Capitulo 7 (188 kb)

7.1 O Traço da Função de Green
O traço da função de Green exata é dado por
( ε) ( , , ε)
G E + i = dq G q q E + i =
A Fórmula do Traço de Gutzwiller
∫ ∑
1
E − E + iε
n n
como discutido no Capítulo 1. De posse do resultado semiclássico para G( q", q', E + iε
) podemos agora fazer
essa última integral por fase estacionária. O resultado deste cálculo é a famosa fórmula do traço de
− ε t/
Gutzwiller. Na dedução que segue manteremos explícito o “fator de convergência” e e discutiremos seu
significado posteriormente.
A imposição de que a variação primeira de S(q”,q’,E) calculada em q” = q’ = q seja nula resulta em
ou, usando que
∂ ⎡ S ∂S
⎤
⎢ + ⎥
⎣ ∂q"
∂ '⎦
q
q" = q'= q
(1)
= 0 (2)
∂S
∂S
= p" e = − p'
(3)
∂q"
∂q'
vemos que p” = p’. Então, as trajetórias que mais contribuem para G( E + iε
) são as Órbitas Periódicas.
Expandindo S(q”,q’,E) em torno de uma dada órbita periódica q obtemos:
q'= q + δ q'
q"
= q + δ q"
T
q ⎡ 2 2 2
δ ∂ S ∂ S ∂ S ⎤
S( q", q', E) = S( q, q, E)
+ ⎢ + 2 + ⎥
2 ⎣ ∂q" ∂q"
∂q" ∂q'
∂q' ∂q'
⎦
q" = q'= q
δq

7 A Fórmula do Traço de Gutzwiller
Como ( q q,
E)
∫
S , = p.
dq e a integração é feita ao longo da órbita periódica, um deslocamento δq na
direção da própria órbita não altera seu valor. Usamos então o sistema de coordenadas de Gutzwiller
definido no capítulo anterior, onde x varia ao longo da órbita e y1, y2, ….yL-1 são coordenadas
perpendiculares. Com isso, procedemos à integração sobre dy1 … dyL-1 . Definindo
obtemos
G( E iε)
W
nm
2
2
2
2
∂ S ∂ S ∂ S ∂ S
= + + +
(4)
∂ y ∂ y ∂ y ∂ y ∂ y ∂ y ∂ y ∂ y
j
+ = ∑ L−1
∫
¡ ¡
j
i ( 2π
i ) 2
e
'
' " " '
" "
'n m n m n m n m
1
L−1
−ε
τ /
i i μ jπ iα
¡
2
jπ
dx
( 2π
) 2 S ( E) j − +
2 4
. ' 1/ 2 e
x
∂ S 2
j
det
∂y ∂y"
det W
onde j indexa as órbitas periódicas e α j ( ξ j ν j)
autovalores negativos) de W. Reescrevendo ( ) ( L )
de Maslov da órbita periódica por
obtemos
j
= − = (número de autovalores positivos) - (número de
ξ − ν = ξ + ν − 2 ν = − 1 − 2 ν e definindo o Índice
j j j j j j
σ j = μ j + ν j
G E i
i e
i
S dx S
£
j ( E) − ε τ j / ∂ 2
1 j 1
£
( + ε)
= ¢ ∑ ∫ det
j
x
∂y' ∂y"
det W
2
. 1/ 2
Antes de calcularmos essa última integral vamos analisar o pré-fator formado pelos determinantes.
Para isso vamos introduzir a Matriz de Monodromia Reduzida M, de dimensão 2(L-1) x 2(L-1) definida da
'
δy', δp
y em relação à um ponto da órbita periódica
seguinte forma: considere um pequeno deslocamento ( )
(que podemos indexar por x1). Propagando esse ponto por um período da órbita periódica obtemos um novo
"
δy", δp
y também vizinho do ponto inicial. Na aproximação linear escrevemos
ponto ( )
e
'
δy" = Aδy'+ Bδp δp = Cδy'+ Dδp " '
y y
y
1
j
e
−iπσ
A B
M ≡
C D
⎛ ⎞
⎜ ⎟ (7)
⎝ ⎠
Os blocos de M estão diretamente ligados aos determinantes que temos que calcular. Para ver isso
diferenciamos a equação (3) e obtemos
2
j
(5)
(6)
82

