Cap´ıtulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares

20 CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
A solução do sistema será a seguinte:
Proposição :
Seja A = (aij)m×n:
X =
α
−α
ou x =
α
−α
∀α ∈ IR.
a) Se X e Y são soluções do sistema homogêneo, AX = 0, então AX = O e AY = O. Portanto
X + Y também é solução pois;
A(X + Y ) = 0 ⇐⇒ AX + AY = 0
AX + AY = 0 ⇐⇒ 0 +0
b) Se x é solução do sistema homogêneo, AX = 0, então αX também é solução , pois;
1.3 APÊNDICE A
A(αX) = αAX ⇐⇒ α0 = 0
Sistemas Lineares: Método de Gauss-Jordan
Consiste em operar transformações elementares sobre as equações de um dado sistema linear
até que se obtenha um sistema diagonal equivalente. Para operar essas transformações , vamos
considerar:
• um k = 0, 1, 2, 3, ..., n − 1, onde ′ k ′ representa cada etapa do processo de eliminação da
variável xk das equações i = k;
• a notação a (k)
ij para denotar o coeficiente da linha ′ i ′ e da coluna ′ j ′ da k-ésima etapa, bem
como b (k)
i será o i-ésimo elemento da matriz dos termos independentes no final da etapa k;
• aij = 0;
• An×n;
E fazer uso do seguinte esquema:
Etapa ′ k ′ : Eliminar xk das equações i = ..., k − 1, k + 1, ..., n: