Cap´ıtulo 15 Máximos e M´ınimos em Intervalos Fechados

Capítulo 15
Máximos e Mínimos em Intervalos
Fechados
15.1 Motivação
Na Seção 4.1.1, estudamos o problema da caixa, onde queríamos montar uma caixa recortando retângulos nos quatro
cantos de uma lâmina de plástico e dobrando para cima as bordas obtidas. O problema era determinar o tamanho do
corte a ser feito nos cantos da folha de plástico, a fim de obter a caixa de volume máximo. O volume da caixa é uma
função do tamanho do corte, que representamos por x, e é dado por V = x (20 − 2 x) 2 , onde 0 ≤ x ≤ 10.
O problema da caixa é um exemplo típico de problemas de determinação de máximos e mínimos de funções
definidas em intervalos fechados. Para estudar e resolver problemas desse tipo precisamos de algumas definições e do
estabelecimento de critérios que permitam determinar facilmente estes pontos.
15.2 Máximos e mínimos absolutos
Definição 1
Seja f uma função definida no intervalo fechado [a, b]. Um ponto c pertencente ao intervalo [a, b] é chamado ponto
de máximo absoluto de f ou, simplesmente, ponto de máximo se f(x) ≤ f(c) para todo x em [a, b]. O valor f(c)
é chamado de valor máximo absoluto de f neste intervalo ou, simplesmente, valor máximo de f.
Um ponto d de [a, b] é chamado ponto de mínimo absoluto de f ou, simplesmente, ponto de mínimo de f
se f(d) ≤ f(x) para todo x em [a, b]. O valor f(d) é chamado valor mínimo absoluto de f neste intervalo ou,
simplesmente, valor mínimo de f.
Assim, se f(c) é o máximo e f(d) é o mínimo de f em [a, b], teremos
f(d) ≤ f(x) ≤ f(c),
para todo x em [a, b]. Os valores máximo e mínimo de f são chamados valores extremos de f.
valor maximo
40
30
20
10
–4 –3 –2 –1 1 2
x
3 4
–10
–20
–30
valor minimo
O teorema abaixo garante que toda função contínua em um intervalo fechado tem sempre um máximo e um mínimo
absolutos.
Teorema dos valores extremos
Seja f uma funcão contínua definida em um intervalo fechado [a, b]. Então existem números c e d no intervalo [a,
b], tais que, f(c) é o valor máximo e f(d) é o valor mínimo de f em [a, b].
A demonstração deste teorema poderá ser encontrada no apêndice deste volume.
Os exemplos abaixo mostram que se f não é contínua ou se o intervalo não é fechado, f pode não atingir valores
máximo e mínimo.

196 Cap. 15. Máximos e Mínimos em Intervalos Fechados
Exemplo 1
Seja f(x) = x 2 definida no intervalo [0, 1), isto é, seu domínio é um intervalo semi-aberto à direita. Observando o
gráfico de f vemos, claramente, que esta função atinge o mínimo em x = 0, porém não atinge um valor máximo. O
candidato a ponto de máximo seria x = 1, porém este ponto não pertente ao domínio de f. Como f é crecente neste
intervalo, qualquer que seja o valor de f(x1) com x1 < 1, existirá sempre um x2, tal que x1 < x2 < 1 e f(x1) < f(x2).
Exemplo 2
A função f definida no intervalo [0, 2] por
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x
f(x) =
{
1
x−1
x ̸= 1
1 x = 1
não é contínua no ponto x = 1. Seu limite lateral à esquerda lim
lim
x→1 +
x→1 −
1
x − 1
1
= +∞. Portanto, esta função não atinge valor máximo nem mínimo em [0, 2].
x − 1
y
10
8
6
4
2
0
–2
–4
–6
–8
–10
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x
= −∞ e seu limite lateral à direita
Exercício
Esboce o gráfico de uma função definida em [0, 1] que seja descontínua e tenha um máximo e um mínimo absolutos.
