Cap´ıtulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares

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16 CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES ⎛ ⎞ ⎧ ⎪⎨ x + y + 2z = −1 1 1 2 . −1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4x + y + 4z = −2 A|B = ⎜ ⎪⎩ ⎝ 4 1 4 . −2 ⎟ ⎠ 2x − y + 2z = −4 2 −1 2 . −4 ⎛ ⎞ 1 1 2 . −1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Depois de escalonado → A|B = ⎜ ⎝ 0 −3 −4 . 2 ⎟ ⎠ 0 0 2 . −4 O sistema triangular equivalente será: ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x + y + 2z = −1 0x − 3y + 4z = 2 0x + 0y + 2z = −4 O sistema terá solução única, portanto ele é um sistema SPD, e a sua solução será: ⎛ ⎜ X = ⎝ 1 2 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎠ ou x = ⎝ 1 2 ⎞ ⎟ ⎠ −2 −2 2 o : Sistema possível e indeterminado (SPI): ⎧ ⎪⎨ x − 2x − ⎪⎩ 3x − 2y + z = 1 5y + z = −2 7y + 2z = −1 ⎛ ⎞ 1 −2 1 . 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A|B = ⎜ ⎝ 2 −5 1 . −2 ⎟ ⎠ 3 −7 2 . −1 ⎛ ⎞ 1 −2 1 . 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Depois de escalonado → A|B = ⎜ ⎝ 0 −1 −1 . −4 ⎟ ⎠ 0 0 0 . 0 O sistema triangular equivalente será: ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x − 2y + z = 1 0x − y − z = −4 0x + 0y + 0z = 0 O sistema terá infinitas soluções , portanto ele é um sistema SPI, e a sua solução será: ⎛ 9 − ⎜ X = ⎝ 4 − ⎞ ⎛ 3α 9 − ⎟ ⎜ α ⎠ ou x = ⎝ 4 − ⎞ 3α ⎟ α ⎠ onde α ∈ IR α α
1.2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 17 3 o - Sistema impossível (SI): ⎧ ⎪⎨ x + 2y − 3z = 4 3x − 1y + 5z = 2 ⎪⎩ 4x + y + 2z = −2 ⎛ 1 2 ⎜ A|B = ⎜ ⎝ 3 −1 4 1 ⎞ −3 . 4 ⎟ 5 . 2 ⎟ ⎠ 2 . −2 ⎛ ⎞ 1 2 −3 . 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Depois de escalonado → A|B = ⎜ ⎝ 0 −7 14 . −10 ⎟ ⎠ 0 0 0 . −8 O sistema triangular equivalente será: ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x + 2y − z = 4 0x − 7y + 14z = −10 0x + 0y + 0z = −8 O sistema não terá solução , portanto ele é um sistema SI. O Posto de uma matriz O Posto de uma matriz Am×n é o número de linhas não nulas após o escalonamento. É denotado por ’p’. Exemplo: x + y − z = 5 1 1 1 A = 2x + 2y + 2z = 9 2 2 2 1 1 1 Depois de escalonado → 0 0 0 Ou seja, o posto da matriz A é igual a 1. O Posto de uma matriz ampliada é denotado por ’˜p’ e possui a mesma definição do posto de uma matriz Am×n. Exemplo: ⎛ ⎞ x + y − z = 5 A|B = ⎝ 1 1 1 . 5 ⎠ 2x + 2y + 2z = 10 2 2 2 . 10 ⎛ ⎞ Depois de escalonado → ⎝ 1 1 1 . 5 ⎠ 0 0 0 . 0
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