Cap´ıtulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares
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38 CAPÍTULO 2. MATRIZ INVERSA E DETERMINANTES Observação : det B = − det A Se efetuarmos um número ímpar de trocas de linhas (ou colunas), o determinante muda o sinal. Mas se efetuarmos um número par de trocas, o sinal do determinante não altera. iv) Se duas linhas (ou colunas) forem iguais, o determinante é igual a zero (det = 0); v) Se uma linha (ou coluna) de uma matriz A é multiplicada por um número α, o determinante da matriz B resultante será: det B = α. det A vi) det(α.An×n) = α n . det A, em que: •α é um escalar; • n é o número de linhas (ou colunas) da matriz An×n. vii) Se uma linha (ou coluna) de uma matriz An×n é nula, o seu determinante é igual a zero. Os determinantes e a matriz inversa A existência da matriz inversa Uma matriz A é invertível, isto é, existe A −1 , se o determinante detA for diferente de zero (det A = 0). Propriedades:
2.2. DETERMINANTES 39 Se a matriz A é invertível, det A −1 = 1 det A . Demonstração : Se A é invertível, sabemos que: A −1 · A = In det(A −1 · A) = det In det A −1 · det A = 1 det A −1 = 1 det A Mais exemplos: Sejam A e B matrizes n × n, tais que o det A = −12 e det B = 4. Calcule o det(A t · B) −1 . Resolução : det(A t · B) −1 = 1 (A t ·B) = 1 det A·det B Exemplo 2: = 1 (−12)·4 = −1 48 Se A é uma matriz 3×3 e det A = 3, então det( 1 2 .A−1 ) é? Resolução : det( 1 2 A−1 ) = 13 2 3 · det A −1 = 1 8 · 1 det A 1 1 = · 8 3 = 1 24 Calculo do determinante de uma matriz usando o escalonamento Em uma matriz A, se o produto de uma linha (ou coluna) por um número é somado a outra
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2.2. DETERMINANTES 39<br />
Se a matriz A é invertível, det A −1 = 1<br />
det A .<br />
Demonstração :<br />
Se A é invertível, sabemos que:<br />
A −1 · A = In<br />
det(A −1 · A) = det In<br />
det A −1 · det A = 1<br />
det A −1 = 1<br />
det A<br />
Mais exemplos:<br />
Sejam A e B matrizes n × n, tais que o det A = −12 e det B = 4. Calcule o det(A t · B) −1 .<br />
Resolução :<br />
det(A t · B) −1 = 1<br />
(A t ·B) = 1<br />
det A·det B<br />
Exemplo 2:<br />
= 1<br />
(−12)·4<br />
= −1<br />
48<br />
Se A é uma matriz 3×3 e det A = 3, então det( 1<br />
2 .A−1 ) é?<br />
Resolução :<br />
det( 1<br />
2 A−1 ) = 13<br />
2 3 · det A −1 = 1<br />
8 · 1<br />
det A<br />
1 1 = · 8 3<br />
= 1<br />
24<br />
Calculo do determinante de uma matriz usando o escalonamento<br />
Em uma matriz A, se o produto de uma linha (ou coluna) por um número é somado a outra
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