15.2.1 Máximos e mínimos locais
Vimos que o teorema dos valores extremos garante a existência de máximos e mínimos de uma função contínua em um
intervalo fechado [a, b]. A questão natural que se coloca agora é saber onde, exatamente, se localizam estes máximos
e mínimos?
Antes de tentar responder a esta pergunta, vamos examinar alguns exemplos.
Exemplo 3
Considere a função f(x) = x 3 , que é contínua e crescente no intervalo [−1, 1]. Neste intervalo, o valor mínimo desta
função é −1 e o valor máximo é 1. Estes valores ocorrem nos pontos x = −1 e x = 1, respectivamente, que são os
extremos do intervalo considerado.
Exemplo 4
Considere a função f(x) = −x 2 no intervalo [−2, 2]. Esta função é contínua neste intervalo e, portanto, o teorema
dos valores extremos garante a existência de um máximo e de um mínimo globais.
Neste caso, o máximo global da função f(x) = −x 2 é zero e ocorre em x = 0. O valor mínimo é −1 e ocorre em
x = −1 e x = 1.
Exemplo 5
Vamos examinar agora a função f(x) = x 3 − 4 x 2 − x + 10 definida em [−2, 5]. Veja o seu gráfico traçado a seguir,
à esquerda.
Os valores máximos e mínimos desta função ocorrem em 5 e −2, respectivamente, que são os extremos do intervalo.
No entanto, existe um ponto no interior deste intervalo, onde a função atinge um máximo para valores de x, por exemplo,
entre −1 e 1. Da mesma forma, existe um ponto onde f atinge um mínimo se considerarmos valores de x entre, por
exemplo 0 e 4. O gráfico seguinte, à direita, da mesma função traçado no intervalo [−1, 3.5], ilustra esta afirmação.

W.Bianchini, A.R.Santos 197
30
20
10
–2 –1 0 1 2 x 3 4 5
–10
10
8
6
4
2
–1 0
1 x 2 3
Estes pontos são ditos máximos e mínimos locais, ou, genericamente, extremos locais de f e são caracterizados
na definição a seguir.
Definição 2
Dizemos que um ponto c é um ponto de máximo local ou relativo de f se f(x) ≤ f(c) para todo x suficientemente
próximo de c. Mais precisamente, se esta desigualdade for verdadeira para todo x que esteja no domínio de f, em algum
intervalo aberto contendo c. Analogamente, dizemos que d é um ponto de mínimo local ou relativo de f se f(d) ≤ f(x),
para todo x suficientemente próximo de d.
A questão que se coloca agora é descobrir algum critério que nos permita identificar com precisão os extremos
relativos de uma função. A reta tangente nos dá uma pista para localizá-los. Observe o diagrama abaixo e conclua o
que é possível afirmar a respeito destes pontos.
À primeira vista, parece ser possível afirmar que, nestes pontos, a reta tangente é horizontal e, portanto, a derivada
da função é zero. No entanto, os exemplos a seguir mostram que extremos relativos podem ocorrer em pontos onde
a função sequer é derivável e que existem pontos, onde a derivada é zero, que não são nem máximo e nem mínimo
locais.
Exemplo 6
Examine a função f(x) = 3 − | x − 2 | definida em [1, 4].
3
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3 3.23.43.63.8 4
x
O ponto x = 2 é um ponto de máximo relativo desta função (na realidade este ponto é um máximo global para
esta função no intervalo considerado) e f não é derivável neste ponto.
Exemplo 7
Em x = 0, a reta tangente ao gráfico da função f(x) = x3 é horizontal e, portanto, a derivada desta função é zero
neste ponto (prove analiticamente este fato!). No entanto, o ponto x = 0 não é nem ponto de máximo e nem ponto de
mínimo local para esta função.
O teorema a seguir esclarece estes fatos.
–2

198 Cap. 15. Máximos e Mínimos em Intervalos Fechados
Teorema: Caracterização dos máximos e mínimos locais
Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a, b) e derivável em um ponto c de (a, b). Se f ′ (c) ̸= 0 então
f(c) não é máximo nem mínimo local de f.
