管内外水面一样高?已知大气压 Po,α= 7.3×10 -2 N/m,
6
θ =0.
练习七 简谐振动的特征及描述
一.选择题
1. 以下所列运动形态哪些不是简谐振动?
(1) 球形碗底小球小幅度的摆动;
(2) 细绳悬挂的小球作大幅度的摆动;
(3) 小木球在水面上的上下浮动;
(4) 橡皮球在地面上作等高的上下跳动;
(5) 木质圆柱体在水面上的上下浮动(母线垂直于水面).
(A) 答:(1) (2) (3) (4) (5) 都不是简谐振动.
(B) 答: (1) (2) (3) (4) 不是简谐振动.
(C) 答: (2) (3) (4) 不是简谐振动.
(D) 答: (1) (2) (3) 不是简谐振动.
2. 同一弹簧振子按图 7.1 的三种方法放置,它们的振动周期分别为 Ta、Tb、Tc(摩擦力忽略),则三者
之间的关系为
(A) Ta=Tb=Tc.
(B) Ta=Tb>Tc.
(C) Ta>Tb>Tc.
α
(D) Ta

振动的角频率ω = , 刚体运动的角速度Ω=dθ /dt = ,角速度的
最大值Ωmax= .
三.计算题
1.一质量为 0.20kg 的质点作简谐振动,其运动方程为
x = 0.60cos(5t-π/2) ( S I )
求 (1) 质点的初速度;
(2) 质点在正向最大位移一半处所受的力.
2. 由质量为 M 的木块和倔强系数为 k 的轻质弹簧组成一在光滑
水平台上运动的谐振子,如图 7.2 所示,开始时木块静止在 O 点,一质量为 m 的子弹以速率 v0 沿
水平方向射入木块并嵌在其中,然后木块(内有子弹)作谐振动,若以子弹射入木块并嵌在木块中
时开始计时,试写出系统的振动方程,取 x 轴如图.
练习八 简谐振动的合成
k
∧ 图 7.2
一.选择题
1. 一质点作简谐振动,已知振动周期为 T,则其振动动能变化的周期是
(A) T/4.
(B) T/2.
(C) T.
(D) 2T.
(E) 4T.
2. 一弹簧振子作简谐振动,当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的 1/4 时,其动能为振动总能量
的
(A) 7/16.
(B) 9/16.
(C) 11/16.
(D) 13/16.
(E) 15/16.
3. 一质点作谐振动,其方程为 x=Acos(ωt+ϕ).在求质点的振动动能时,得出下面 5 个表达式
(1) (1/2)mω 2 A 2 sin 2 (ω t +ϕ);
(2) (1/2)mω 2 A 2 cos 2 (ω t +ϕ);
(3) (1/2)kA 2 sin(ω t +ϕ);
(4) (1/2)kA 2 cos 2 (ω t +ϕ);
(5) (2π 2 /T 2 )mA 2 sin 2 (ω t +ϕ);
其中 m 是质点的质量,k 是弹簧的倔强系数,T 是振动的周期.下面结论中正确的是
(A) (1), (4)是对的;
(B) (2), (4)是对的;
(C) (1), (5)是对的;
(D) (3), (5)是对的;
M
O
v0
m
x
7

8
(E) (2), (5)是对的.
二.填空题
1. 一物体同时参与同一直线上的两个简谐振动:
x1 = 0.03cos ( 4 π t + π /3 ) (SI)
x2 = 0.05cos ( 4 π t-2π/3 ) (SI)
合成振动的振动方程为 .
2. 质量为 m 的物体和一个轻弹簧组成弹簧振子,其固有振动周期为 T,当它作振幅为 A 的自由简谐
振动时,其振动能量 E = .
三.计算题
1. 质量为 m,长为 l 的均匀细棒可绕过一端的固定轴 O1 自由转动,在离轴 l / 3 处有一倔强系数为
k 的轻弹簧与其连接.弹簧的另一端固定于 O2 点,如图 8.1 所示.开始时棒刚好在水平位置而静止.
现将棒沿顺时针方向绕 O1 轴转过一小角度θ0,然后放手.(1) 证明杆作简谐振动;(2)求出其周期;
(3)以向下转动为旋转正向,水平位置为角坐标原点,转过角θ0 为起始时刻,写出振动表达式.
2.两个同方向的简谐振动的振动方程分别为
x1 = 4×10 -2 cos2π ( t + 1/8) ( S I )
x2 = 3×10 -2 cos2π ( t + 1/4) ( S I )
求合振动方程.
练习九 平面简谐波
l/ 3
一.选择题
1. 一平面简谐波的波动方程为
y = 0.1cos(3πt-πx+π) (SI)
t = 0 时的波形曲线如图 9.1 所示,则
(A) O 点的振幅为-0.1m .
(B) 波长为 3m .
(C) a、b 两点间相位差为π/2 .
(D) 波速为 9m/s .
y (m) u
2. 一倔强系数为 k 的弹簧与一质量为 m 的物体组 0.1
成弹簧振子的固有周期为 T1,若将此弹簧剪去一半的
长度并和一质量为 m/2 的物体组成一新的振动系统,
O
· · ·
a b
·
-0.1
则新系统的固有周期 T2 为
(A) 2T1.
(B) T1.
(C) T1/2.
图 9.1
O1
图 8.1.
O2
k
m l
x (m)

