TEORIA DAS ESTRUTURAS I - Escola de Minas

TEORIA DAS 

ESTRUTURAS I 

Parte 4 

Caderno de Exercícios 

Prof. Dr. Ricardo Azoubel da Mota Silveira 

Profa. Dra. Andréa Regina Dias da Silva 

Colaboração: Gilney Afonso Gonçalves 

Departamento de Engenharia Civil 

Escola de Minas 

Universidade Federal de Ouro Preto 

2012

SUMÁRIO 

1. Pórticos ............................................................................................................. 1 

1.1. Pórticos Biapoiados ............................................................................................. 1 

1.2. Pórticos Engastados-Livres .................................................................................. 4 

1.3. Pórticos Triarticulados ....................................................................................................6 

1.4. Pórticos Biapoiados com Articulação e Tirante (ou Escora) .........................................9 

1.5. Pórticos Compostos ......................................................................................................11 

1.6. Pórticos com Barras Inclinadas .......................................................................... 14 

1.7. Estabilidade e Grau de Indeterminação .............................................................. 17 

2. Arcos ................................................................................................................ 22 

3. Treliças ............................................................................................................ 25 

3.1. Estabilidade e Grau de Indeterminação ...................................................................25 

3.2. Treliças (Parte 1) ............................................................................................... 26 

3.3. Treliças (Parte 2) ............................................................................................... 26 

3.4. Treliças com Altura Constante (Viga de Substituição) ........................................ 31 

4. Grelhas ............................................................................................................ 34 

5. Linhas de Influência ....................................................................................... 36 

6. Deslocamentos em Estruturas ...................................................................... 43

1.1. PÓRTICOS BIAPOIADOS 

Problema 1. Pede-se determinar: 

a. Reações de apoio 

b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) 




1. PÓRTICOS 

Teoria das Estruturas I 1

Problema 3. Pede-se: 



Problema 4. Determine: 


b. Diagramas de esforços cortante, normal e momento fletor 

c. Equação do Momento Fletor para o elemento AB. 

d. O momento fletor máximo no elemento AB. 

B C 

A 

PÓRTICOS 




b. Diagramas de esforços: cortante, normal e momento fletor 

c. Represente graficamente o nó B 

A 

B C 

PÓRTICOS 


1.2. PÓRTICOS ENGASTADOS-LIVRES 




c. Represente graficamente o nó B 



D C 

E 


A 

B 

PÓRTICOS 








PÓRTICOS 


1.3. PÓRTICOS TRIARTICULADOS 







PÓRTICOS 








PÓRTICOS 








PÓRTICOS 


PÓRTICOS 

1.4. PÓRTICOS BIAPOIADOS COM ARTICULAÇÃO E TIRANTE (OU ESCORA) 










b. Diagramas de esforços solicitantes (normal e momento fletor) 

PÓRTICOS 


1.5. PÓRTICOS COMPOSTOS 

Problema 1. Para o pórtico composto abaixo, pede-se: 


b. Diagramas de esforços solicitantes (normal e momento fletor) 



b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante e momento fletor) 

a 

a 

a a a a 

PÓRTICOS 




b. Diagramas de esforços solicitantes (normal, cortante e momento fletor) 



b. Diagramas de esforços solicitantes (normal, cortante e momento fletor) 

PÓRTICOS 


Problema 5. Para o quadro composto abaixo, pede-se: 

PÓRTICOS 

a. Projetar o arco triarticulado baseando-se na linha de pressões da carga uniformemente 

distribuída atuante 

b. Reações de apoio 

c. Diagramas de esforços solicitantes (normal e momento fletor) 

2 tf/m 

4 tf 2 tf 

G 

2 tf 

2m 

C D E 

A B 

4m 

(indicador de simetria) 

2 tf 2 tf 

Teoria das Estruturas I 13 

4m 

2m 

H I J 

F G 

4 tf 

4m

1.6. PÓRTICOS COM BARRAS INCLINADAS 

PÓRTICOS 

Problema 1. Veja que a escada mostrada na figura abaixo pode ser idealizada como um pórtico 

plano biapoiado. Para esse sistema, pede-se chegar nos diagramas de esforços solicitantes 

fornecidos. 