Demonstração:
Se f ′ (c) ̸= 0, então f ′ (c) > 0 ou f ′ (c) < 0. Vamos supor, primeiro, que f ′ (c) > 0. Então, para x suficientemente
próximo de c, temos
f(x) − f(c)
x − c
Logo, se x < c , tem-se x − c < 0, o que implica f(x) < f(c). Agora, se x > c, tem-se x − c > 0, o que implica
f(x) > f(c). Assim, c não é extremo relativo de f.
Supondo, agora, f ′ (c) < 0, tem-se (−f) ′ (c) > 0. Logo, pelo caso anterior, c não é extremo relativo de (−f) e
assim, obviamente, c não é ponto de máximo nem mínimo relativo de f. (Por quê?)
Observe que o teorema é equivalente a dizer que se f é derivável em (a,b) e c é um ponto de máximo ou mínimo local
de f, então, f ′ (c) = 0.
Atenção!!! Cuidado!!! Esta condição é necessária mas não suficiente. Como o Exemplo 7 mostrou, nem sempre é
verdade que se f ′ (c) = 0, então f(c) é um extremo local.
15.3 Determinação dos pontos de máximo e mínimo de uma função
Dos exemplos, definições e teoremas estudados na seção anterior podemos concluir que:
Toda função contínua definida em um intervalo fechado [a,b] possui um máximo e um mínimo global.
O máximo e o mínimo para estas funções só podem ocorrer
Definição 3: Ponto crítico
> 0.
nas extremidades a e b do intervalo
nos pontos onde a derivada f ′ se anula ou
nos pontos onde a derivada f ′ não existe
Um ponto c no domínio de f é dito um ponto crítico de f se f ′ (c) = 0 ou se f ′ (c) não existe.
Assim, para localizar os pontos extremos de uma função contínua f definida em [a, b], proceda da seguinte maneira:
1. Determine os pontos críticos de f.
2. Calcule os valores de f em cada um dos seus pontos críticos.
3. Calcule f(a) e f(b).
4. Compare todos os valores e verifique qual o maior e qual o menor.
5. Conclua: o maior dentre estes valores será o máximo absoluto de f e o menor será o mínimo absoluto de
f.
15.4 Exemplos
Os exemplos a seguir ilustram o procedimento descrito acima e mostram como podemos usar o Maple para efetuar os
cálculos necessários.
Exemplo 1
Determine os valores máximos e mínimos de f(x) = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 3, nos intervalos
(a) [-4, 6] (b) [-4, 2] (c) [-2, 4]

W.Bianchini, A.R.Santos 199
Solução Primeiro definimos a função f e calculamos a sua derivada:
> f:=x->x^3-3*x^2-9*x+3;
> Diff(f(x),x):%=diff(f(x),x);
f := x → x 3 − 3 x 2 − 9 x + 3
∂
∂x (x3 − 3 x 2 − 9 x + 3) = 3 x 2 − 6 x − 9
Observe que a função f é contínua e derivável em todos os pontos da reta. Assim, os candidatos a extremos desta
função são os extremos do intervalo e os pontos onde a derivada se anula. Para determinar estes últimos pontos, basta
resolver a equação f ′ (x) = 0:
> solve(diff(f(x),x)=0,x);
−1, 3
Nestes pontos críticos os valores de f são, respectivamente
> f(-1);f(3);
8
−24
Para responder ao item (a) é preciso comparar os valores obtidos acima com os valores de f nas extremidades −4
e 6 do intervalo considerado. Temos
> f(-4);f(6);
−73
57
Comparando os valores obtidos, concluímos que o maior é 57 e o menor é −73, isto é, os pontos de máximo e de
mínimo desta função ocorrem nos extremos do intervalo considerado. Assim, o valor máximo de f é 57 e ocorre em
x = 6, que é o ponto de máximo absoluto da função neste intervalo; o valor mínimo de f é −73 e ocorre em x = −4,
que é o ponto de mínimo absoluto de f em [−4, 6].
