1 secretaria de estado da educação do paraná superintendência de ...

IDENTIFICAÇÃO: 

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DO PARANÁ 

SUPERINTENDÊNCIA DE EDUCACÃO 

DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO BÁSICA 

OBJETO DE APRENDIZAGEM COLABORATIVO 

Autor: DIRCE MAYUMI MIYASAKI 

Orientador:Dr. EMERSON ROLKOUSKI 

Estabelecimento:Colégio Estadual Pedro Macedo 

Ensino:Fundamental, Médio e Profissional 

Disciplina: Matemática 

Conteúdo Estruturante:Números e Álgebra 

Conteúdo Específico: Proporcionalidade 

1-RECURSO DE EXPRESSÃO. 

Como se desenvolve o raciocínio proporcional? 

Examinando atentamente uma flor, assim como qualquer outra criação natural 

ou algo feito pelo homem encontramos uma ordenação incrível, uma proporção. 

Embora a proporcionalidade seja um conceito com amplas aplicações em várias 

áreas do conhecimento e presente no dia-a-dia de qualquer pessoa, observa-se que 

muitos alunos apresentam grande dificuldade na sua compreensão. Isso se deve 

principalmente devido a desvinculação entre os saberes da escola e os saberes da vida. 

Desde cedo à criança começa a desenvolver a noção de proporcionalidade em 

diversas situações, como por exemplo, quando necessita calcular o valor de determinada 

quantidade de produtos. No entanto, muitos alunos, mesmo após o estudo de razões e 

proporções na escola, ainda não adquirem, de fato, aquele conceito. 

1

O raciocínio proporcional também está presente no trabalho de vários 

profissionais que utilizam o conceito matemático no seu cotidiano mesmo sem ter 

passado pela educação formal. É o caso de mestres-de-obras que utilizam o raciocínio 

proporcional na preparação da massa, da tinta e ainda utilizam noções de escala ao 

lerem as plantas das casas que precisam construir. 

Um outro exemplo é o de pescadores que determinam o preço de venda de peixe 

salgado por meio do raciocínio proporcional. Para determinar o preço do peixe salgado 

o pescador tem que saber quanto é que “quebra o Peixe”, ou seja, quantos quilos de 

peixe fresco seriam necessários para o fabrico de tantos quilos de peixe salgado. 

É importante ressaltar o papel da proporcionalidade como conteúdo integrador 

dos diversos ramos da Matemática. Ela aparece em problemas aritméticos, regra de três 

e em Geometria, como no caso do Teorema de Tales. 

Um tratamento adequado e integrador de todos esses assuntos, por meio de uma 

construção cuidadosa do conceito de proporção, possibilita uma visão unificada entre 

Geometria, Álgebra e Aritmética. 

Buscando utilizar uma metodologia diferenciada, este OAC, por meio do 

conteúdo Razão e Proporção apresenta uma proposta pedagógica de utilização das 

tecnologias de Informação e Comunicação em seu desenvolvimento: vídeos, 

PowerPoint, utilização de planilhas eletrônicas como Excel e a tendência de Modelagem 

Matemática de acordo com as Diretrizes Curriculares da disciplina de Matemática. 

Abordando o tema : Proporção e Desperdício de Água, a proposta de atividade é 

baseada na Modelagem Matemática e no Ciclo de Aprendizagem. 

A Modelagem Matemática procura modelar um determinado fenômeno da 

realidade com o objetivo de compreender este fenômeno. Um modelo matemático 

pode ser entendido como um conjunto de símbolos e relações matemáticas que em certa 

medida representam a situação do mundo real extramatemática estudada e pode ser 

representado por tabelas, gráficos, equações algébricas, figuras ou formas geométricas e 

funções, dentre outras formas. (SILVEIRA e RODRIGUES, 2007). 

Em linhas gerais o Ciclo de Aprendizagem se constitui de uma metodologia 

diferenciada despertando a curiosidade do aluno para o conteúdo a ser desenvolvido. 

Esse modelo foi originalmente proposto no início dos anos 60 por Atkin e Karplus 

(1962), mais tarde modificado por outros pesquisadores (KARPLUS e THIER, 1967, 

BEISENHERZ e DANTONIO, 1996) quando passou a ser denominado de 5E 

(COLBURN, 2003), porque se desenvolve em cinco estágios, cada um deles 

comportando várias atividades de ensino e de avaliação. 

2

Estágios do Ciclo de Aprendizagem. 

• Envolvimento 

• Exploração 

• Explicação 

• Elaboração ou Aprofundamento 

• Avaliação 

Em Inglês, um dos termos utilizados para avaliação é Evaluation. Assim, todas as 

fases do ciclo começam com a letra E, perfazendo os 5E. 

Para um maior aprofundamento sobre o Ciclo de Aprendizagem proponho a leitura 

do texto: Ciclo de Aprendizagem: uma proposta para a elaboração de materiais didáticos 

disponível no endereço eletrônico: 

http://www.sitedaescola.com/ferramentas/dokeos/courses/PROAVA/document/documentos_projeto/Ciclo_de_A 

Ensinar é um processo que envolve uma meta explícita, a aprendizagem. De 

acordo com Vygotsky, a aprendizagem das crianças se inicia antes de sua entrada na 

escola, são conceitos espontâneos que são formados no cotidiano, nas relações sociais 

da criança, no seu meio e na sua cultura. 

A criança se utiliza dessa aprendizagem adquirida no dia-a-dia (os conceitos 

espontâneos) sem estar consciente deles, pois sua atenção está centrada no objeto ao 

qual o conceito se refere e nunca no próprio pensamento. Os processos de formação dos 

conceitos espontâneos e dos conceitos científicos se relacionam e se influenciam 

constantemente, fazendo parte de um único processo: o desenvolvimento da formação 

de conceitos. 

O professor deve ser o mediador entre a criança e os conceitos científicos. O 

processo de aprendizagem deve desenvolver-se a partir de atividades que levem o aluno 

a tornar-se o agente da elaboração do conhecimento, mobilizando sua inteligência, 

vinculando a atividade escolar à vivência do aluno. 

Este Objeto de Aprendizagem (OAC) enfoca o conteúdo de Razão e Proporção 

como um instrumento matemático poderoso e aplicável diretamente ao cotidiano das 

pessoas. A indicação de sítios na Internet, leituras esclarecedoras e os demais recursos 

auxiliam a realização de um bom trabalho. 