PÓRTICOS 

Problema 2. O galpão esquematizado em perspectiva na parte esquerda da figura abaixo tem 

seu pórtico transversal central idealizado como triarticulado. Para esse sistema estrutural, pede- 

se chegar no diagrama de momento fletor fornecido. 


PÓRTICOS 

Problema 3. Para o galpão industrial ilustrado na figura a seguir, pede-se chegar no diagrama 

de momento fletor fornecido. 

6kN 

A 

5m 

2kN 

10kN/m 

E 

C D 

2,5m 2,5m 


5m 

B 

0,8m 

1,2m 

1m 

5m

1.7. ESTABILIDADE E GRAU DE INDETERMINAÇÃO 

PÓRTICOS 

Problema 1. Classifique cada uma das estruturas a seguir como estável ou instável. As 

estruturas são submetidas à carregamentos externos conhecidos e que podem atuar em 

qualquer lugar. 

(a) (b) 

(c) (d) 

(e) 


PÓRTICOS 

Problema 2. Classifique cada uma das vigas a seguir como estaticamente determinada ou 

estaticamente indeterminada. Se estaticamente indeterminada avalie o grau de 

indeterminação. As vigas são submetidas à carregamentos externos conhecidos e que podem 

atuar em qualquer lugar. 

(a) (b) 

(c) (d) 

(e) 


PÓRTICOS 

Problema 3. Classifique cada um dos quadros a seguir como estaticamente determinado ou 

estaticamente indeterminado. Se estaticamente indeterminado avalie o grau de 

indeterminação. Os quadros são submetidos à carregamentos externos conhecidos e que 

podem atuar em qualquer lugar. 

(a) (b) 

(c) (d) 


PÓRTICOS 

Problema 4. Classifique cada um dos quadros a seguir como estaticamente determinado ou 

estaticamente indeterminado. Se estaticamente indeterminado avalie o grau de 

indeterminação. Os quadros são submetidos à carregamentos externos conhecidos e que 

podem atuar em qualquer lugar. 

(a) (b) 

(c) 


Problema 5. Para cada um dos sistemas estruturais mostrados a seguir, pede-se: 

1. Avaliar a sua ESTABILIDADE 

PÓRTICOS 

2. Avaliar o GRAU DE INDETERMINAÇÃO (GI), ou seja, verificar se são estaticamente 

determindados (ED) ou indeterminados (EI), ou mesmo hipostáticos (H) 

Considere que o carregamento externo pode atuar em qualquer duração. 

Importante: JUSTIFICAR A RESPOSTA. 

(a) (b) 

(c) (d) 


Problema 1. Para a estrutura abaixo determine: 


b. VC (esq) e VC (dir) 

c. NC (esq) e NC (dir) 


a. Diagrama de momento fletor 

b. VG(esq), VG (dir), NG(esq), NG(dir) 

c. VtrechoCD, NtrechoCD, VtrechoAD, NtrechoAD 

Observação: 

A cúpula DGE, para eixos coordenados com origem em D, é definida pela equação: 

y = -x 2 /3 + 2x 

2. ARCOS 

Para o trecho curvo, DGE, construa o DMF a partir da reta horizontal DE e cote-o nos quartos do 

respectivo trecho. 