Como o ponto crítico 3 não pertence ao intervalo [−4, 2], para responder ao item (b) basta comparar os valores de
f no ponto crítico −1 e nos extremos −4 e 2 do intervalo.
> f(2);
−19
Logo, o valor mínino desta função, em [−4, 2], é −73. Este valor ocorre em x = −4, que é o seu ponto de mínimo.
Da mesma forma, o valor máximo de f, neste intervalo, é 8. Este valor ocorre em x = −1, que é o seu ponto de
máximo.
Para responder ao item (c) vamos calcular os valores de f nas extremidades do intervalo [−2, 4] e compará-los com
os valores de f(−1) e f(3) obtidos acima. Temos
> f(-2);f(4);
1
−17
Assim, concluímos que −1 é o ponto de máximo e 3 é o ponto de mínimo de f, em [−2, 4].
• Quais os valores máximo e mínimo de f neste intervalo?
Observe o gráfico de f:
> plot(x^3-3*x^2-9*x+3,x=-4..6);
Exemplo 2
Determine os pontos de máximo e de mínimo de g(x) = √ | x | no intervalo [−2, 1].
40
20
0
–20
–40
–60
Solução: Como no exemplo anterior, vamos definir a função e achar a sua derivada com o auxílio do Maple.
x

200 Cap. 15. Máximos e Mínimos em Intervalos Fechados
> g:=x->sqrt(abs(x));
> diff(g(x),x);
g := x → √ |x|
1 abs(1, x)
√
2 |x|
Na derivada acima, a expressão abs(1,x ) é a notação usada pelo Maple para a derivada de | x |, isto é, para a
função que vale 1 para x > 0 e −1 para x < 0. Claramente, vemos que a derivada de g não existe no zero e que esta
derivada não se anula em nenhum ponto. Portanto, o seu único ponto crítico é o zero. Comparando os valores de g
em −2, 1 (extremos do intervalo) e 0 (ponto crítico), concluímos que −2 é o ponto de máximo de g e 0 é o ponto de
mínimo. A lista de valores de g e o gráfico da função comprovam estas conclusões.
> g(-2);g(1);g(0);
√
2
> plot(g(x),x=-2..1,y=0..sqrt(2),axesfont=[TIMES,ROMAN,8]);
Exemplo 3
Determine os pontos de máximo e mínimo de
{
2
h(x) =
x + 2 x ≤ 1
4 − x2 x > 1
1
0
0.8
y
0.6
–2 –1.8 –1.4 –1 –0.8 –0.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
1.4
1.2
1
0.4
0.2
no intervalo [−1, 2].
Solução Observando o gráfico desta função, traçado abaixo, concluímos que o ponto x = 1 é um ponto crítico
para a função h, pois neste ponto a derivada não existe.
> plot(piecewise(x1,4-x^2),x=-1..2);
3
2.5
2
1.5
1
0.5
–1 –0.6 0 0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2
x
De fato, as derivadas laterais em x = 1 são diferentes. Calcule-as e comprove esta afirmação! Assim, para
determinar os extremos desta função, precisamos comparar os valores de h em x = 1 com os valores que ela assume
nas extremidades do intervalo, como fazemos com a ajuda do Maple:
> h:=x->piecewise(x1,4-x^2):
2.
> h(-1);h(1);h(2);
3
3
0
Podemos concluir, portanto, que h tem dois pontos de máximo e um de mínimo que são, respectivamente, −1, 1 e
15.5 Problemas envolvendo máximos e mínimos em intervalos fechados
Problema 1
Um fio com 4 metros de comprimento é cortado em dois pedaços. Com um deles formaremos um círculo e com o
outro um quadrado.
(a) Como devemos cortar o fio para que a soma das áreas limitadas pelo círculo e pelo quadrado seja máxima?

W.Bianchini, A.R.Santos 201
(b) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das áreas seja mínima?