3

Referências: 

SILVEIRA, E.; SOARES RODRIGUES, J. M. Coleção gira Mundo, Rio de Janeiro, n.48, 2007. 

Disponível em: 

http://www.multirio.rj.gov.br/portal/_download/gira48.pdf 

NUNES, T. É hora de ensinar proporção. nov. 2007. 


http://revistaescola.abril.ig.com.br/edicoes/0161/aberto/mt_244561.shtml 

GIOPPO, C. Ciclo de Aprendizagem. nov. 2007. 



VASCONCELOS, C.; PRAIA, J. F.; ALMEIDA, L. S. Teorias de aprendizagem e o ensino/aprendizagem das 

ciências: da instrução à aprendizagem. dez. 2007. 


http://pepsic.bvs-psi.org.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1413-85572003000100002&lng=en&nrm=is 

2-RECURSOS DIDÁTICOS 

2.1 SÍTIOS 

CURIOSIDADES SOBRE ARTE E ARQUITETURA 


http://www.picsearch.com/info.cgi?q=divina%20proporcao&id=AqFT8BbvSDT7uA0p9zVawZNXwFsm 

3-QjK4Ngs8oXYv0&start=1&opt=%26cols%3D6%26thumbs%3D4 

Acesso em jan de 2008. 

O sítio apresenta informações sobre o retângulo de ouro utilizado em estruturas 

arquitetônicas e em obras de arte. Traz informações sobre Fibonacci e sua famosa 

seqüência, fórmulas, propriedades e aplicações desses números na natureza. 

4

SEQÜÊNCIAS DE FIBONACCI: PROPRIEDADES MATEMÁTICAS 


http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib1.htm 

Acesso em jan de 2008. 

No sítio você poderá obter informações sobre a seqüência de Fibonacci , 

propriedades e aplicações da seqüência como: estudo genealógico de coelhos, 

comportamento da luz e crescimento de plantas entre outros. 

VÍDEOS DE MATEMÁTICA 


http://portal.mec.gov.br/seed/arquivos/pdf/guia9604/matematica.pdf 

Acesso em dez, 2007. 

Neste sítio o professor de matemática encontra sugestões de vídeos sobre arte e 

matemática ,dicas para trabalhar taxas e índices , sugestões para aproveitar o 

conhecimento que a criança já possui dos números e orientações para facilitar a 

aprendizagem da geometria com jogos e brincadeiras. A série Matemática Interativa 

apresenta uma série de 4 programas que mostra como o uso do computador pode 

contribuir para melhorar o ensino da matemática. 

O NÚMERO Φ E A SÉRIE DE FIBONACCI 

http://www.seara.ufc.br/donafifi/fibonacci/fibonacci6.htm 

Caro professor, neste site você poderá se aprofundar sobre aplicações da série de 

Fibonacci na física. 

Acesso em jan,2008. 

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2.2 VÍDEOS 

VÍDEO 1 : MALDITAS ARANHAS 

Título: Malditas Aranhas 

Direção: Ellory Elkayem 

Produtora: Warner Bros Pictures 

Duração: 01h40min 

ANO: 2002 

O trailer do filme Malditas Aranhas é utilizado para motivar o aluno, 

despertando sua curiosidade, iniciando o conceito de razão e proporção 

exóticas. 

As aranhas gigantes são resultado da mistura de lixo tóxico com aranhas 

Um latão de lixo tóxico cai no riozinho que beira uma pequena cidade norte- 

americana, e o efeito é devastador, aranhas exóticas têm um crescimento exagerado. 

Elas se tornam gigantes e começam a atacar as pessoas da cidade. 

derrotá-las. 

Os habitantes têm que se unir para enfrentar essas aranhas e descobrir como 

Liderado por Chris McCormack e pela bela xerife Sam Parker, os moradores se 

mobilizam a fim de permanecerem vivos. 

VÍDEO2:CONCEITO NO DIA-A-DIA 

Ministério da Educação-MEC 

O vídeo apresenta o conteúdo de razão e proporção como integrante de nossas 

vidas e presente tanto na natureza como também em obras de arte, e em nosso cotidiano. 

Mostra-nos o desenvolvimento histórico do conceito de proporcionalidade, 

desde Euclides,passando pelo Renascimento, arte moderna e na atualidade. 

Apresenta uma visão ampla da matemática, mostrando que matemática é muito 

mais do que fazer contas, é estabelecer relações e verificar padrões existentes na 

natureza. 

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Referência: 

Título: Conceito no dia-a-dia 

Matemática na vida: razão e proporção 

Autor: Ministério da Educação-MEC 

Idioma: Português 

Instituição: Parceria [ME] Ministério da Educação 

Formato: wmv 

Tamanho: 49,97 MB 

Tempo: 13min:35 s 


http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_action=&co_obra=20843 

Acesso em 06/11/2007 

Caro colega, caso opte por iniciar o conteúdo de proporção pela indagação sobre 

a existência de aranhas gigantes na vida real pode-se apresentar o DVD do tempo 9:22 

min até 11:07 min. 

Utilizando o mesmo DVD do início até o tempo 9:21 min., o professor(a) poderá 

abordar o conteúdo de Razão e Proporção como um tema comum ao nosso cotidiano 

encontrado na natureza, na fabricação de alimentos, concreto, obras de arte, maquetes e 

até mesmo nos filmes. 

Poderá realizar também uma abordagem interdisciplinar com a disciplina de 

ciência do tempo 11:08 min até o final 13:35 min trabalhando o conteúdo Efeito Estufa. 

VÍDEO 3:PROPORÇÃO DIRETA E INVERSA 


Referência: 

Título: Proporção direta e inversa 





Formato: wmv 

Tamanho: 44,99MB 

11min 

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Acesso em 06/11/2007 


Este vídeo tem como objetivo explicitar a relação entre velocidade, tempo e o 

conceito de proporcionalidade direta e inversa, além disso, aborda a relação entre o 

valor e a quantidade de produto a ser comprada. 

VÍDEO 4:A DIVISÃO E SUAS INTERPRETAÇÕES 


Referência: 

Título: a divisão e suas interpretações 





Formato: wmv 


12:15 min 


Acesso em 06/11/2007 


comparação. 

O DVD apresenta e explica os diferentes tipos de divisão: partilha medida e 

Trabalhando o tema proporção, o professor poderá destacar o tipo de divisão 

comparação. Na comparação identificamos quantas vezes a medida de determinada 

grandeza é maior que outra medida de mesma grandeza. 