7 A Fórmula do Traço de Gutzwiller
δp
δp
'
y
"
y
2 2
∂
∂ ∂ δ
S
y y y
= − ' −
' '
∂ S
= δy'
+
∂y' ∂y"
∂
∂ ∂ δ
S
y y y"
" '
2 2 .
∂ S
δy"
∂y" ∂y"
" '
Resolvendo esse sistema para δy" e δp
y em termos de δy' e δp
y e comparando com a
Equação (5) obtemos
e
2
∂ S −
= −B ∂y" ∂y'
2
∂ S −1
= + B A
∂y'∂y' 2
1
∂ S
1
C DB A B
∂y
y
T
−
= − = −
' "
2
∂ S
DB
∂y" ∂y"
=
−1
−1
−1 −1 −1 −1
[ ]
det W = det B A − B + C − DB A + DB
−1 −1 −1
( B ) [ A 1 BC BDB A BDB ]
= det det − + − +
det ( M − I)
= ( −1)
det ( B)
Essa última passagem pode ser mostrada da seguinte forma:
L−
A − I B
det ( M − I)
=
C D − I
(8)
1 . (9)
Fazendo a operação 2 a linha → 2 a linha - ( D-I )B -1 * (1 a linha) o determinante não se altera e
obtemos
A − I B
det ( M − I)
=
−1
C − ( D − I) B ( A − I)
0 =
L−1
−1
= ( −1) det [ BC − B( D − I) B ( A − I)
]
Dessa forma vemos que o pré-fator do integrando em (5) é dado por
83

7 A Fórmula do Traço de Gutzwiller
2 ⎛ ∂ S ⎞
det ⎜
y'
y"
⎟
⎝ ∂ ∂ ⎠
1
2
detW
1/
2
=
det B
2 / 1
1
detW
2 / 1
=
det
1
( ) 2 / 1
M − I
Como det (M-I) é um invariante da órbita periódica, isto é, não depende do ponto x, onde é
calculado, podemos retirar esse fator do integrando e escrever
1
G( E + iε)
=
i
j
e
i ¡
S ( ) j E −ε
τ j i
¡
/
πσj
dx −
2
1/ 2 . e
∑ ∫
det(
M − I)
Se conseguirmos mostrar que σ j é também um invariante da órbita periódica, podemos retirá-lo do
dx
sinal de integração e obter ∫ = ∫ dt = τ 0
¢ j = período primitivo da órbita.
x
Seguimos aqui a apresentação de Creagh et al [26] e assumimos que as cáusticas da função G(q, q,E)
2 ⎛ ∂ S ⎞
são apenas devido às divergências de det⎜
⎟ , e não devido aos “pontos de retorno” onde x = 0
⎝ ∂y' ∂y"
⎠
¢
.
Caso isso ocorra, sempre é possível trabalhar na representação de momentos e evitar essas cáusticas e o
resultado final será independente da representação escolhida. Se insistirmos em usar a representação de
coordenadas para librações (órbitas com pontos de retorno) teremos que fazer σ −> σ+2 para contar os dois
pontos de retorno.
Essa discussão mostra, no entanto, que tanto μ quanto ν dependem da escolha de representação,
embora esperamos que sua soma seja um invariante. Para ver que isso de fato ocorre lembramos que μ está
2 L 1
⎛ ∂ S ⎞ ( 1)
associado ao número de pontos singulares de det ⎜ ⎟ =
⎝ ∂y' ∂y"
⎠ det ( B)
−
−
x
.
(10)
. da Equação (9) segue que essa
quantidade é proporcional ao determinante de W, pois det ( M-I ) é um invariante. Assim, se calcularmos
μ e ν com função do ponto inicial x1 da órbita, vemos que, se em um determinado ponto x 1 o det (W)
muda de sinal, então det (B) também muda e um de seus autovalores passa por zero, indicando que μ + ν
deve permanecer constante.
Vamos agora, seguindo Creagh et al [26] , mostrar que σ é na verdade um “winding number” da
órbita periódica.
84