(Os dois casos extremos são admitidos, ou seja, é permitido formar com o fio apenas um quadrado ou apenas um
círculo.)
Solução: Dividimos o fio em um ponto qualquer. Seja x o comprimento de um dos pedaços. Obviamente, o
comprimento do outro pedaço será 4 − x. Além disso, pela geometria do problema, os valores possíveis para x estão
compreendidos no intervalo [0, 4].
Formando um círculo com o pedaço de comprimento x, temos que 2 π r = x, ou seja, r = x . Assim, a área do
círculo será dada por
C(x) = π r 2 =
π x2 x2
=
4 π2 4 π
e a área do quadrado, por Q(x) = ( 4−x
4 )2 . A área total será, portanto, dada por
A(x) = C(x) + Q(x) = x2
4 π
(4 − x)2
+ .
16
Esta função é uma parábola, sendo, conseqüentemente, derivável em qualquer ponto x do intervalo [0, 4]. Assim, os
pontos extremos de A(x) estarão entre aqueles onde sua derivada se anula ou nas extremidades do intervalo. Abaixo
derivamos a função A(x), calculamos as raízes s da equação A ′ (x) = 0 e comparamos os valores de A(s), A(0) e A(4).
> A:=x->x^2/(4*Pi)+(4-x)^2/16:
> diff(A(x),x);
> s:=solve(%);
> A(s);A(0);A(4);
> simplify(A(s));
4
1 x 1 1
− +
2 π 2 8 x
s := 4
π
4 + π
π 1 π
+ (4 − 4
(4 + π) 2 16 4 + π )2
1
4
π
4
4 + π
Observando estes valores, podemos concluir que o máximo ocorre no ponto x = 4 e o mínimo no ponto x =
Assim, para que a área A(x) seja máxima não cortamos o fio e formamos apenas um círculo. Para que a área A(x)
seja mínima devemos cortar o fio no ponto x = e o quadrado terá um lado
de comprimento 4
4+π .
4 π
2
4+π . O círculo terá um raio r igual a 4+π
2 π
4 π
4+π .
Problema 2
Considere as parábolas y = x 2 − 4 e y = −x 2 + 4. Determine as dimensões de um retângulo cujos vértices inferiores
estão sobre a parábola y = x 2 − 4 e os superiores sobre a parábola y = −x 2 + 4, de tal forma que a área desse retângulo
seja máxima.
Solução Observe no diagrama, que o valor da área depende da posição dos vértices do retângulo.

202 Cap. 15. Máximos e Mínimos em Intervalos Fechados
Devemos determinar as dimensões que fornecerá a área máxima.
Pela simetria da figura ao lado, temos que a área A(x) é dada
por A(x) = 4 x y = −4 x 3 + 16 x, para x variando no intervalo [0,
2]. Como A(x) é contínua nesse intervalo, o teorema dos valores
extremos garante que esta função tem um máximo absoluto em
[0, 2]. Além disso, este máximo ocorre em um dos extremos do
intervalo ou num ponto crítico da função. Como a derivada da
função A(x) é um polinômio do segundo grau, os únicos pontos
críticos de A são os pontos onde a sua derivada se anula. Determinar
estes pontos críticos, portanto, é equivalente a resolver
a equação A ′ (x) = 0. Vamos, uma vez mais, usar o Maple para
fazer as contas:
> A:=x->-4*x^3+16*x:
> crt:={solve(diff(A(x),x)=0,x)};
O ponto crítico que nos interessa é o ponto x = 2 √ 3
3
crt := { 2 √ 2 √
3, − 3}
3 3
4
2
–2 –1 0
1 2
, pois o outro não pertence ao intervalo [0, 2]. Comparando os
valores da função A neste ponto e nos pontos 0 e 2 (extremidades do intervalo), obtemos:
> A(0);A(2);A(2/3*sqrt(3));
0
0
64 √
3
9
Portanto, o ponto de máximo para esta função ocorre em x = 2 √ 3
3
terá base de comprimento igual a 4 √ 3
3
e altura 16
3 .