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VÍDEO 5:SEMELHANÇA 


Referência: 

Título: semelhança 





Formato: wmv 


12 min 


Acesso em 06/11/2007 


Tanto professor quanto alunos poderão aprofundar seus conhecimentos quanto 

ao conceito matemático de semelhança. O vídeo explicita a relação entre os conceitos de 

semelhança e proporcionalidade direta. Também apresenta a relação entre semelhança e 

escala. 

Os vídeos 2 a 5 também estão disponíveis em DVD: 

Ministério da Educação. Secretaria de Educação a Distância. TV Escola. Matemática, 

V.21. Matemática na vida-razão e proporção. 

VÍDEO 6:O NÚMERO DE OURO-ARTE E MATEMÁTICA VOLUME 2 

Traz o número de ouro, que é o resultado da divisão dos lados de um retângulo áureo. A 

proporção áurea foi eleita pelos gregos como critério estético de perfeição e harmonia, 

tratada aqui neste programa pelo matemático Leonardo Fibonacci, no século XII através 

de seus estudos sobre o conceito. 

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Referência: 

Título: semelhança 

Matemática: Arte e Matemática 




Formato: wm 

25:21 min 

VÍDEO 7:DONALD NO PAÍS DA MATEMÁGICA 

Direção: Hamilton S. Luske 

26 min 

O desenho apresenta o pato Donald numa jornada pelas maravilhas da 

Matemática. Donald viaja para a Grécia antiga no tempo de Pitágoras e os Pitagóricos 

para descobrir a matemática existente na música e dentro do Pentagrama descobre o 

segredo da regra de ouro que os gregos admiravam pelas suas proporções. 

No vídeo podemos verificar forte relação entre Arte e Matemática no que se 

refere a música de Pitágoras e ao retângulo de ouro presente na natureza, construções 

arquitetônicas , artes e nas proporções do corpo humano. 

VÍDEO 8:UMA VERDADE INCONVENIENTE 

Título: Uma Verdade Inconveniente (An Inconveniente Truth) 

Gênero: Documentário 

Duração: 100 min 

Ano:2006 

Direção: Davis Guggenheim 

Elenco: Al Gore 

Vencedor do Oscar no ano de 2007, o documentário expõe as conseqüências do 

aquecimento global. 

No documentário Al Gore ex-vice-presidente dos Estados Unidos no governo de 

Bill Clinton de 1993 a 2001, candidato derrotado por George W. Bush na campanha 

presidencial dos EUA em 2000, aparece como conferencista, levanta questões essenciais 

as conseqüências do aquecimento global. 

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Uma verdade Inconveniente, dirigido por Davis Guggenheim, potencializa as 

informações sobre o aquecimento global. Mostra como e por quais motivos a emissão 

de substâncias poluentes e o mau uso dos recursos naturais têm impactado no 

aquecimento global. 

A mensagem do filme é clara: devemos agir logo para evitar que nosso futuro e 

de nossas crianças venha a ser destruído. 

Esse documentário poderá ser utilizado para iniciar questionamentos sobre os 

problemas ambientais que será abordado na aula de modelagem matemática:Proporção e 

Desperdício de Água. 

Para assitir ao trailer acesse: http://www.youtube.com/watch?v=Yh330_gkOsU 

Acesso em fev ,2008. 

2.3 PROPOSTA DE ATIVIDADE: 

Aula: Razão e Proporção 

6 ª Série 

Tema: Proporção e Desperdício de Água. 

ESTÁGIO 1 : ENVOLVIMENTO 

a )CONTEÚDO DA 1ª AULA: proporção 

b) OBJETIVO: verificação e exploração dos conhecimentos prévios dos alunos. 

c) METODOLOGIA: iniciar questionamentos: 

Um dos alunos será o relator e irá anotando as afirmações dos colegas. 

1-Alguém já viu animais gigantes? Onde? 

Assistir ao trailer do filme: MALDITAS ARANHAS. 

Em seguida prosseguir com questionamentos. 

2-Por que aranhas gigantes só existem em filmes? 

3-Seria possível existir aranhas gigantes na vida real? E por quê? 

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Sobre a possibilidade de existência de aranhas gigantes na vida real apresentar 

um trecho do DVD: CONCEITO NO DIA A DIA- MATEMÁTICA NA VIDA: Razão 

e Proporção - TV Escola MEC.o DVD do tempo 9:22 min até 11:07 min. 

Abordar em seguida o tema proporcionalidade. 

4-Vocês já ouviram falar em proporção ou proporcionalidade? 

5-Onde ouviram? 

6-Qual a idéia que vocês têm de proporcionalidade? 

Questionar aos alunos: Onde mais em nossa vida utilizamos à 

proporcionalidade? (coletar a resposta dos alunos para ser trabalhada nas próximas 

aulas). 

d) AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA: escolher um aluno para ser o relator que anotará as 

perguntas realizadas e comentários dos alunos. 

A avaliação diagnóstica considerará a participação e respostas dos alunos às questões 

desta unidade. 

e)FERRAMENTAS TECNOLÓGICAS: Vídeos: MALDITAS ARANHAS e DVD: 

CONCEITO NO DIA A DIA - MATEMÁTICA NA VIDA: Razão e Proporção - TV 

Escola MEC. 

ESTÁGIO 2 :EXPLORAÇÃO 

a)CONTEÚDOS: grandezas e medidas, funções, números e operações, tratamento da 

informação. 

b) OBJETIVO: verificação e exploração dos conhecimentos prévios dos alunos. 

c) METODOLOGIA: formação de equipes, pesquisa , coleta de dados ,após, 

sensibilização utilizando trailer do documentário “Uma Verdade Inconveniente” e 

posteriormente ,o recurso PowerPoint com questionamento e imagens iniciando 

pesquisa sobre o desperdício de água. 

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O filme Malditas Aranhas alerta para um grave problema, qual seja, a poluição. 

No texto abaixo retirado do livro de matemática da sexta-série: Projeto Araribá na 

página 188 ressaltam-se problemas que teremos no futuro se não nos atentarmos para a 

questão ambiental. 