3m 

4m 4m 


C 

5 tf 

A 

par. 2o grau 

B

ARCOS 

Problema 3. Deseja-se construir uma estrutura cujo eixo coincida com a linha de pressões do 

carregamento indicado na figura a seguir. Pede-se assim: 

a. A linha de pressões 

b. Esforços normais máximo e mínimo atuantes 

c. A inclinação da tangente ao eixo da estrutura na seção de abscissa x = 2,5 m 

A 

2t/m 

12m 

f=6,4m 

Problema 4. Para o quadro composto abaixo (dois pórticos e um arco triarticulado EGH), pede- 

se: 

a. Projetar o arco triarticulado baseando-se na linha de pressões da carga atuante 

b. As reações de apoio 

c. Diagrama de momento fletor (DMF) 

d. Diagrama de esforço normal (DEN) 

e. Diagrama de esforço cortante (DEC) 


G 

12m 

2t/m 

2 tf/m 

4 tf 2 tf 

G 

2 tf 

2m 

C D E 

A B 

4m 

4m 

B 

(indicador de simetria) 

2 tf 2 tf 

2m 

H I J 

F G 

4 tf 

4m

ARCOS 

Problema 5. Para o pórtico composto abaixo (pórtico engastado-livre + arco triarticulado BGF), 

pede-se: 

a. Projetar o arco triarticulado baseando-se na linha de pressões da carga atuante 

b. Reações de apoio (arco triarticulado + pórtico engastado-livre) 

c. Diagrama de momento fletor (DMF) 

d. Diagrama de esforço normal (DEN) 

e. Diagrama de esforço cortante (DEC) 


3.1. ESTABILIDADE E GRAU DE INDETERMINAÇÃO 

Problema 1. Para as treliças mostradas a seguir, pede-se: 

1. A avaliação da sua estabilidade 

3. TRELIÇAS 

2. Definir se elas são estaticamente determinada ou estaticamente indeterminada. Se 

estaticamente indeterminada, determine o grau de indeterminação 

(a) (b) 

(c) (d) 

(e) (f) 

(g) 


3.2. TRELIÇAS (PARTE 1) 

Problema 1. Determinar os esforços normais atuantes na treliça da figura abaixo. 


TRELIÇAS 


Problema 3. Para a figura abaixo pede-se: 

a. Avaliar o esforço normal nas barras GF e GD 

b. Defina se esses esforços são de tração ou compressão 

(As reações de apoio são dadas) 

Problema 4. Classifique a treliça mostrada na figura abaixo. Em seguida, obtenha: 


b. O esforço normal nas barras CD, CF e DE (tração ou compressão ?) 

c. Apenas indique como obter os esforços normais nas barras AE, AC e CE 

6kN 

3m 

TRELIÇAS 


6kN 

E F 

C D 

A B 

1m 1m 1m 1m 1m 

1m 

2m

3.3. TRELIÇAS (PARTE 2) 

TRELIÇAS 

Problema 1. Pede-se indicar aqueles membros da treliça abaixo que possuam Esforço Normal 

Nulo. 

Problema 2. Indique como analisar a treliça composta abaixo. As reações de apoio são dadas. 

Ax = 0 

Ay = 5kN 

H 

I J 

4m 

A B C D E 

a 

4kN 2kN 4kN 

2m 2m 2m 2m 

Ey = 5kN 


a 

G 

F 

2m 

2m

TRELIÇAS 

Problema 3. Indique como analisar a treliça composta abaixo. As reações de apoio são dadas. 

Ax = 0 

6ft 

A 

a 

45o 45o 45o 

B 

Ay = 5kN 

D 

3k 

C 

6ft 6ft 6ft 6ft 

Problema 4. Obter os esforços normais para o reticulado abaixo. 

1,5m 

a 

Fy = 3k 


H 

3t/m 

2m 2m 2m 2m 

E 

3k 

G 

6ft 

F 

12ft

TRELIÇAS 

Problema 5. Determinar os esforços normais atuantes na treliça da figura abaixo. Sugere-se 

verificar previamente que barras têm esforço normal nulo. 

P 

a a a a a a 

Problema 6. Classifique a treliça mostrada na figura abaixo. 

4P 

Em seguida obtenha os esforços normais atuantes, não esquecendo de indicar se são de tração 

ou compressão. Assuma que os membros são conectados através de rótulas perfeitas. 