, conseqüentemente, o retângulo de área máxima
Problema 3
Encontre as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito em um cone circular reto
com raio 7/2 cm e altura 6 cm.
Solução Veja a figura a seguir, onde representamos um corte transversal do cilindro e esquematizamos o problema
proposto.
6-h
1
O volume do cilindro é dado por V = π r 2 h. Para expressar o volume em termos de uma única variável, precisamos
de outra equação envolvendo r e h.
Usando a figura anterior e semelhança de triângulos, temos 6 7
2
V (r) = π r 2 (6 −
r
7/2
= 6−h
r
12 r
7 ) = 6 π r2 −
12 r
, ou seja, h = 6 − 7 . Logo,
12 π r3
.
7
Esta função é contínua em [0, 7/2], logo tem um valor máximo absoluto neste intervalo. Vamos, então, derivar a
função V para encontrar os seus pontos críticos:
> diff(V(r),r);
V := r → 6 π r 2 −
12 π r − 36
7
π r2
12 π r3
7
–2
–4
x
x
y

W.Bianchini, A.R.Santos 203
Como esta derivada está definida em toda a reta, os únicos pontos críticos de V são os pontos onde a derivada se
anula. Resolvendo a equação V ′ (x) = 0, obtemos
> pontos_criticos:={solve(diff(V(r),r)=0)};
pontos criticos := {0, 7
3 }
Comparando os valores de V nos pontos críticos e nos extremos do intervalo, temos
> V(0);V(7/2);V(7/3);
0
0
98
9 π
Logo, o valor máximo de V será V ( 7
3
e altura h = 2 cm.
máximo terá raio r = 7
3
15.6 Exercícios
98 π
7
12 r
) = 9 , que é atingido em r = 3 . Como h = 6 − 7 , o cilindro de volume
1. Em cada um dos itens abaixo, decida se a função dada atinge um valor máximo ou um valor mínimo ou ambos,
no intervalo indicado. Se necessário esboce um gráfico da função.
(a) f(x) = 1 − x em [-1,1)
(b) f(x) = | x | em (-1, 1)
(c) f(x) = 1 √ em (0,1]
x
(d) f(x) = x3 + 1 em [-1,1]
(e) f(x) = 1
x2 +1 em (−∞, ∞)
(f) f(x) =
(g) f(x) =
1
x (1−x) 1
x (1−x)
em [2, 3]
em (0, 1).
2. Em cada um dos itens abaixo, determine os valores máximo e mínimo atingidos pela função dada, no intervalo
fechado indicado.
(a) f(x) = 3 x − 2 em [−2, 3]
(b) f(x) = 4 − x 2 em [1, 3]
(c) g(x) = (x − 1) 2 em [−1, 4]
(d) h(x) = x 3 − 3 x em [−3, 5]
em [2, 6]
(f) g(x) = | 2 x − 3 | em [1, 2]
em [0, 3]
(e) f(x) = x + 1
x
(g) f(x) = x
x+1
(h) f(x) = x √ 1 − x 2 em [−1, 1]
3. (a) Seja f(x) = A x + B. Explique por que os valores máximo e mínimo de f, em um intervalo [a, b] qualquer,
devem ocorrer necessariamente nos pontos extremos do intervalo.
(b) Prove que toda função quadrática f(x) = a x 2 + b x + c, onde a ̸= 0, tem exatamente um ponto crítico em
toda a reta.
(c) Explique por que a função polinomial cúbica pode ter dois, um ou nenhum ponto crítico em toda a reta.
Dê exemplos que ilustrem cada um dos casos.
(d) Se f tem um valor mínimo em x = c, mostre que a função g(x) = −f(x) tem um valor máximo neste
mesmo ponto.
15.7 Problemas propostos
1. Prove que o retângulo de área máxima e perímetro dado é o quadrado.
2. Um retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados e localizado no primeiro quadrante tem um vértice na
origem, um vértice sobre o eixo x, um vértice sobre o eixo y e o quarto vértice sobre a reta 2 x + y = 100. Qual
a área máxima de tal retângulo?
