Cap´ıtulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares

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12 CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES Resolvendo o sistema equivalente pelo método da substituição temos a siguinte solução : X = 3 5 ou x = 2 o Exemplo: Determine o conjunto solução do seguinte sistema: Resolução : ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x + y + 2z = 8 −x − 2y + 3z = 1 3x − 7y + 4z = 10 Etapa 1: Eliminar o elemento a21. Etapa 2: Eliminar o elememto a31. Etapa 3: Eliminar o elememto a32. 3 5 ⎛ ⎞ 1 1 2 . 8 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A|B = ⎜ ⎝ −1 −2 3 . 1 ⎟ ⎠ 3 −7 4 . 10 L (1) 2 = L (0) 1 + L (0) ⎛ ⎞ 1 1 2 . 8 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎝ 0 −1 5 . 9 ⎟ ⎠ 3 −7 4 . 10 L (1) 3 = (−3)L (0) 1 + L (0) ⎛ ⎞ 1 1 2 . 8 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎜ ⎝ 0 −1 5 . 9 ⎟ ⎠ 0 −10 −2 . −14 L (2) 3 = (−10)L (1) 2 + L (1) ⎛ ⎞ 1 1 2 . 8 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎜ ⎝ 0 −1 5 . 9 ⎟ ⎠ 0 0 −52 . −104 A matriz está na forma triangular superior.
1.2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 13 O sistema resultante é o seguinte: ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x + y + 2z = 8 − y + 5z = 9 − 52z = −104 Resolvendo por substituição a solução será: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ X = ⎝ 1 ⎠ ou x = ⎝ 1 ⎠ 2 2 Método de Gauus-Jordan Consiste em operar transformações elementares sobre as equações de um dado sistema linear até que se obtenha um sistema diagonal equivalente. Exemplo 1: Resolva o sistema abaixo usando o método de Gauus-Jordan. ⎛ ⎞ ⎧ ⎪⎨ x + y + 2z = 4 1 1 2 . 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2x − y − z = 0 A|B = ⎜ ⎪⎩ ⎝ 2 −1 −1 . 0 ⎟ ⎠ x − y − z = −1 1 −1 −1 . −1 Resolução : Etapa 1: Eliminar x1 das equações i = 2 e i = 3 L (1) 2 = (−2)L (0) 1 + L (0) ⎛ ⎞ 1 1 2 . 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎝ 0 −3 −5 . −8 ⎟ ⎠ 1 −1 −1 . −1 L (1) 3 = (−1)L (0) 1 + L (0) ⎛ ⎞ 1 1 2 . 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎜ ⎝ 0 −3 −5 . −8 ⎟ ⎠ 0 −2 −3 . −5 Etapa 2: Eliminar x2 da equação i = 3 L (2) 3 = (−2).L (1) 2 + 3.L (1) 3 ⎛ ⎞ 1 1 2 . 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 −3 −5 . −8 ⎟ ⎠ 0 0 1 . 1
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Page 7 and 8: 1.1. MATRIZES 7 Propriedades: i) (A
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Page 29 and 30: 2.1. MATRIZ INVERSA 29 ⎡ ⎤ 1 0
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Page 39 and 40: 2.2. DETERMINANTES 39 Se a matriz A

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