7 A Fórmula do Traço de Gutzwiller
7.2 O Índice de Maslov σ para Órbitas Instáveis
Vamos agora nos restringir a dois graus de liberdade apenas, L = 2. Nesse caso é fácil interpretar os
índices μ e ν geometricamente e depois entender σ como um “winding number”.
Começamos com μ. Este índice conta o número de vezes que
∂
2
S
vai a infinito ao longo da
∂y' ∂y"
órbita. A matriz de monodromia M faz o mapa linear de uma seção de Poincaré sobre ela mesma, após uma
volta completa sobre a órbita periódica. Definimos
( )
M x
a x b x
=
c x d x
⎛ ( ) ( ) ⎞
⎜ ⎟
⎝ ( ) ( ) ⎠
como a matriz que faz o mapa linear entre a seção de Poincaré em x = 0 e a seção de Poincaré em x > 0.
Quando x volta sobre o ponto inicial M(x) coincide com a matriz de monodromia M. Da Equação (8) vemos
que μ é o número de vezes que b(x) vai a zero ao longo da órbita. Veja que M(0) = I, isto é, b(0) = 0. No
entanto, como essa cáustica inicial não é atravessada, ela não contribui para μ.
0
Considere agora o vetor ξ0 =
1
⎛ ⎞
⎜ ⎟ . Aplicando M(x), vemos que ele é mapeado em
⎝ ⎠
b x
ξx =
d x
⎛ ( ) ⎞
⎜ ⎟
⎝ ( ) ⎠
¡
Quando b(x) = 0, ξx fica paralelo ao vetor inicial ξ 0 . Assim, μ conta quantas vezes
eixo dos momentos no sentido horário, menos o número de vezes que cruza no sentido anti-horário, quando
propagado ao longo da órbita. Ou seja, μ conta o número líquido de vezes que
momentos no sentido horário.
Se t e t -1 são autovalores de M, com | t | > 1, e e u e es
se t > 0 temos uma órbita hiperbólica direta e, após uma volta completa,
que
¡
ξ 0 . Se t < 0, órbita hiperbólica com reflexão,
t > 0
(a) (b)
es
py
eu
y
¡
ξ 0 cruza com o
¡
ξ 0 cruza o eixo dos
são autovetores correspondentes, então
¡
ξ final está no mesmo quadrante
¡
ξ final estará no quadrante oposto (veja a seção 7.5):
es
py
eu
y
t < 0
85

7 A Fórmula do Traço de Gutzwiller
O ângulo entre
ξ ξ
0 e final
depende do valor de t.
Vamos agora ver o índice ν, que é o número de autovalores negativos de W, calculado após uma
volta completa em torno da órbita periódica. Para L = 2, W é um número que denotaremos w, e portanto ν
só pode ser 0 ou 1. Da Equação (9) temos que
(pois det M = 1). Assim
( ) a b
a d
w = ( ad bc a d )
b c d b b
− −
+ −
= − − − − + =
− 1 1 1
2
1
1
−1
tr( M)
− 2 t + t − 2
w = =
b b
Como | t + t -1 | > 2, o sinal do numerador é o sinal de t. O sinal de b também é fácil de determinar: se
t > 0, ξ final está como na figura (a) acima. Se ξ final está à direita do eixo py, b > 0 (cruzou o eixo um número
par de vezes) e se está à esquerda, b < 0. Seguindo a ref. [26], dividimos o plano y - py em quadrantes e
marcamos o valor do numerador de w , num(w), e de b de acordo com a posição ξ final . Os quadrantes são H,
I, J e K, sendo que J e H são subdivididos em J+, J-, H+ e H- :
Como o sinal de w é o produto dos sinais de num(w) e b obtemos:
H-
J+
py
b < 0
num(w) > 0
H+
K I
b < 0
num(w) < 0
b > 0
num(w) > 0
J-
b > 0
num(w) < 0
py
ν=1 ν=0
y
y
.
86