3. Um campo retangular vai ser fechado com uma cerca e depois dividido ao meio por outra cerca. Se a cerca que
passa pela metade custa R$ 10,00 por metro e a outra R$ 25,00 por metro, encontre as dimensões do campo de
maior área possível que pode ser fechado com um custo de R$ 4800,00.
4. Os pontos A e B são opostos um ao outro nas margens de um rio que mede 3 km de largura. O ponto C está
na mesma margem que B, mas a 6 km de B, rio abaixo. Uma companhia telefônica deseja estender um cabo de
A até C. Se o custo por km do cabo é 25% mais caro sob a água do que em terra, qual o traçado do cabo mais
barato para a companhia?

204 Cap. 15. Máximos e Mínimos em Intervalos Fechados
5. Uma companhia de aviação freta um avião de 50 lugares de acordo com as seguintes condições especificadas no
contrato de afretamento:
(a) Cada passageiro pagará 600 reais se todos os 50 lugares forem vendidos.
(b) Cada passageiro pagará um adicional de 30 reais por lugar não vendido.
Quantos lugares a companhia deve vender para obter renda máxima?
6. Seja f(x) = x 2 , para x pertencente ao intervalo [0, 1]. Determine a reta r tangente ao gráfico de f(x), tal que o
triângulo determinado por r, a reta x = 1 e a reta y = 0 tenha a maior área possível.
7. Num certo país, endividado até o pescoço, descobriu-se que a solução de todos os problemas estava na criação
de um combustível para substituir as importações de petróleo. Após muitas pesquisas foi criado o Tomatóleo,
uma mistura de extrato de tomate e gasolina. O litro de extrato de tomate (ET) custa R$ 0,30 e o de gasolina
(GS) custa R$ 0,50. Porém, um litro de Tomatóleo, com x litros de ET, dá para um carro médio percorrer 10
1+x
quilômetros. Determine a quantidade de ET que minimiza o custo por quilômetro.
8. Dada a função f(x) = 1 + √ 18 − 2 x 2 , para x ∈ [−3, 3] e o ponto P = (2, 1). Determine a maior e a menor
distâncias de P aos pontos do gráfico de f.
9. Com a finalidade de evitar a construção de prédios muito altos em terrenos pequenos, foi criada na cidade do
Sonho Dourado a seguinte lei: “ É obrigatória a existência de uma área livre em torno da área construída, com
largura mínima de 50cm por metro de altura da construção, medidos a partir dos limites do terreno”. Assim,
em Sonho Dourado, um prédio de 20 m de altura deverá ser construído em centro de terreno a uma distância
de, pelo menos, 0, 5x20 = 10 m dos limites do terreno. Supondo que você:
(a) More em Sonho Dourado.
(b) Tenha um terreno de 30 m por 30 m.
(c) Deseja construir um prédio em forma de paralelepípedo que tenha volume máximo.
(d) Seja um cidadão respeitador das leis.
Pergunta-se: Quais deveriam ser as dimensões do prédio a ser construído?
10. Determine as dimensões do cilindro de área máxima inscrito em um cone circular reto dado.
11. Determine o retângulo de maior área inscrito na região acima da parábola y = x 2 e abaixo da parábola y = −2 x 2 + 3,
cujos lados são paralelos aos eixos coordenados.
12. Em um terreno com a forma de um semicírculo de 25 m de raio, deseja-se construir uma piscina com a forma
de um triângulo retângulo com hipotenusa igual ao diâmetro do círculo e um vértice no semi-círculo. Calcule as
dimensões da piscina de área máxima.
13. Uma janela normanda tem a forma de um retângulo encimado por um semicírculo. Se o perímetro da janela é
2 m, encontre as dimensões da janela para que penetre o máximo de luz possível.
14. Sabendo que a resistência de uma viga retangular é proporcional ao produto da largura pelo quadrado da altura
de sua seção transversal, quais serão as dimensões da viga a ser cortada de um toro cilíndrico de raio r para
assegurar a maior resistência possível?