A população global não pára de crescer. Segundo a ONU, até 2050, seremos 

aproximadamente 9 bilhões e 300 milhões de habitantes.Contudo, a quantidade de água 

disponível para consumo não aumenta; pelo contrário, está ameaçada pelo alto grau de 

poluição e pelo aquecimento global- de redução em cerca de um terço nos próximos 

vinte anos. Por isso, além da urgente união dos governos mundiais para uma gestão 

inteligente dos recursos hídricos, é de primeira importância que todos combatam o 

desperdício. Você sabe qual é o desperdício aproximado de água em litros de uma 

simples torneira pingando em um dia? 

Imagens no PowerPoint: 

Eleger um relator que irá anotar as observações dos alunos. 

Sugerir uma volta no pátio do colégio para verificar se há torneiras abertas ou 

pingando e tentar calcular o desperdício dessa água. 

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desperdício. 

Perguntar aos alunos que instrumentos poderiam ser usados para medir esse 

O relator irá anotar as sugestões. 

Voltando a sala, organizar os alunos em equipes de 4 alunos: sendo um 

coordenador do grupo, um relator, um apresentador, um coletor de informações ou 

dados. 

PROBLEMAS RELACIONADOS AO DESPERDÍCIO DE ÁGUA. 

Cada equipe realizará uma pesquisa em dez casas de sua vizinhança tentando 

descobrir se alguma delas apresenta uma torneira com defeito. Esse encaminhamento 

didático foi inspirado no trabalho desenvolvido na prefeitura do Rio de Janeiro de 

autoria de Everaldo Silveira e José Maria Soares Rodrigues in Modelagem Matemática 

na Escola. 

Com os dados levantados, estime a quantidade de água em litros de uma simples 

torneira pingando em um dia. Caso não haja nenhuma torneira pingando em sua 

vizinhança, faça uma simulação com uma torneira em sua casa. 

Cada equipe deverá trazer os dados da pesquisa respondendo a questão: 

• Qual é o desperdício aproximado de água em litros de uma simples 

torneira pingando em um dia? . 

Cada equipe também poderá apresentar uma reportagem, trecho de vídeo ou 

documentário de no máximo 10 minutos de diversas fontes como: Internet, revistas, 

jornais e livros que levantem problemas relacionados à escassez ou desperdício de água. 

d)AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA : Durante a volta no pátio do colégio o relator 

anotará as perguntas realizadas e comentários dos alunos. 

A avaliação diagnóstica considerará a participação e respostas dos alunos às questões 

desta unidade. 

e)FERRAMENTAS TECNOLÓGICAS :Documentário: “ Uma Verdade 

Inconveniente” e Imagens no PowerPoint com questionamentos. 

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ESTÁGIO 3:EXPLICAÇÃO 

a)CONTEÚDO: grandezas e medidas, funções, números e operações, tratamento da 

informação. 

b) OBJETIVO: interpretação e análise dos dados coletados para em seguida trabalhar 

novos conceitos 

• Descobrir a quantidade de água desperdiçada em função do tempo. 

c) METODOLOGIA: Cada equipe deverá nesta aula apresentar os dados coletados, 

reportagem e responder a novas questões. 

1)Quantos litros de água você imagina que uma pessoa de hábitos comuns usa por dia? 

2)Segundo sua estimativa de uso diário por pessoa, qual deverá ser o consumo 

mundial diário de água em 2050? E o consumo de 50% da população mundial nesse 

mesmo ano? 

3) De acordo com os dados coletados por todas as equipes, qual foi o desperdício 

aproximado de água em litros por dia de uma torneira pingando? 

4)Você acha esse desperdício grande ou pequeno? Por quê? 

5)Quantas garrafas do tipo PET (de 2 litros) poderiam encher com a quantidade de 

água gasta por uma torneira pingando durante um dia? 

6) Cite alguns exemplos do que poderia ser feito com essa água. 

7) Ao final de um mês, quantos litros de água serão desperdiçados por uma torneira 

pingando? 

8) Se a quantidade de meses triplicarem, o que vai acontecer com a quantidade de água 

desperdiçada? E se a quantidade de meses for reduzida a metade? 

9) O que ocorre quando há variação da grandeza ;quantidade de meses em relação à 

grandeza ,quantidade de água desperdiçada? 

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10)Duas torneiras estão vazando. Em 5 horas, a primeira torneira despeja 12 litros de 

água, enquanto, em 3 horas, a segunda 9 litros. Qual delas gera maior desperdício? 

Explique seu raciocínio. 

d)AVALIAÇÃO: apresentação dos dados coletados e pesquisa 

• Análise das questões 1 a 10. 

ESTÁGIO 4:ELABORAÇÃO OU APROFUNDAMENTO. 

a)CONTEÚDO: razão, proporção, grandezas e medidas, funções, números e operações, 

tratamento da informação. 

b) OBJETIVO: reforçar os conceitos aprendidos possibilitando a aplicação desses 

conhecimentos a novas situações do cotidiano. 

c) METODOLOGIA: Responder a questões. Discussão e análise das respostas dadas 

pelos alunos, em seguida retomada das questões da primeira aula. Conclusão com 

trecho do DVD:CONCEITO NO DIA-A-DIA- MATEMÁTICA NA VIDA: Razão e 

Proporção-TV Escola MEC do início até o tempo 9:21 min 

Em equipe os alunos deverão responder as questões: 

1) Em quais situações observamos que a variação de certa grandeza está 

relacionada com a variação de outra? Exemplifique sua resposta. 

2) Dê exemplos de grandezas proporcionais? 

3) O conceito de porcentagem é encontrado em quais atividades do nosso 

cotidiano? 

4) Você sabe representar 50% na forma de fração? E na forma de número decimal? 

Apresentar DVD: PROPORÇÃO DIRETA E INVERSA: - TV Escola MEC 

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AVALIAÇÃO : Fechamento da unidade. 

Os alunos deverão responder as seguintes questões. 

1) O que você já sabia sobre o assunto proporção? 

2) Escreva um pouco sobre o que você aprendeu ao estudar o assunto. 

3) Quais as diferenças entre o que você sabia e o que sabe agora? 

4)Esse conhecimento adquirido pode ser utilizado em suas atividades diárias ? 

5)Propor uma ação efetiva a respeito da escassez de água. O que cada um pode 

fazer? 

Apresentar trailer do documentário : Uma Verdade Inconveniente. 

REFERÊNCIAS: 

Obra coletiva. Projeto Araribá matemática 6ª série. 1. ed. São Paulo: Moderna, 2006 

WARNER BROS.Pictures. Malditas Aranhas 

GIOPPO, C. Ciclo de Aprendizagem. nov. 2007. 