7 A Fórmula do Traço de Gutzwiller
ν=0
ν=1
Vamos agora analisar σ = μ + ν . Para isso vamos estender o conceito de ν para ν(x), embora o
índice verdadeiro, ν, só faça sentido quando calculado após uma volta completa em torno da órbita periódica.
Assim, definimos ν(x) como sendo zero enquanto
e J- . Não é necessário definir ν(x) nos quadrantes I e K, pois
ξ 0 percorre os quadrantes H+ e J+ e um nos quadrantes H-
ξ final nunca está neles.
Conforme ξ 0 varre o plano y - py, é fácil ver que σ não se altera nos quadrantes H e J, pois mudanças
em μ são compensadas por mudanças em ν. Também é fácil ver que cada vez que os quadrantes I ou K são
atravessados totalmente por
ξ 0 no sentido horário (anti-horário), σ aumenta (diminui) de 1. Assim, “σ é o
número líquido de intersecções horárias de ξ 0 com os quadrantes I e K”.
Finamente notamos que, como M é uma matriz simplética (e portanto não singular),
coincide com eu e es durante sua rotação pelo plano y - py. Em outras palavras,
ξ 0 nunca
ξ 0 arrasta as variedades
¡
¡
e u e es
, consigo, enquanto roda. Assim, o número de intersecções de ξ 0 com os quadrantes I e K é o
mesmo número de intersecções de
com esses quadrantes. A vantagem de se trabalhar com
¡
¡
e u ou es
¡
¡
¡
¡
e u ou es
é que, contrariamente à ξ 0 , eles voltam sobre si mesmos após uma volta completa: a cada meia
volta de e ou e σ aumenta de 1. Temos então o resultado:
u s
σ é duas vezes o número líquido de voltas dadas no sentido horário pelas variedades
estável ou instável ao percorrer a órbita periódica.
Outra conclusão muito importante é que o índice de Maslov para n voltas ao redor de uma órbita primitiva
de índice σ0 é nσ0.
Como σ é uma propriedade global da órbita periódica, podemos resolver finalmente a última integral
em (10) e obter
−i π σ −i π σ −i
πσ
dx
e = e dt = τ j e
x
∫ ∫
j j j
2 2 2 (11)
onde τj é o período primitivo, pois vem de uma integral em x, que só envolve uma volta ao longo da órbita.
7.3 O Índice de Maslov σ para Órbitas Estáveis
O caso estável é bastante simples e, como veremos, a fórmula do traço pode ser escrita de forma a
ficar independente de σ. A definição de μ não muda, sendo ainda o número líquido de vezes que o vetor
cruza o eixo dos momentos no sentido horário quando propagado ao longo da órbita.
ξ 0
87

7 A Fórmula do Traço de Gutzwiller
Assim temos:
Escrevendo os autovalores de M na forma e i ± θ
obtemos
tr( M)
− 2 2(cos θ − 1)
w = =
b b
Como o numerador é sempre negativo, sgn(w) = -sgn(b) e temos
O diagrama no plano y - py fica simplesmente
b < 0
ν = 0
b < 0
ν = 0
ν = 1 se b > 0
ν = 0 se b < 0
Se 0 < θ < π então μ = 0, ν = 1 e σ = 1
Se π < θ < 2π então μ = 1, ν = 0 e σ = 1
Se 2π < θ < 4π então μ poder ser 2 (2π < θ < 3π) ou 3 (3π < θ < 4π):
Se μ = 2, ν = 1 e σ = 3
Se μ = 3, ν = 0 e σ = 3
A regra para σ é muito simples em geral:
py
b > 0
ν = 1
b > 0
ν = 1
⎛ θ ⎞
σ=
2 int ⎜ ⎟ + 1 .
⎝2π
⎠
É interessante notar que podemos combinar a fase devida à σ com a amplitude na Equação (10).
Definindo
y
.
88

7 A Fórmula do Traço de Gutzwiller
−i
π σ
−i π σ −i
π σ
2
2
1
e e
f =
2 e =
=
1/ 2
1/ 2
det( M − I)
2( cosθ − 1) 2 sin θ / 2
−i
1
obtemos: para 0 < θ < 2π, sin θ/2 > 0 e σ = 1 ⇒ f = = .
2sin θ / 2 2 isin
θ / 2
i
1
Para 2π < θ < 4π, sin θ/2 < 0 e σ = 3 ⇒ f = = .
−2
sin θ / 2 2i sin θ / 2
É fácil ver que, qualquer que seja θ podemos escrever
sem precisarmos calcular σ explicitamente.
7.4 O Termo de Weyl
−i πσ
1 1
2
1/ 2 e =
det( M − I)
2i sin ( θ / 2)
Antes de finalizarmos o cálculo de G(E + iε), notamos que um termo importante foi esquecido na
integração para o cálculo do traço: as trajetórias de q’ = q → q” = q com tempo de percurso nulo.
Paradoxalmente, esse cálculo é agora mais fácil em três dimensões do que em duas e, portanto, o faremos
como ilustração em 3-D. Neste caso, no limite q”→ q’ a função de Green fica:
1
−
2π
e a contribuição desse limite para n( E) = − Im G( E)
1
π
Usando agora que
lim
q" →q ' ∫
2
m ⎧ i
⎫
exp⎨ 2m(
E − V( q' ) ) q" −q'
⎬
q" −q'
⎩
⎭
2m
1 ⎡ 1 ⎤
sin 2m(
E − V( q' ) ) q" −q'
dq'
( 2π
) q" −q'
⎣⎢
⎦⎥
é:
m
4mπ
= ∫ m( E − V( q ) ) dx = ∫ p( q) 2 3 2 ' ' 3 dq .
2π
( 2π
)
(12)
89