15. Um segmento de reta, de comprimento fixo L, une o vértice de um retângulo ao ponto médio do lado oposto.
Qual a maior área possível de tal retângulo?
16. Uma tipografia dispõe de 8 impressoras, cada uma das quais pode imprimir 3600 cópias por hora. Custa R$ 5,00
para preparar cada impressora para a operação e 10 + 6 n reais para fazer funcionar n impressoras durante uma
hora. Quantas impressoras devem ser utilizadas para imprimir 50000 cópias de um cartaz de forma a obter um
lucro máximo?
17. Um fazendeiro deseja contratar trabalhadores para colher 900 alqueires de grãos. Cada trabalhador pode colher
5 alqueires por hora e recebe em pagamento R$ 1,00 por alqueire. O fazendeiro deve ainda pagar um capataz
a R$ 10,00 por hora para supervisionar a colheita e tem ainda uma despesa adicional de R$ 8,00 com refeições
por trabalhador. Quantos trabalhadores deve contratar de modo a minimizar o custo total? Quanto será então
o custo do alqueire colhido?

W.Bianchini, A.R.Santos 205
18. Uma companhia tem fábricas localizadas (em um sistema de coordenadas adequadamente escolhido) nos pontos
A(0, 1), B(0, −1) e C(3, 0). A companhia planeja construir uma central de distribuição elétrica no ponto P (x, 0).
Qual o valor de x que minimiza o custo de distribuição da energia elétrica produzida?
19. Um gramado circular de 20 m de raio é circundado por um passeio, e uma lâmpada é colocada no cimo de
um poste fincado no centro do gramado. A que altura deve ser colocada a lâmpada para que o passeio receba
iluminação máxima?
k sen(θ)
Observação: a intensidade de iluminação de uma superfície é dada por I = D2 onde D é a distância da fonte
de luz à superfície, θ é o ângulo segundo o qual a luz atinge a superfície e k é uma constante positiva.
20. Cinco placas de metal retangulares medem 210 cm por 336 cm cada. Cortam-se pedaços quadrados iguais de
cada um de seus cantos, e as abas resultantes devem ser dobradas para cima e soldadas, de modo a formar cinco
caixas sem tampa. Os vinte pequenos quadrados retirados são reunidos em grupos de quatro e soldados para
formar cinco quadrados maiores, que por sua vez são soldados de modo a formar uma caixa cúbica sem tampa,
de modo que nenhum material é desperdiçado. Qual o tamanho do corte para que o volume total das seis caixas
assim formadas seja o maior possível?
21. Deve-se construir uma pista de corrida em forma de dois trechos retilíneos, paralelos e de igual comprimento,
unidos por dois semi-círculos nas extremidades. O comprimento da pista (uma volta completa) deve ser de 5
km. Quais são as dimensões da pista que maximizarão a área retangular interna?
22. Um objeto é arrastado num plano horizontal por uma força que age ao longo de uma corda atada a ele. Se a
corda faz um ângulo θ com o plano, então a magnitude da força é dada por
F =
µW
µ sen θ + cos θ ,
onde µ é uma constante positiva chamada coeficiente de fricção e 0 ≤ θ ≤ π
2 . Mostre que F é minimizada
quando tg θ = µ
15.8 Para você meditar: O feirante de Caruaru
Um vendedor foi à feira de Caruaru com sua balança de dois pratos defeituosa, pois tinha um braço mais curto do
que o outro. Para compensar isto, ao atender os fregueses, passou a usar, sucessivamente, os dois lados para pesar a
mercadoria. Por exemplo, se alguém desejava dois quilos de açúcar, o vendedor lhe dava um quilo com excesso (pesado
usando-se um dos pratos da balança) e um quilo com falta (pesado usando-se o outro lado).
• Quem ganha com este processo?
Sugestão: Use a Lei das alavancas para obter uma relação entre o peso da mercadoria e o tamanho dos braços da
balança.