E F 

A B C D 


P 

a 

a 

a 

a

3.4. TRELIÇAS COM ALTURA CONSTANTE (VIGA DE SUBSTITUIÇÃO) 


2t 4t 4t 4t 4t 4t 2t 

2m 2m 2m 2m 2m 2m 


4t 

3m 

8t 12t 12t 4t 4t 2t 

3m 3m 3m 3m 3m 

TRELIÇAS 


2m 

4m

Problema 3. Obter os esforços normais atuantes na treliça da figura abaixo. 

h = 3m 

s1 

O1 O2 O3 O4 

V1 D1 V2 D2 V3 D3 V4 D4 

A U1 B U2 C U3 D U4 E 

s1 s2 

3t 3t 3t 3t 

4m 4m 4m 4m 

TRELIÇAS 

Problema 4. A figura abaixo representa uma treliça de altura constante, estando faltando as 

diagonais (uma em cada painel). Pede-se: 

a. Dispor as diagonais para que, com o carregamento indicado, trabalhem todas a tração 

b. Calcular a menor altura h, de modo que o maior esforço normal atuante nas barras horizontais 

não ultrapasse, em módulo, o valor de 8 tf 

c. Para este valor de h, achar os esforços normais nas barras 

h 

2t 2t 3t 

3t 

C D E F G H I J 

A B 

2m 2m 2m 2m 


s2 

2m 2m 2m 

2t

TRELIÇAS 

Problema 5. Para a treliça de altura constante mostrada na Figura 3, pede-se, utilizando o 

conceito de viga de substituição: 

a. A menor altura h, de modo que o maior esforço normal atuante nas barras horizontais não 

ultrapasse, em módulo, o valor de 5 kN 

b. O esforço normal nas barras horizontais superiores (tração ou compressão ?) 

c. O esforço normal nas barras diagonais (tração ou compressão ?) 

Problema 6. Para a treliça de altura constante mostrada abaixo, pede-se, utilizando o conceito 

de viga de substituição: 

a. A menor altura h, de modo que o maior esforço normal atuante nas barras horizontais não 

ultrapasse, em módulo, o valor de 10 tf 

b. O esforço normal nas barras horizontais (tração ou compressão ?) 

c. O esforço normal nas barras diagonais (tração ou compressão ?) 

d. O esforço normal nas barras verticais (tração ou compressão ?) 

4tf 

2m 

4tf 4tf 

O1 O2 O3 O4 O5 

V1 D1 V2 D2 V3 D3 V4 D4 V5 D5 

V6 

U1 U2 U3 U4 U5 

A B 

4tf 4tf 

2m 2m 2m 1m 1m 2m 

2m 2m 2m 


h

Problema 1. Determinar os diagramas solicitantes a grelha da figura abaixo. 


4. GRELHAS 



Problema 4. 

a. Determine o Momento fletor em C pela direita e o Momento torçor em C pela direita 

b. Pode-se afirmar que (justifique): 

Momento fletor em C pela direita = Momento fletor em C pela esquerda? 

Momento torçor em C pela direita = Momento torçor em C pela esquerda? 

y 

x 

A 

C D 

a a a 

GRELHAS 


B 

a 

P (força)

5. LINHAS DE INFLUÊNCIA 

Problema 1. Obter as reações de apoio máximas para uma ponte engastada-livre de 10m, 

provocadas pelo trem-tipo abaixo: 

Problema 2. Para a ponte abaixo obter as envoltórias de MF e EC, cotando-as nas seções 

indicadas. São dados: 

a. Carga permanente: g = 2 tf/m 

b. Trem-tipo: 

20 tf 10 tf 

1 tf/m 

20 tf 10 tf 

1 tf/m 

A 1 2 3 B 

3m 3m 3m 3m 


Problema 3. Para a ponte de CLASSE 45 abaixo, pede-se: 

a. O modelo estrutural de análise indicando a carga permanente 

b. MF e EC (carga permanente) nas seções 1, 2, 4, 6 e 7 

c. L.I.MF e L.I.EC das seções 1, 2, 4, 6 e 7 

d. MF e EC (carga móvel - trem-tipo de anteprojeto) nas seções 1, 2, 4, 6 e 7 

e. Tabela de envoltória para as seções 1, 2, 4, 6 e 7 

na 

cortina 

(b=largura 

da ponte) 