SILVEIRA, E.; SOARES RODRIGUES, J. M. Coleção gira Mundo, Rio de Janeiro, n.48, 2007. 


http://www.multirio.rj.gov.br/portal/_download/gira48.pdf 

TV ESCOLA, MEC. Conceito no Dia-a-Dia-Matemática na Vida-Razão e Proporção. dez. 2007. 



Título: Proporção direta e inversa 


TV ESCOLA, MEC. Proporção Direta e Inversa-Matemática na Vida-Razão e Proporção. dez. 2007. 



Documentário: Uma Verdade Inconveniente. Fev, 2008 

http://www.youtube.com/watch?v=Yh330_gkOsU 

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2.4 IMAGENS 

Imagem selecionada no banco de Imagens do Portal 

Marcus Vitruvius Pollio, arquiteto e escritor romano do século I escreveu um 

dos primeiros documentos sobre a percepção das proporções humanas. Para ele a altura 

de um homem bem formado é igual ao alcance de seus braços estendidos. Essas duas 

medidas formam um quadrado que encerra o corpo inteiro, enquanto que as mãos e os 

pés tocam o círculo que tem seu centro no umbigo. 

Quando a Renascença redescobriu as ruínas clássicas da Grécia e de Roma, 

Leonardo da Vinci ilustrou a versão dessa idéia de Vitruvius com esse famoso desenho: 

Homem vitruviano. (DOCZI, 2004). 

Imagem selecionada no Flickr em janeiro de 2008 

Fotos de tsak_d. 

http://www.flickr.com/photos/96602242@N00/2106420864/in/set-72157601898208702 

Para homenagear seus deuses, os gregos construíram templos baseados na 

proporção áurea. O mais famoso é o Parthenon de Atenas cuja fachada principal cabe 

em um retângulo áureo deitado. 

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Fotos Anataman 

Imagem selecionada no Flickr em janeiro de 2008 

http://www.flickr.com/photos/anataman/234806624/ 

Esta é a imagem do Náutilus um cefalópode marinho que apresenta o corpo segmentado 

em forma de espiral e que apresenta a razão áurea em seu desenvolvimento. 

3-RECURSO DE INFORMAÇÃO 

3.1 SUGESTÃO DE LEITURA 

3.1.1-O CONCEITO DE PROPORCIONALIDADE NO ENSINO FUNDAMENTAL 

Disponível em 

http://www.ime.unicamp.br/erpm2005/anais/m_cur/mc04.pdf 

Acesso em 13/11/2007 

A professora Dra. Roseli de Alvarenga Corrêa destaca a importância do estudo 

do tema Razão e Proporção, não apenas como um conteúdo matemático em si, mas 

principalmente como um “formador” de estruturas cognitivas para a compreensão de 

outros importantes conceitos matemáticos. 

Num sentido metodológico, é importante conhecer algumas idéias de autores que 

consideram o tema em seus diferentes enfoques, de forma que amplie nossos horizontes 

no sentido de pensar a proporcionalidade como um assunto ,cujo aprendizado, vai além 

de situações puramente técnicas, como é o caso da regra de três e que se possa estruturar 

o estudante a resolver problemas nas diversas áreas do conhecimento com compreensão, 

significado e habilidade. 

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3.1.2 – O PODER DOS LIMITES:HARMONIAS E PROPORÇÕES NA 

NATUREZA, ARTE E ARQUITETURA. 

DOCZI, G. O Poder dos Limites. Tradução de Maria Helena de Oliveira Tricca e 

Júlia Bárány Bartolomei. São Paulo: Mercuryo, 2004. 

O título da obra O PODER DOS LIMITES foi inspirado numa frase de 

Pitágoras: O limitado dá forma ao ilimitado. Daí estar o poder nos limites. 

Dóczy busca os padrões harmônicos na Natureza, padrões que são trazidos 

inconscientemente às artes, ao comportamento e à cultura do homem. 

São 143 páginas contendo ilustrações ,explicações de proporções na Natureza, 

arte e arquitetura. 

3.1.3 – ATIVIDADES E JOGOS COM RAZÃO E PROPORÇÃO 

Referência: SMOOTHEY, Marion. Atividades e Jogos com Razão e Proporção. 

Tradução e revisão técnica Antonio Carlos Brolezzi-São Paulo: Scipione, 1998. - 

Coleção investigação matemática. 

O livro nos apresenta o conteúdo de Razão e Proporção de uma forma divertida, 

simplificada como o seu nome propõe, diversas atividades e jogos sobre esse conteúdo. 

3.2 NOTÍCIAS 

A reportagem especial de Veja: A fronteira Final de 11 de abril de 2007 

apresenta 18 páginas dedicadas às conseqüências do Aquecimento Global. 

Disponível em Veja on-line: 

http://veja.abril.com.br/110407/p_078.shtml 

Acesso em dez de 2007. 

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Abordando o tema: Os Sinais do Aquecimento Global e Suas Conseqüências, o 

professor poderá trabalhar o conteúdo Razão e Proporção de forma interdisciplinar com 

Geografia e Ciência. 

O Aquecimento Global é causado pelo aumento das proporções dos gases do 

efeito estufa na atmosfera, principalmente o dióxido de carbono, resultado da atividade 

humana. Esses gases formam uma espécie de cobertor em torno do planeta, impedindo 

que a radiação solar, refletida pela superfície em forma de calor, se dissipe no espaço. O 

efeito estufa é um fenômeno natural, que garante condições de temperatura e clima 

necessários para a existência de vida na Terra, mas agora há um desequilíbrio. Exame 

realizado em amostras de gelo demonstra que a concentração de dióxido de carbono na 

atmosfera tem oscilado para mais e para menos ao longo dos séculos, mas nunca foi tão 

elevado como hoje. 

Na página 85 a revista Veja mostra um gráfico indicando a variação de 

concentração de CO2 (em ppm) e a temperatura média do planeta de 720.000 anos atrás 

até os dias atuais. O manto de gelo da Antártica se acumulou em camadas sucessivas à 

razão média de 5 centímetros por ano. Amostras de ar do planeta ficariam encapsuladas 

em bolhas em cada camada. Os cientistas hoje usam brocas para extrair pedaços 

cilíndricos desse gelo ancestral com profundidade que ultrapassa os 3.000 metros. Dessa 

forma, conseguem obter amostras do ar da Terra de até quase 800.000 anos atrás. Umas 

das conclusões: altas concentrações atmosféricas de gases ligadas ao efeito estufa 

podem ser produzidas apenas pela natureza - sem a participação do homem. Mas, 

quando se somaram as fontes naturais desses gases-como às erupções vulcânicas – com 

as fontes inerentes ao atual estágio tecnológico da civilização - fábricas e motores- , as 

concentrações atingem índices recordes. 