7 A Fórmula do Traço de Gutzwiller
vemos que a contribuição para n(E) é:
p
pois ∫ dp para V( q) E
2m
H< E
2
1
( 2π
)
3
ou seja, 4πp / 3.
Assim, obtemos
d
dE p
3
d
3/ 2
= ( 2m E − V ) = 3mp
dE
3 ( ) ( )
d
dE
4π
1
( 2π
)
3 ∫ p ( q) dq = ∫
3
3
d
dE
H< E
dpdq
2 2 2 2
+ = é o volume da “bola” definida por = p + p + p = 2m(
E −V
( q)
)
1
( 2π
)
d
p x y z
1
θ(
E − H) dqdp = δ(
E − H( q p) ) dqdp
( 2π
)
3 3
dE
∫ ∫ , ,
que é o “Termo de Weyl”. Sua interpretação é que, na aproximação clássica, cada estado ocupa um volume
h L no espaço de fases. Apesar dessa derivação ser simples apenas para L=3, o resultado é geral, bastando
3
L
subistituir na expressão acima ( 2π
) por ( 2π ) .
Completamos assim a derivação da Fórmula do Traço de Gutzwiller, que agora escrevemos de duas
maneiras: em termos da função de Green
ou em termos da densidade de níveis
n
G( E + iε) ≈ G ( E)
+
( E + iε
) ≈ δ ( E − H ( q,
p )
0
∑
j
τ
i
0 j
e
−ε
τ j /
det(
M − I)
¡
−ετ
/
e
i
S ( E ) −iσ
π ¡
/ 2
j j
( E)
¡
j
1
τ 0 j e ⎛ S j σ jπ
⎞
∫ dqdp+
¢
∑ ¢
cos
( ) ⎜ −
⎟
L
h
π det M − I ⎝ 2 ⎠
7.5 A soma de Repetições para Dois Graus de Liberdade
No caso de dois graus de liberdade o fator det( M − I)
pode ser calculado explicitamente tanto
para órbitas estáveis como instáveis. Vamos primeiramente calcular
que é zero se λ for autovalor de M.
(13)
(14)
a b
det M − = ( a d)
c d
− λ
2
λ
= λ − λ + + 1 (15)
− λ
,
90

7 A Fórmula do Traço de Gutzwiller
Da equação de autovalores acima vemos que se λ é autovalor λ - 1 também é. Além disso, como a, b,
c e d são reais, λ* também é autovalor de M. Temos assim apenas duas possibilidades para dois graus de
liberdade:
i) Órbita Estável (ou Elíptica)
λ
θ
= ±
e i
, θ = θ(E) = Ângulo de Estabilidade
ii) Órbita Instável (ou Hiperbólica) direta ou inversa
λ
μ
= ±
μ
e (direta) ou λ = − ±
e (inversa)
A quantidade μ/τ é o Expoente de Liapunov da órbita periódica, que mede a taxa de separação local de
órbitas vizinhas. Assim, da Equação (15) vemos que
e a Fórmula do Traço, Equação (13), fica
det( M − I ) = 2 − tr(
M ) = 2 − λ − λ
⎧
2
2 − 2cosθ = 4sin θ / 2
⎪
2
= ⎨2
− 2cosh μ = − 4sinh μ / 2
⎪
2
⎩2
+ 2cosh μ = 4 cosh μ / 2
G( E iε) G ( E)
+ ≈ 0 + ∑ ∑
=
∞
j. n 1
2 i f
jn
e
−1
¡ 0
i i n π σ0
j
nS ( E) 0 j −
2
− nε
τ
onde a soma sobre as órbitas periódicas foi separada em j = órbitas periódicas primitivas (órbitas distintas) +
soma sobre as repetições de cada örbita primitiva. As quantidades S0j, τ0j e σ0j se referem às ações,
períodos e índices de Maslov das órbitas primitivas.
A amplitude f é dada por
f
jn
τ
⎧sin
nθ0 j / 2 ( estavel)
⎪
= ⎨sinh
nμ0 j / 2 ( instavel direta)
⎪
⎩cosh
nμ j / 2 ( instavel inversa)
0
(estável)
(instável direta) (16)
(instável inversa)
Consideremos agora apenas uma órbita periódica estável e vamos calcular a contribuição para G(E)
de todas suas repetições. Em primeiro lugar lembramos que
0 j
¡
/
(17)
(18)
91