5 

5 

Problema 4. Para o modelo estrutural da ponte abaixo, pede-se: 

engaste 

A 

a. Carga permanente: MF e EC nas seções A, 1, 2, 3 e 5 

b. L.I.MF e L.I.EC das seções A, 1, 2, 3 e 5 

c. Carga móvel: MF e EC nas seções A, 1, 2, 3 e 5 

Obs.: Trem-tipo 

A 

1 2 3 4 5 6 7 

A 

10 12 7.5 7.5 

pilar pilar pilar 

obs.: as seções 2 e 4 estão 

no meio do vão 

5 tf 

q=2.5 tf/m 

5 tf 

rótula 

10 tf 

1 2 3 4 5 

2 3 3 

4 6 6 

d. Tabela de envoltória para as seções A, 1, 2, 3 e 5 (ϕ =1) 

carga permanente 

M = 

M + ϕM 

pilar encontro 

(rigidez elevada; 

b=largura da ponte) 

LINHAS DE INFLUÊNCIA 

engaste 


g 

V = V + ϕV 

g 

q 

q 

B 

7.5 tf 

1.5 tf/m 

na 

15


Problema 5. Para a ponte CLASSE 30 (veículo tipo com três eixos) a seguir, pede-se: 

a. Carga permanente – VP2: 

- Esforço cortante: Seção Dd ; Momento fletor: Seção L ; Reação de apoio: Seção I 

b. Linha de Influência – VP2: 


c. Carga móvel – VP2 (Trem-tipo de anteprojeto): 


d. Tabela de envoltória 

Observação: 

Carga permanente: γconc = 2.5 tf/m 3 ; γrevestim. = 2.0 tf/m 3 

10 m 

A Junta Junta D L 

E Junta Junta H 

I Junta 

Pilar 

Encontr 

(rig. elevada) 

0,8 

0,2 

2,0 

B 

0,2 

C 

P1 P2 

P3 

P4 

P5 

hr(média) = 0,075 m revestimento 

5,0 m 5,0 m 

5,0 m 

VP1 0,3 VP2 VP3 0,3 VP4 

pilar 

pilar 

trecho 

central 

F 

3 m 3 m 3 m 

3 m 3 m 3 m 

12 m 

8 m 

9 m 

8 m 

indicador de 

simetria 

2,5 m 2,5 m 

pilar 

Área de 

influência de VP3 

pilar 


G 

J 

9 m 

K


Problema 6. Para a ponte CLASSE 12 (veículo tipo com dois eixos) a seguir, pede-se: 

a. Linha de Influência – VP4: 

Esforço cortante: Seção A (LIVA) e Seção I (LIVI) 

Momento fletor: Seção C (LIMc) e Seção H (LIMH) 

Reação de apoio: Seção C (LIRc) 

b. Carga móvel – VP4 (Trem-tipo de anteprojeto): 

Esforço cortante: Seções A e I 

Momento fletor: Seções C e H 

Reação de apoio: Seção C 

A 

3 m 

P1 

transversina 

B C DJunta E FJunta Junta G JuntaH 

I J 

K 

10 m 

2 m 2 m 

5 m 

2,5 m 

10 m 

P2 P3 

10 m 


P4 

10 m 

P5 

transversina 

10 m 

P6


Problema 7. Para a PONTE MISTA (RODOVIÁRIA) mostrada na página seguinte, pede-se: 

a. - Carga Permanente – VP4: q (peso próprio) = 4 tf/m; q(lastro + dormentes) = 1 tf/m; 

P(transversina) = 2 tf 

- M. fletor: Seção D; 

-Esforço. cortante: Seção J e ; 