21

A reportagem indica que as calotas Polares estão no limite da resistência. O 

Ártico e a Antártica são o termômetro das atuais alterações ocorridas no clima. Lá as 

mudanças ocorrem de forma rápida e intensa do que em qualquer outra parte do mundo. 

No ártico, o ritmo da elevação da temperatura na atmosfera é o dobro da média global. 

A calota gelada do Oceano ártico deve desaparecer totalmente durante o verão a partir 

de 2060. A sobrevivência dos ursos polares está ameaçada pela redução da área de mar 

congelado, seu território de caça. Ninguém pode ficar indiferente diante dessas 

mudanças. O que ocorre nas regiões polares tem repercussão direta no equilíbrio 

climático em escala planetária 

Como o Aquecimento dos Pólos Afeta o Clima? 

O Gelo da Antártica e do Ártico é uma peça - chave na manutenção do equilíbrio 

do clima no planeta. O degelo nos pólos aumenta o volume de água doce despejado no 

mar, reduzindo sua salinidade. Isso pode enfraquecer as correntes marítimas. É um 

22

perigo. Sem o calor da corrente do Golfo, o norte da Europa Ocidental teria invernos tão 

rigorosos quanto os do Canadá, localizado na mesma latitude. O branco do gelo e da 

neve reflete 90% da radiação solar que recebe. Chamado albedo, esse processo ajuda a 

manter a temperatura média do planeta em 14,6 graus. O gelo marinho é uma barreira 

adicional, impedindo que os raios solares sejam absorvidos pelos oceanos polares. O 

aumento da temperatura nos pólos compromete a troca de calor na atmosfera, o que 

pode acentuar manifestações climáticas extremas, como tempestades, ondas de calor e 

secas. A elevação do nível do mar era de 2 milímetros anuais.Aumentou para 3 

milímetros por ano na última década e deve dobrar nos próximos 100 anos.Os cientistas 

traçam três cenários possíveis , dependendo do nível de elevação da água. 

Cenário 1: o mar sobe 59 centímetros. 

Relatório da ONU prevê tal elevação até o fim do século. Leva-se em conta o 

derretimento do gelo das montanhas e de parte dos pólos e um aumento de 4 graus na 

temperatura. Os oceanos avançariam mais de 50 metros nas planícies costeiras, 

obrigando 100 milhões de pessoas a abandonar suas casas. 

Cenário 2 : o mar sobe 12 metros 

Seria preciso o derretimento de todo o gelo da Groenlândia e da Antártica 

Ocidental, o que não deve ocorrer neste século. Uma elevação de 12 metros inundaria 

boa parte do Rio de Janeiro e transformaria o Morro da Urca numa ilha. 

Cenário 3 : o mar sobe 70 metros. 

Seria preciso que toda a Groenlândia e a Antártica derretessem, o que é 

improvável nos próximos séculos. Todas as cidades costeiras do Brasil seriam varridas 

do mapa. Se o Atlântico fosse uma piscina, sem as diferenças de relevo das áreas 

costeiras, a Estátua da Liberdade, em Nova York, ficaria com água até o peito. 

O Ártico são as terras e mares acima do Círculo Polar Ártico. Também pode ser 

definido pela linha irregular que marca o fim da ocorrência de árvores nas ilhas e 

continentes. Apenas 20% da superfície do Ártico é coberta por gelo permanente, que 

não derrete no verão. Pesquisadores buscam um modelo matemático capaz de prever a 

quantidade de gelo que a Groenlândia perderá nas próximas décadas e que depende não 

só do nível dos oceanos, mas também do equilíbrio climático do planeta. Se o ritmo do 

derretimento aumentar, o enorme reservatório de água doce da Groenlândia poderá 

23

diluir a salinidade do mar. O resultado seria o enfraquecimento da corrente marítima do 

Golfo, cujo calor mantém amena a temperatura na Europa Ocidental. Não seria apenas 

um pesadelo para os europeus, mas um rompimento brutal do clima da Terra. 

A Antártica é o continente que concentra 90 % de gelo do planeta e dá os 

primeiros sinais dos efeitos do aquecimento global. Nos últimos cinqüenta anos, a 

temperatura se elevou 3 graus, dez vezes acima do aumento médio registrado no 

restante do planeta, nove em cada dez geleiras diminuíram. 

3.3 DESTAQUES 

HARMONIA 

Por harmonia geralmente entendemos um ajuste, uma junção ordenada e 

agradável dos diferentes que em si já carregam muitos contrastes. O conceito de 

Harmonia remonta a Pitágoras que, de acordo com a lenda, o descobriu ao ouvir o som 

do martelar das diversas bigornas em uma ferraria. Essa observação levou-o por 

analogia a outros instrumentos, como as cordas em vibração de uma lira. Descobriu que 

duas cordas tangidas ao mesmo tempo soam melhor quando são iguais ou quando uma 

tem ½, 2/3 ou ¾ do comprimento da outra. Em outras palavras quando o comprimento 

das cordas tangidas se relaciona em proporções que se expressam nos menores números 

inteiros: 1,2,3,4. (DOCZI, 2004,pág. 8). 

O ritmo é o elemento fundamental da música e se manifesta em todos os 

fenômenos da natureza como as marés, o ritmo cardíaco, a luz, o som, o padrão de 

crescimento vegetal. A essência de todas as vibrações e ritmos é a mistura de diferentes 

- fraco e forte, dentro e fora, em cima e embaixo, atrás e na frente num determinado 

intervalo periódico de tempo. Sempre unidos à idéia de ritmo encontramos o conceito 

de ordem, proporção, medida, repetição, sucessão e alternância. 

Na cidade de Zadar, na Croácia localiza-se um Órgão do Mar. Seus degraus são 

cravados nas rochas e têm um interessante sistema de tubulações que quando 

empurradas pelo movimento do mar, forçam o ar e dependendo do tamanho e 

velocidade da onda, criam notas musicais, sons aleatórios. Trata-se de um instrumento 

criado pelo homem e tocado pela natureza. 