7 A Fórmula do Traço de Gutzwiller
1
−i
σ 1
j π/
2
e = .
2 sin θ / 2
2i sin θ j / 2
Escrevendo θj = nθ e expandindo em série de potências obtemos
1
1
i n i n
n
2isin
2 2 e e
2
θ = θ − θ
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
j
∞
= ∑
= 0
e
⎛ 1 ⎞
− i n θ⎜
+ ⎟
⎝ 2 ⎠
=
e
2
1−
e
−i
n θ
−i
n θ
Substituindo em (17) e chamando de a parte oscilatória de G de
obtemos para uma única órbita periódica primitiva γ, a contribuição
=
−i
n θ ∞
e 2
−i
n
e
θ
∑
= 0
. (19)
Gosc(E) = G(E) - G0(E) , (20)
λ τ
G osc ( E)
=
i
0
∞
∞
∑ ∑
n=
1 = 0
¡ ¢
e
i n Sγ
− i n θ ( + 1/ 2)
onde tomamos o limite ε → 0 para incluir todas as repetições. Somando primeiro sobre n obtemos ainda
ou seja, para
Os pólos de (21) ocorrem para
λ τ
G osc ( E)
=
i
S
0
¤ ¥
γ
∞
∑
= 0
e
1−
e
i Sλ
− i θ ( + 1/ 2)
¦
γ
£
i Sγ
− i θ ( + 1/ 2)
− θ ( + 1/ 2) = 2Nπ
,
γ
§ ¨
S ( E) = 2π N + θ ( + 1 2) 2π
γ γ
¦
[ ]
¥
γ
λ
¢
¥ . (21)
que é uma regra de quantização para órbitas estáveis onde o ângulo de estabilidade aparece explicitamente.
§ ¨ / / (22)
Note que, apesar da elegância desse resultado, as órbitas estáveis são muitas em geral e a quantização
de cada uma delas levaria a muitos níveis quânticos por intervalo de energia. Aparentemente, órbitas de
período muito longo não devem contribuir desta forma individual para a densidade de níveis, e sim de forma
coletiva interferindo com outras famílias primitivas. Outra observação importante é que se ENl satisfaz a
relação (22) isso não implica necessariamente em um bom nível de energia (como discutimos acima) e uma
92

7 A Fórmula do Traço de Gutzwiller
razão para isso é que pólos vindos de outras órbitas primitivas podem cancelar essa contribuição. Um
exemplo muito elucidativo desse efeito é discutido por J. Keating and M. Berry [27].
temos
Um cálculo similar pode ser feito para o caso de uma órbita instável e suas repetições. Nesse caso
−n
0 / 2 ∞
1 1
−n
0 (
=
= = e
n 0 / 2 −n 0 / 2
−n
∑ 0
f e e 1 e
= 0
μ
μ
μ
μ
μ
2
=
¡
∞
∑
= 0
e
¢
e
1 iπ
−nμ
0 ( + ) + ( 1 1)
2 2
¡
¡
¢
¡
¡
+ 1/
2)
( −1)
l ( 1 1)
/ 2
onde o sinal (-) ou (+) se aplica para órbitas diretas ou inversas respectivamente. Substituindo em (20) e
usando (17) obtemos para a órbita γ
onde definimos
γ
G ( E + iε)
=
osc
∞
∞
∑ ∑
n=
1 = 0
∞
=
= 0
£
i
i i nπσγ
1 iπ
nS − − n μγ
( + ) + ( 1 1)
− nετ
0 γ /
2
2 2
τ γ
¦
e
0 2 ∑ ∑
τ
=
i
£
0
§ ¨
τ
i
∞
∑
¦
= 0
i π ( 1 1)
£ ¥
¤ £ £ ¥ ¤
e e
e
⎡
∞
1 ετ γ iS γ iπ
σγ
⎤
− n⎢
μγ
( + ) + − + ⎥
⎣ 2 2 ⎦
n=
1
iπ i α
( 1 1)
e
2
i α
¨
©
1−
e
£ ¤ ¤
(23)
S πσγ
⎡ 1 ⎤
α = − + i μ γ ( + ) + ετ γ / ≡ u + iv
(24)
2 ⎣⎢
2 ⎦⎥
A presença da parte imaginária v em α implica em que a soma (23) sobre l será convergente. Nesse caso já
2
podemos fazer ε → 0 . Para um dado μ0 só os termos com < L =
γ
de fato contribuem significativamente para G osc . Vemos também que G osc
μ0
γ
não possui pólos, pois α é um
γ
número complexo. O melhor que podemos fazer é encontrar os máximos de G osc e esperar que essas
energias estejam próximas dos polos da função de Green exata. Se é pequeno, a parte real de α varia
rapidamente ao mudarmos a energia E e podemos supor que sua parte imaginária, v, permanece positiva (i.e.,
a órbita periódica permanece instável) no intervalo de energia onda analisamos a eq. (23). Procuramos então
os máximos de nosc(E) = - Im(Gosc)/π . É fácil ver que
τ
n osc ( E) = ∑e
π
∞ − v −v
0 iπl( 1 1)/ 2
−2v −v
l=
0
e (cos u + e )
1 + e + 2e
cos u
(25)
93