- Reação de apoio: Seção E 

b. Linha de Influência – VP4: 

- Momento fletor: Seção D (LIMD) ; 

-Esforço cortante: Seção J e (LIJ e ) ; 

Reação de apoio: Seção E (LIE) 

c. Carga móvel – VP4 (Trem-tipo de projeto): 

- M. fletor (máximo positivo e negativo): Seção D 

- E. cortante (máximo positivo e negativo): Seção J e 

- R. apoio (máxima positiva e negativa): Seção E 

d. Envoltória de solicitações (ϕ= 1) 

A 

2 m 

B 

P1 

Junta 

C 

2 m 

transversinas 

Junta 

D E 

F G H I J K L 

2 m 6 m 2 m 

2 m 4 m 

10 m 10 m 

10 m 

P2 P3 


Junta 

P4 

10 m 

Junta 

P5 

12 m 

Junta 

P6 

6m 

indicador de 

simetria


Problema 8. Obtenha a linha de influência do esforço normal na barra GB da ponte treliçada 

mostrada na figura a seguir. 

Problema 9. Obtenha a linha de influência do esforço normal na barra GC da ponte treliçada 

mostrada na figura abaixo. 



Problema 10. Determine o máximo esforço normal que pode ser desenvolvido na barra BC da 

ponte treliçada mostrada a seguir, devido a uma carga acidental concentrada de 20 k e uma 

acidental uniformemente distribuída de 0,6 k/ft. 


6. DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS 

Problema 1. Determine o deslocamento vertical do ponto C da treliça metálica mostrada na 

figura abaixo. Considere: E = 29 (10 3 ) ksi e A = 0,5 in 2 . 

Problema 2. Considere a treliça mostrada abaixo; cada barra com E = 200 GPa e A = 400 mm 2 . 

Determine: 

a. O deslocamento vertical no ponto C se uma força horizontal de 4 kN for aplicada nesse 

mesmo ponto 

b. Se nenhuma carga for aplicada, qual seria o deslocamento vertical em C se a barra AB for 5 

mm menor do que o tamanho definido em projeto 


DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS 

Problema 3. Determine o deslocamento vertical do ponto C da treliça metálica 

mostrada na figura abaixo. Devido ao calor radiante da parede, a barra AD é submetida a um 

aumento da temperatura de DT = +120º F. 

Considere: E = 29 (10 3 ) ksi e α = 0,6 (10 -5 )/ o F. A seção A de todas as barras é indicada na figura. 

Problema 4. Determine o deslocamento do ponto B da viga metálica mostrada abaixo. 

Considere: E = 200 GPa e I = 500 (10 6 ) mm 4 . 



Problema 5. Determine a inclinação q no ponto B da viga metálica mostrada abaixo. Considere: 

E = 200 GPa e I = 60 (10 6 ) mm 4 . 

Problema 6. Determine o deslocamento vertical no ponto D da viga metálica a seguir. 

Considere: E = 29(10 3 ) ksi e I = 800 in 4 . 

Problema 7. Determine a rotação q no ponto C do pórtico metálico a seguir. Considere: E = 200 

GPa e I = 15(10 6 ) mm 4 . 



Problema 8. Determine o deslocamento horizontal no ponto C do pórtico metálico mostrado 

abaixo. Considere: E = 29(10 3 ) ksi, G = 12(10 3 ) ksi, I = 600 in 4 , e A = 80 in 2 para ambos os 

membros. Inclua as parcelas de energia devido ao esforço axial e cisalhante. 

4k/ft 

x1 

x2 

B C 

A 

8ft 

Problema 9. A viga mostrada abaixo é usada num sistema estrutural sujeito a duas 

temperaturas diferentes. Se a temperatura do topo da seção é 80º F e a da base é 160º F, 

determine o deslocamento vertical no meio da viga devido a esse gradiente de temperatura. 

Considere: α = 6,5(10 -6 )/ o F. 


10ft

TEORIA DAS ESTRUTURAS I - Escola de Minas

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