O Órgão do Mar criado em 2005 e ganhador do prêmio europeu para espaços 

públicos: European Prize for Urban Public Space, recebe turistas de várias partes do 

mundo. 

24

Mais informações, imagens e sons no site abaixo: 

http://forum.lkmtheblog.com/viewtopic.php?t=43014 

http://www.youtube.com/watch?v=H5BOwPj8zSY 

http://www.youtube.com/watch?v=pQ9qX8lcaBQ 

Referência: 

DOCZI, G. O Poder dos Limites. São Paulo: Mercuryo, 2004. 

3.4 PARANÁ 

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ 

Marcado pelo estilo Neoclássico, o prédio Central da Universidade Federal é 

uma das mais belas obras arquitetônicas do país. Esta universidade é a mais antiga do 

Brasil e símbolo da cidade de Curitiba. Foi fundada em dezembro de 1912 e iniciou seu 

funcionamento em 1913 como instituição particular em um antigo prédio na Rua 

Comendador Araújo. 

A construção do prédio central da Universidade Federal do Paraná foi iniciada 

em 1913 e em 1950 a Universidade torna-se uma instituição pública e gratuita passando 

por remodelação e ampliação no ano de 1955. 

Nas construções Neoclássicas predominam elementos da arquitetura greco- 

romana e renascentista. Nelas, os arquitetos seguem à risca as regras de composição 

daqueles estilos, e as construções, de maneira geral, são sóbrias e com pouca decoração. 

Para homenagear seus deuses, os gregos construíram templos, e as construções 

eram todas baseadas na proporção áurea, sendo o mais famoso, o Parthenon de Atenas. 

25

Os gregos tratavam os monumentos como grandes esculturas, construídas com 

as mesmas normas de simetria e proporções ideais. Para os gregos, a beleza era dotada 

de geometria, de proporção, harmonia e equilíbrio. 

A arquitetura greco-romana influenciou a arte e a arquitetura de todos os 

períodos subseqüentes da civilização ocidental especialmente quando a Renascença 

redescobriu as ruínas clássicas da Grécia e de Roma. 

Outras informações no endereço: 

http://www.ufpr.br/adm/templates/p_index.php?template=1&Cod=81&hierarquia=6.1.2 

4.RECURSOS DE INVESTIGAÇÃO 

4.1 INVESTIGAÇÃO DISCIPLINAR 

O tema proposto na atividade foi Proporção e Desperdício de Água. Após a 

abordagem do conteúdo Razão e Proporção, o professor poderá abordar também o 

conteúdo de funções. 

Conteúdo Estruturante: Funções 

Quando há uma correspondência entre duas grandezas x e y, de modo que para 

cada valor de x fica determinado um único valor de y, dizemos que y é função de x. 

Atividade: Funções 

Suponhamos que uma torneira, em nossa casa, despeje 5 litros de água a cada 

minuto. Baseado nessa informação complete o quadro a seguir. 

Tempo 

(minutos) 

Volume 

(litros) 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 

Com base nas informações do quadro, responda: 

26

a) Quanta água será desperdiçada depois de 20 minutos? 

b) À medida que o tempo passa o volume de água despejada também aumenta? Por 

quê? 

c) Se duplicarmos o tempo de 10 para 20, o que acontece com o volume 

correspondente?E se triplicar o tempo de 10 para 30 o que acontece com os 

volumes correspondentes? 

d) Volume e tempo são grandezas de proporcionalidade direta?Justifique. 

e) O que se pode concluir quanto o volume de água e o tempo?Estabeleça uma 

relação. Uma equação matemática. 

f) No laboratório de informática construir um gráfico utilizando planilhas 

eletrônicas como, exemplo, o Excel. 

g) Análise do gráfico. 

4.2 PERSPECTIVA INTERDISCIPLINAR 

A Articulação entre Arte e Matemática. 

Contextualizar a Matemática com conceitos e procedimentos artísticos e 

estabelecer inter-relações entre os diversos conhecimentos poderá vir a amenizar o 

aprendizado da Matemática de forma mecânica, tornando-a uma disciplina que 

desenvolva a diversidade de pensamento e a criatividade. 

27

Ao observar a natureza, o homem criou seus mecanismos de contagem, de 

medida, de proporção e aprendeu a registrar suas conclusões. O registro encontrado em 

cavernas pré-históricas indica que o homem se preocupava em registrar seus pertences e 

suas caçadas. 

Desde os Primeiros Tempos, temos registros de manifestações artísticas e 

matemáticas no comportamento humano. O pensamento humano expressava-se, com 

certeza, até na escolha da caverna, onde, intuitivamente, a proporcionalidade entre o 

espaço disponível e o número de habitantes do grupo levado em consideração. O 

pensamento artístico dominava magicamente os desafios da natureza. A arte era 

produzida pelo homem caçador, que desenhava bisões e mamutes, registrando suas 

marcas nas paredes das cavernas, como forma de domínio, poder e força. O homem 

primitivo também construiu armas, instrumentos e utensílios de pedra, ossos e troncos, 

em que as relações entre as formas, suas dimensões e usos são evidentes para nós. São 

precisões, igualdades e variações que afloram ao nosso olhar. (VIEIRA e RIBEIRO, 

2002). 

A sensibilidade estética está presente tanto na arte quanto na matemática. A 

estética aborda, em suma, a contemplação da beleza, quer seja esta artística, natural ou 

intelectual. 

É justamente sob o viés da estética que iremos descortinar grandes encontros 

entre a arte e a matemática, pois ambas fazem parte do mesmo gesto com que o homem 

buscou o mundo, o outro e a si próprio. 

O cristal encontrado na natureza apresenta delicada simetria 5 das faces.A pirita 

ou sulfeto de ferro, geralmente denominado “ouro dos tolos”, ocorre na natureza como 

cubos entrelaçados.A seção de um favo de mel de abelhas consiste de hexágonos que 

favorecem a máxima armazenagem.Na espiral da concha do Nautilus, observa-se uma 

propriedade bastante interessante: o animal cresce numa mesma proporção .Essa 

proporção é chamada de proporção Áurea.( VIEIRA e RIBEIRO,2002). 

A proporção Áurea já era conhecida pelos antigos gregos e romanos. A 

percepção das proporções humanas tem variado muito ao longo dos séculos. Segundo 

Protágoras, filósofo grego do século V a.C. “O homem é a medida – padrão de todas as 

coisas”. 

