Desafios de Geometria ASSUNTO:TRIÂNGULOS - Kenji e Fabiano

ASSUNTO:TRIÂNGULOS
Fabiano Nader & Kenji Chung
Desafios de Geometria
Fabiano Nader & Kenji Chung
01. (IME – 1964) Os números que medem os três ângulos de um triângulo
estão em progressão aritmética. Calcule esses ângulos, sabendo que a soma
dos seus senos é
( 3 + 3)
2 + 2
4
3
2
Sabe-se que cos 15º = ( 3 + 1)
Sejam os ângulos: B - x; B e B + x
Logo: (B - x) + B + (B + x) = 180º
↔ B = 60º
Então:
sen( 60 − x)
+ sen( 60 + x)
=
2(
3 +
4
3 )
Logo, 2 sen 60º . cos x =
( 3 + 1)
↔ x 15º
2
↔ cos x =
=
4
4
( 3 3)
2 +
4
Logo, os ângulos são: 45º; 60º e 75º.
ASSUNTO:ÁREAS
SOLUÇÃO
02.(ITA 07) Considere: um retângulo cujos lados medem B e H, um triângulo
isósceles em que a base e a altura medem, respec-tivamente, B e H, e o
círculo inscrito neste triângulo. Se as áreas do retângulo, do triângulo e do
círculo, nesta ordem, formam uma progressão geométrica, então B / H é uma
raiz do polinômio
a) π 3 x 3 + π 2 x 2 + πx – 2 = 0. b) π 2 x 3 + π 3 x 2 + x + 1 = 0.
c) π 3 x 3 - π 2 x 2 + πx + 2 = 0 d) πx 3 - π 2 x 2 + 2πx – 1 = 0
e) x 3 - 2π 2 x 2 + πx - 1 = 0
Solução

(Sret, Stri, Scir) PG
⇔ Stri 2 = Sret Sciv
2
B 2
⇔ H
4
⇔ r 2 BH
=
4π
= B H π r 2
Fabiano Nader & Kenji Chung
Fabiano Nader & Kenji Chung
2 B
B + 2 H +
4
Por outro lado, temos a seguinte relação Stri = p.r onde p =
é o
2
semiperímetro do triângulo.
Assim Stri = B r
2 1 ⎛ 2 ⎞
⋅ ⎜B
+ 4H
+ ⎟⋅
2 ⎝
⎠
1 1 ⎛ 2 2 ⎞
⇔ BH = ⎜B
+ 4H
+ B ⎟. r
2 2 ⎝
⎠
⎛
⇔ BH = ⎜B
+
⎝
⇔
4πBH
= B +
2 2 ⎞
4H
+ B ⎟.
⎠
4H
2 2
+ B
BH
4π
Dividindo por H obtemos:
B
4π
=
H
B
H
+
Fazendo
4 πx
− x = 4 + x
2
B
4 ⎟ ⎞ ⎛
+ ⎜
⎝ H ⎠
B
= X obtemos:
H
2
então:
2 2
⇒ 4πx
− 2x
4πx
+ x = 4 + x
⇒ 2πx
2
- 2
⇒ 4π
x
⇒ πx
3
2
= x 4πx
− 8πx
+ 4 = x
2
− π x
2
2
( 4πx)
+ 2πx
−1
= 0
ALTERNATIVA: D
2

ASSUNTO:ÁREAS
Fabiano Nader & Kenji Chung
Fabiano Nader & Kenji Chung
03.(ITA 07) Sejam P1 e P2 octógonos regulares. O primeiro está inscrito e o segundo
circunscrito a uma circunferência de raio R. Sendo A1 a área de P1 e A2 a área de P2,
então a razão A1 / A2 é igual a
a) 8
b)
d) 4 2 1)
/ 8 e) ( 2 + 2)
5 9 2 / 16 c) 2 ( 2 −1)
( + / 4
R
45° R
Octógono inscrito ⇒
R . sen45º
2
= 2R 2
A1 = 8. 2
R
2
22°30'
x
Octógono Circunscrito ⇒
cos 45º = 2. cos 2 22º30’ – 1
R
Cos 22º 30’ = ⇒
X
⇒
⇒
cos 22º 30’ =
X =
2R
2 + 2
X . sen45º
A2 = 8. =
2
2
= 4.
=
R . 2
=
( 2 + 2).
2
4 2
8R 2
=
2 + 2
2
2 + 2
2
⇒
Solução:

A
A
1
2
=
2R
8R
2
2
2 +
2 2 + 2
=
2 4
2
ALTERNATIVA E
ASSUNTO: Semelhança
Fabiano Nader & Kenji Chung
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04.(ITA 07) Seja C1 uma circunferência de raio R1 inscrita num triângulo
eqüilátero de altura h. Seja C2 uma segunda circunferência, de raio R2, que
tangencia dois lados do triângulo internamente e C1 externamente. Calcule (R1
– R2) / h.
R1 =
h
3
R2 R2
R1
R1
R2
2R1+3R2 = h ⇒
2h
⇒ + 3R2 = h
3
R2 =
R1 − R2
h
h
9
h
=
3
h
−
9 2
=
h 9
ASSUNTO: Circunferência
Solução:
05.(FUVEST 04) A figura abaixo representa duas polias circulares C1 e C2 de
raios R1 = 4cm e R2 = 1cm, apoiadas em uma superfície plana em P1 e P2 ,
respectivamente. Uma correia envolve as polias, sem folga. Sabendo-se que a
distância entre os pontos P1 e P2 é 3√3cm, determinar o comprimento da
correia.

Do enunciado, temos a figura:
Fabiano Nader & Kenji Chung
Solução
Fabiano Nader & Kenji Chung