Cap´ıtulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares
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20 CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES A solução do sistema será a seguinte: Proposição : Seja A = (aij)m×n: X = α −α ou x = α −α ∀α ∈ IR. a) Se X e Y são soluções do sistema homogêneo, AX = 0, então AX = O e AY = O. Portanto X + Y também é solução pois; A(X + Y ) = 0 ⇐⇒ AX + AY = 0 AX + AY = 0 ⇐⇒ 0 +0 b) Se x é solução do sistema homogêneo, AX = 0, então αX também é solução , pois; 1.3 APÊNDICE A A(αX) = αAX ⇐⇒ α0 = 0 Sistemas Lineares: Método de Gauss-Jordan Consiste em operar transformações elementares sobre as equações de um dado sistema linear até que se obtenha um sistema diagonal equivalente. Para operar essas transformações , vamos considerar: • um k = 0, 1, 2, 3, ..., n − 1, onde ′ k ′ representa cada etapa do processo de eliminação da variável xk das equações i = k; • a notação a (k) ij para denotar o coeficiente da linha ′ i ′ e da coluna ′ j ′ da k-ésima etapa, bem como b (k) i será o i-ésimo elemento da matriz dos termos independentes no final da etapa k; • aij = 0; • An×n; E fazer uso do seguinte esquema: Etapa ′ k ′ : Eliminar xk das equações i = ..., k − 1, k + 1, ..., n:
1.3. APÊNDICE A 21 • pivô: a (k−1) kk • multiplicadores: mik = a(k−1) ik a (k−1) ik • linhas da matriz resultante da Etapa ′ k ′ : L (k) Linhas: i = L (k−1) i , para i = k L (k) i ←− L (k−1) i − mik.Lk, para i = k • matriz resultante da Etapa’k’: A (k) |B (k) ⎢ = ⎢ ⎣ Exemplo: ⎡ a (k) 11 a ((k) 12 · · · a (k) 1n a (k) 21 a (k) . 22 · · · a (k) 2n . . .. . a (k) m1 a (k) m2 · · · a (k) mn . b (k) 1 . b (k) 2 . . . b (k) m Resolva o seguinte sistema pelo método de Gauss-Jordan. ⎧ ⎪⎨ x1 2x1 ⎪⎩ x1 + x2 − x2 − x2 + 2x3 − x3 − x3 = 4 = 0 = −1 =⇒ A (0) |B (0) ⎡ ⎤ 1 1 2 . 4 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎣ 2 −1 −1 . 0 ⎥ ⎦ 1 −1 −1 . −1 Etapa 1: Eliminar x1 das equações i = 2, 3; • pivô: a (0) 11 = 1; • multiplicadores: m21 = a(0) 21 a (0) 11 • Li: L (1) 1 = L (0) 1 L (1) 2 ←− L (0) 2 − m21 · L (1) 1 L (1) 3 ←− L (0) 3 − m31 · L (1) 1 • a matriz resultante desta etapa é: = 2, m31 = a(0) 31 a (0) 11 = 1 ⎤ ⎥ ⎦
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1.3. APÊNDICE A 21<br />
• pivô: a (k−1)<br />
kk<br />
• multiplicadores: mik = a(k−1)<br />
ik<br />
a (k−1)<br />
ik<br />
• linhas da matriz resultante da Etapa ′ k ′ :<br />
L (k)<br />
Linhas:<br />
i = L (k−1)<br />
i<br />
, para i = k<br />
L (k)<br />
i ←− L (k−1)<br />
i − mik.Lk, para i = k<br />
• matriz resultante da Etapa’k’: A (k) |B (k) ⎢<br />
= ⎢<br />
⎣<br />
Exemplo:<br />
⎡<br />
a (k)<br />
11 a ((k)<br />
12 · · · a (k)<br />
1n<br />
a (k)<br />
21 a (k)<br />
.<br />
22 · · · a (k)<br />
2n<br />
.<br />
. .. .<br />
a (k)<br />
m1 a (k)<br />
m2 · · · a (k)<br />
mn<br />
. b (k)<br />
1<br />
. b (k)<br />
2<br />
.<br />
.<br />
. b (k)<br />
m<br />
Resolva o seguinte sistema pelo método de Gauss-Jordan.<br />
⎧<br />
⎪⎨ x1<br />
2x1 ⎪⎩<br />
x1<br />
+ x2<br />
− x2<br />
− x2<br />
+ 2x3<br />
− x3<br />
− x3<br />
= 4<br />
= 0<br />
= −1<br />
=⇒ A (0) |B (0) ⎡<br />
⎤<br />
1 1 2 . 4<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
= ⎢<br />
⎣ 2 −1 −1 . 0 ⎥<br />
⎦<br />
1 −1 −1 . −1<br />
Etapa 1: Eliminar x1 das equações i = 2, 3;<br />
• pivô: a (0)<br />
11 = 1;<br />
• multiplicadores: m21 = a(0)<br />
21<br />
a (0)<br />
11<br />
• Li:<br />
L (1)<br />
1 = L (0)<br />
1<br />
L (1)<br />
2 ←− L (0)<br />
2 − m21 · L (1)<br />
1<br />
L (1)<br />
3 ←− L (0)<br />
3 − m31 · L (1)<br />
1<br />
• a matriz resultante desta etapa é:<br />
= 2, m31 = a(0)<br />
31<br />
a (0)<br />
11<br />
= 1<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦
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