(D) T1 / 2 .
(E) T1/ 4.
3. 火车沿水平轨道以加速度 a 作匀加速直线运动,则车厢中摆长为 l 的单摆的周期为
2 2
(A) 2 π ( a + g ) l .
(B) 2 g
(C) 2 π ( a + g)
l .
(D) 2π l /( a + g)
.
2 2
π l a + .
二.填空题
1. A、B 是简谐波波线上的两点,已知 B 点的位相比 A 点落后π/3,A、B 两点相距 0.5m,波的
频率为 100Hz,则该波的
波长 λ = m ,
波速 u = m/s .
x(cm)
2. 一简谐振动曲线如图 9.2 所示,试由图确定在 t = 6
2 秒时刻质点的位移为 ,
O
t(s)
1
·
2 3 4
速度为 .
-6
三.计算题
1. 一平面简谐波在介质中以速度 c = 20 m/s 自左向右传播,已知在传播路径上某点 A 的振动方程
为 y = 3cos (4πt —π ) (SI)
另一点 D 在 A 右方 9 米处
(1) 若取 x 轴方向向左,并以 A 为坐标原点,
如图 9.3(1)所示,试写出波动方程,并求出 D 点
的振动方程;
(2) 若取 x 轴方向向右,以 A 点左方 5
米处的 O 点为 x 轴原点,如图 9.3(2)
所示,重新写出波动方程及 D 点
的振动方程.
2.一简谐波,振动周期 T=1/2 秒, 波长λ=10m,振幅 A=0.1m,当 t=0 时刻,波源振动的位移恰好为正方
向的最大值,若坐标原点和波源重合,且波沿 x 正方向传播,求:
(1) 此波的表达式;
(2) t1 = T/4 时刻, x1 = λ/4 处质点的位移;
(3) t2 = T/2 时刻, x1 = λ/4 处质点的振动速度.
· · · ·
图 9.2
y c
y c
9m
9m
x
x
· · · · ·
A D O A D
(1)
(2)
图 9.3
一.选择题
练习十 波的干涉
9

1. 一平面简谐波在弹性媒质中传播时,某一时刻在传播方向上媒质中某质元在负的最大位移处,
则它的能量是
(A) 动能为零,势能最大.
(B) 动能为零,势能为零.
(C) 动能最大,势能最大.
(D) 动能最大,势能为零.
2. 某平面简谐波在 t = 0.25s 时波形如图 10.1 所示,
则该波的波函数为:
(A) y = 0.5cos[4π (t-x/8)-π/2] (cm) .
(B) y = 0.5cos[4π (t + x/8) + π/2] (cm) .
(C) y = 0.5cos[4π (t + x/8)-π/2] (cm) .
(D) y = 0.5cos[4π (t-x/8) + π/2] (cm) .
3. 一平面余弦波沿 x 轴向右传播,在 t = 0 时,O 点处于平衡位置向下运动,P 点的位移为+A/2 向上运
动(向上为正),A 为振幅,.P 点在 O 点右方,且 OP=10cm

在 t=T/4(T 为周期)时刻,物体的加速度为
2
(A) − 2Aω
2 .
2
(B) 2A
ω 2 .
2
(C) − 3Aω
2 .
2
(D) 3A
ω 2 .
2. 以下说法不正确的是
(A) 从运动学角度看,振动是单个质点(在平衡位置的往复)运动,波是振动状态的传播,质点并
不随波前进;
(B) 从动力学角度看振动是单个质点受到弹性回复力的作用而产生的,波是各质元受到邻近
质元的作用而产生的;
(C) 从能量角度看,振动是单个质点的总能量不变,只是动能与势能的相互转化;波是能量的传
递,各质元的总能量随时间作周期变化,而且动能与势能的变化同步;
(D) 从总体上看,振动质点的集合是波动.
3. 以下说法错误的是
(A) 波速与质点振动的速度是一回事,至少它们之间相互有联系;
(B) 波速只与介质有关,介质一定,波速一定,不随频率波长
而变,介质确定后,波速为常数;
3λ
s1·
·P
(C) 质元的振动速度随时间作周期变化;
(E) 虽有关系式 v = λν,但不能说频率增大,波速增大.
10λ/3
二.填空题
s2·
1.如图 11.1 所示,波源 s1 和 s2 发出的波在 P 点相遇,P
图 11.1
点距波源 s1 和 s2 的距离分别为 3λ和 10λ/3,λ为两列波
在
ω
介质中的波长,若 P 点的合振幅总是极大值,则两波源
的振动方向 ,振动频率 ,
t 时刻
πt+π/4
t=0
波源 s2 的位相比 s1 的位相领先 .
π/4 x
2. 一简谐振动的旋转矢量图如图 11.2 所示,振幅矢量长 2cm ,
则该简谐振动的初位相为 ,
振动方程为 .
三.计算题
O
图 11.2
1. 一定滑轮的半径为 R , 转动惯量为 J ,其上挂一轻绳,绳的一端系一质量为 m 的物体,另一端
与一固定的轻弹簧相连,如图 21.3 所示,设弹簧的倔强系数为 k,绳与滑轮间无滑动,且忽略
轴的摩擦力及空气阻力,现将物体 m 从平衡位置下拉一微小距离后放手,证明物体作简谐振动,
并求出其角频率.
2. 一弦线,左端系于音叉的一臂的 A 点上,右端固定在 B 点,并用 7.20N 的水平拉力将弦线拉直,音
叉在垂直于弦线长度的方向上作每秒
50 次的简谐振动(如图 11.3).这样,在
A
O
B
图 11.3
L=2.1m
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