7 A Fórmula do Traço de Gutzwiller
e que os máximos ocorrem para um=2mπ, i.e., quando
( ) = 2π [ + σ 4]
S E m
γ γ
/ . (26)
2
Próximo de cada máximo podemos escrever cosu = cos( u + δu) ≈1 − δu
/ 2 e expandir nosc(E) na forma
−v −v
− v −v
2
− v
− v
e (cos u + e ) e ( 1+ e − δu
/ 2)
e ⎡
2 1 e
− v − ≈
v
− v −v − ≈ v
− v ⎢1+
δu
− −
2
2 2
( v
−v
1+ e + 2e
cos u)
( 1+ e + 2e ) − e δu
( 1+
e ) ⎣ 2( 1+ e ) ( 1 + e )
2e ( 1+
e )
= −v − v
2( 1+ e ) + ( 1− e )( u − 2mπ)
m
− v −v
2 2
Se μ0 é pequeno podemos expandir ainda as exponenciais contendo v. Substituindo os valores de u e v
obtemos finalmente
⎡
⎤
⎢
⎥
∞
γ τ
[ ]
o ⎢
2
¡
μ ( + 1 / 2)
iπl( 1¢ 1 £
)/ 2
⎥
n osc ( E) =
e
π ⎢∑
∑ 2
2 m
⎡S
γ πσγ
⎤
⎥
= 0 £
(28)
2
⎢
⎢ − − 2mπ⎥ + [ μ γ ( + 1 / 2)
] ⎥
⎣⎢
⎣ 2 ⎦
⎦⎥
onde consideramos apenas órbitas diretas por simplicidade. Selecionando apenas o termo ¤ = 0 , vemos que
γ τ 0
n osc ( E)
≈
2π
∑
m
⎡
⎢
⎢
⎣
2μ
γ
2
⎤
⎥
/ 2 2
⎥
/ 4 ⎦
[ S m ]
2
2 2
γ − π σγ − π + μγ
Como função de E isso representa uma série de Laurentzianas centradas em
com altura 4τ
¥
γ
e largura
μπ
μ
¥
γ
2τ
γ
[ ]
S ( E) = 2π m + σ / 4
γ γ
¡
2
⎤
) ⎥
⎦
−1
(29)
(30)
. Então, se a separação média entre níveis é menor do que a largura do
picos, podemos ainda identificar níveis de energia individuais. Note, no entanto, que a densidade média de
−L
níveis, dada pelo termo de Weyl é proporcional a para L graus de liberdade. Então, o espaçamento médio
L
vai com d w = ¥
e, portanto, vai a zero muito mais rápido que a largura μ
¥
γ
se L ≥ 2 ! Dessa forma,
2τ
resolver o espectro individualmente com apenas uma órbita primitiva instável é impossível no limite
semiclássico ¥ → 0 . Para situações caóticas, a esperança é somar de forma diferente ou fazer suavizações
com ε > 0.
γ
94

