Cap´ıtulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares

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18 CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES Ou seja, o posto da matriz A|B é igual a 1. Observação : Para classificar um sistema basta observar se: - p < ˜p → o sistema não possui solução . - p = ˜p → o sistema tem solução . Sendo p = ˜p pode ocorrer duas possibilidades; p < n(números incógnitas)→ o sistema possui infinitas soluções . p = n → o sistema tem solução única. <strong>Sistemas</strong> Homogênios (n − p = números de graus de liberdade.) Sistema Linear homogênico, é aquele que os termos independentes das equações são todos iguais a zero. ⎧ a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = 0 ⎪⎨ a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = 0 . . . . .. . . ⎪⎩ am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn = 0 Esse sistema pode ser escrito como Ax = 0 Todo sistema homogêneo tem solução , e essa pode ser trivial ou nãotrivial. Sistema Homogêneo: sempre tem solução ↓ ↓ Determinado: admite somente solução trivial Indeterminado: admite solução não trivial Para resolver um sistema homogêneo, basta usar a matriz A no processo de escalonamento, visto que a matriz dos termos independentes é nula. Observação : - Todo sistema homogêneo com menos equações que incógnitas (m < n) possui infinitas soluções .
1.2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 19 - Todo sistema homogêneo com menos incógnitas que equações (n < m) pode possuir solução única ou infinitas soluções . Exemplo:(m < n) 4x + 2y − z = 0 2x − y + z = 0 A = 4 2 1 2 −1 1 ⎛ ⎞ ⎛ A|B = ⎝ 4 2 1 . 0 ⎠ Depois escalonando → ⎝ 4 2 1 . 0 2 −1 1 . 0 0 −2 1 ⎞ ⎠ . 0 2 A solução do sistema será a seguimte: X = ⎛ ⎜ ⎝ − 1 3 α α 4α Exemplo:(n < m) com solução única. ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ⎛ ⎞ 1 1 . 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A|B = ⎜ ⎝ 2 1 . 0 ⎟ ⎠ 3 1 . 0 ⎞ ⎟ ⎠ ou x = x + y = 0 2x + y = 0 3x + y = 0 A solução do sistema será a seguinte: X = Exemplo:(n < m) com infinitas soluções . ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ⎛ ⎞ 1 1 . 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A|B = ⎜ ⎝ 2 2 . 0 ⎟ ⎠ 3 3 . 0 ⎛ ⎜ ⎝ − 1 3 α α 4α A = ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ∀α ∈ IR. 1 1 2 1 3 1 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎞ 1 1 . 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Depois escalonando → ⎜ ⎝ 0 −1 . 0 ⎟ ⎠ 0 0 . 0 0 0 x + y = 0 2x + 2y = 0 3x + 3y = 0 ou x = A = 0 0 ⎛ ⎜ ⎝ 1 1 2 2 3 3 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎞ 1 1 . 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Depois escalonando → ⎜ ⎝ 0 0 . 0 ⎟ ⎠ 0 0 . 0
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Page 7 and 8: 1.1. MATRIZES 7 Propriedades: i) (A
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