Um dos primeiros documentos sobre este assunto foi escrito por Marcus 

Vitruvius Pollio, arquiteto e escritor romano do século I. Em sua obra Ten Books on 

Architecture recomenda que os templos para que fossem magnificentes, deveriam ser 

construídos tendo por base a analogia do corpo humano bem formado no qual - assim 

dizia- existe uma harmonia perfeita entre todas as partes. 

28

Para Vitruvius a altura de um homem bem formado é igual ao alcance de seus 

braços estendidos. Essas duas medidas formam um quadrado que encerra o corpo 

inteiro, enquanto que as mãos e os pés tocam o círculo que tem seu centro no umbigo. 

Essas proporções recomendadas podem ser vistas nos templos Parthenon de 

Atenas e o templo de Atena em Priere. A fachada principal do Parthenom cabe em um 

retângulo áureo deitado, enquanto que a fachada do templo de Atena ergue-se dentro de 

dois desses retângulos. 

Quando a Renascença redescobriu as ruínas clássicas da Grécia e de Roma, 

Leonardo da Vinci ilustrou a versão da idéia de Vitruvius com seu famoso desenho: 

homem vitruviano. Os diagramas de barra e o diagrama triangular, que foram aqui 

adicionados ao desenho, mostram como as partes do corpo têm em comum as 

proporções da seção Áurea e o triângulo de Pitágoras. (DOCZI, 2004). 

Imagem disponível em: 

A notação a: b=c: d é uma proporção 

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm#fib21 

Acesso em jan. 2008. 

A Leonardo de Pisa chamado Fibonacci se deve a consideração de uma série de 

números famosos e interessantes. Em sua obra Líber Abaci, cujo significado é Livro dos 

Ábacos, um dos problemas é o dos pares de coelhos que têm como resultado uma 

seqüência numérica 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34..., onde a soma dos dois primeiros indica o 

terceiro (1+1=2), o segundo soma com o terceiro número e o resultado dá o quarto 

número (1+2=3) e, assim, a seqüência continua, sempre somando os dois últimos 

números para resultar no próximo da seqüência. Em relação aos números consecutivos, 

os seus quocientes tendem para o valor 1.618033988749895 que é o número de ouro ou 

relação Áurea. Na literatura, essa razão é freqüentemente representada pela letra grega 

phi (Φ). 

Na natureza observa-se que algumas plantas e árvores crescem de acordo com a 

seqüência de Fibonacci. O Nautilus constrói a sua casa e, à medida que cresce, vai 

29

construindo um novo compartimento. Cada compartimento é maior que o anterior, na 

proporção da seqüência de Fibonacci. Na espiral da concha do Nautilus observa-se que 

o animal cresce na proporção áurea. 

Na música, Pitágoras descobriu que os intervalos musicais são determinados por 

meio de relações entre números inteiros. O som, dividido de diversas maneiras, 

diferencia os padrões musicais de diferentes culturas. A presença da matemática torna- 

se flagrante nas relações entre som/cadência/ritmo, na gramática das escalas musicais e 

na maneira como os sons encadeiam-se na música, o que nos ajuda a identificar 

influências matemáticas e artísticas na essência do que podemos considerar como 

música. 

Na pintura, os artistas constataram que a geometria era de vital importância na 

obtenção da perspectiva ótica, que lhe conferia o efeito tridimensional. Pintores, 

escultores e arquitetos fizeram obras incríveis, usando a proporção áurea, Usavam-na 

não por acaso, mas porque intuitivamente sabiam que os objetos com esta proporção 

eram os mais agradáveis esteticamente. 

A utilização de números, proporções, simetria, ilusão de óptica, geometria 

projetiva, perspectiva linear e razão áurea em expressões artísticas de diferentes 

linguagens das artes visuais são alguns exemplos que evidenciam o uso intuitivo ou 

intencional de conceitos matemáticos por artesãos e artistas na busca do equilíbrio e da 

harmonia estética. (VIEIRA e RIBEIRO, 2002). 

VIEIRA, E. R.; RIBEIRO, E. S. Arte e Matemática na Escola. jan. 2008. 


http://www.tvebrasil.com.br/salto/boletins2002/ame/ame0.htm 

VIEIRA, E. R.; RIBEIRO, E. S. Um caleidoscópio de possibilidades. jan. 2008. 


http://www.tvebrasil.com.br/salto/boletins2002/ame/ametxt1.htm 

Seqüências de Fibonacci: Propriedades matemáticas, jan.2008. 


http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm 


30

cotidiano. 

4.3 CONTEXTUALIZAÇÃO 

O raciocínio proporcional está presente em diversas situações do nosso 

Quando realizamos uma divisão podemos encontrar basicamente três tipos: a 

partilha, a medida e a comparação. 

Basicamente, razão é uma divisão, o quociente de dois números, já um sistema 

proporcional consiste em relacionar duas razões dentro de uma igualdade, criando assim 

um elo entre elas, 

Em nossas atividades diárias utilizamos várias razões: quando calculamos a 

quantidade de quilômetros rodados por hora, a quantidade de reais gastos por litro, de 

reais gastos por quilo ou de quantidades de pessoas por lugar. 

Quando examinamos profundamente o padrão de uma flor como a margarida, as 

formas harmoniosas dos caracóis como o náutilus e a arquitetura das construções 

encontraremos uma unidade e uma ordem comuns a todos. Essa ordem pode ser 

percebida em algumas proporções que se repetem sempre, pela união de opostos 

complementares. 

A natureza segue um padrão matemático. Para saber classificar uma planta, por 

exemplo, um lírio, preciso saber o número de suas pétalas e o número de estruturas 

sexuais desta planta. Esses padrões harmônicos são encontrados na natureza e o homem 

incorpora esses padrões inconscientemente ou conscientemente nas artes , arquitetura e 

ao comportamento e à cultura do homem . 

A secção Áurea está presente em todos esses padrões na Natureza. Esses padrões 

se manifestam no crescimento de plantas, nas proporções do corpo humano, no trabalho 

de cesteiros, pintores e arquitetos. 

O conceito de proporcionalidade é essencial no aprendizado de muitos 

conteúdos de diversas disciplinas ensinadas no ensino fundamental, médio e superior, 

tendo aplicação nas áreas de geografia, física, química, entre outras. 


31

1 secretaria de estado da educação do paraná superintendência de ...

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