7 A Fórmula do Traço de Gutzwiller
7.6 Suavizações Exponenciais e Gaussianas
Se abrirmos mão do conhecimento individual dos níveis de energia poderemos eventualmente
conseguir resultados convergentes para a determinação de grupos de níveis via Fórmula do Traço. Nesta
seção vamos considerar apenas sistemas com “hard chaos”, ou seja, sistemas onde não existam órbitas
estáveis.
Consideremos primeiramente a suavização exponencial. Esta é gerada adicionando-se uma pequena
parte imaginária na energia, como temos feito até agora: E → E + iε
. Na expressão exata para a função
resposta isso resulta em
ou,
G( E + iε)
=
1
=
E − E + iε
∑ ∑
n n
n( E,
ε)
=
que representa picos Lorentzianos de altura 1/πε e largura ε .
ε / π
( E − E ) − iε
n
2 2
n
(31)
( E − E ) + ε
∑ 2 2
n ( E − E n ) + ε
(32)
.
A fórmula semiclássica correspondente é dada pela Equação (14), que contém o termo exp { −ετ / }
Para ε < d( E),
onde d(E) é o espaçamento médio entre os níveis de energia, esperamos poder resolver quase
todos os níveis. O problema é que o número de orbitas periódicas com período τ cresce exponencialmente
em um sistema caótico:
( T) dT = número de órbitas com período entre T e T+dt ¡ (33)
dt
1
≈ exp{
h T} para T → ∞
T
T
onde hT é chamada de entropia topológica. Então, para → 0 , d( E)
→ 0 e os períodos a serem
considerados em (14) vão a infinito. A contribuição das órbitas com τ entre T e T+dt para ε =d(E) γ¢ = L é
(número de órbitas) * (contribuição de cada órbita)
1 − 1 −1
−
= =
T e e dT T e
L
hTT εT T h £ £
T γ
*
/ ( )
o que diverge no limite semiclássico se L > 1! Ou seja, a quantidade de órbitas com período T é tão grande
que isso sobrepõe ao decaimento exponencial das contribuições individuais.
Para superar esse problema, Aurich, Sieber e Steiner [28] propuseram a Suavização Gaussiana. Na
forma exata para a densidade de níveis a definição é:
95

7 A Fórmula do Traço de Gutzwiller
+ ∞ π 2
1 − ( E− E')
2
∫
ε
( ε)
=
η(
)
n G E, e E' dE'
ε
− ∞
= ∑
n
π
2 1 − ( E−E 2 n )
ε
Aplicando o mesmo procedimento para a fórmula semiclássica, Equação (13), obtemos:
e
ε
⎡ S( E')
⎤ −π
2
1 i −γ
⎣
⎢
⎦
⎥ ( E−E ')
2
ε
∫ A( E') e e dE'
ε
i −π
2 i ∂S
S( E) ( E− E')
+ ( E−E ')
1 [ −γ
] 2
∫
≈ ( )
ε
∂E
A E e e dE'
ε
i S E
2
2
−π
x i τ x i ε τ
+ S E − −
2
4π
1
[ ( ) −γ
] [ ( ) γ]
2
ε
= A( E) e ∫ e dx = A( E) e
ε
onde A e γ são as amplitudes e fases em (13). Usando (14) obtemos
n ( E, ε) ≈ n ( E,
ε)
+
G oG
∑
J
τ
π
2 2 2
−ε τ j / 4π
e
⎛S
( E)
πσ ⎞
cos⎜
− ⎟
det(
M − I)
⎝ 2 ⎠
oj j j
que contém o trator de suavização gaussiano { } 2
2 2
ε τ / 4π
(34)
(35)
¡ ¡ (36)
¢
exp − . Agora, mesmo que as órbitas longas
prolifierem exponencialmente, para ε fixo a soma sobre j vai certamente convergir. Mas, ainda assim, o
problema da determinação dos autovalores não está fechado: diminuindo ε , o número de órbitas a ser
⎧ hT
⎫ ⎧ hT
⎫
incluído em (36) é da ordem de exp{ hTT
} ≈ exp⎨
⎬ ≈
¢
exp⎨
L−1
⎬ , que cresce extremamente rápido. E
⎩d
( E)
⎭ ⎩¢
⎭
temos também a questão da convergência do processo ε → 0 (que é diferente da convergência da soma para
um ε fixo), que não é óbvio que convirja para funções delta.
No entanto, apesar desta dificuldade incrível, outros métodos de convergência podem ser aplicados,
como veremos no próximo capítulo.
96